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campo electrico

Interacción electromagnética I Campo eléctrico

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FÍSICA II

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA

CAPÍTULO 3: EL CAMPO ELÉCTRICO

CARGAS PUNTUALES

Willians Medina

Maturín,

Noviembre de 2015

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Campo eléctrico debido a una carga eléctrica

Ejemplo 3

Problema 37 del Tipler

Sexta Edición

Página 723

Una carga de 4

¿Cuál es el módulo y sentido del campo eléctrico sobre el eje x en a) x  6 m y b) x  10 m

? c) Hacer un esquema de la función E x respecto a x,

tanto para valores positivos como negativos de x

(Recuérdese que E x es negativo cuando E señala en el sentido negativo de las x

Carga eléctrica: q  4

Campo eléctrico

E  9  10 9

m 2 4  10 6 C  C2 (6 m) 2

E  1000 N/C b) Distancia de separación entre la carga q y la carga de prueba q 0 : r = 10 m

Campo eléctrico

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

E  9  10 9

Cargas puntuales

m 2 4  10 6 C  C2 (10 m) 2

E  360 N/C c) E  k

E  9  10 9

36000 x2

Ejercicios propuestos

Determine el campo eléctrico producido por una carga puntual de 4

Respuesta: E  2

¿A qué distancia de una carga puntual q  50  C ,

el campo eléctrico posee una intensidad de 200 N/C

[RH] ¿Qué magnitud tiene una carga puntual elegida de modo que el campo eléctrico a 75

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Respuesta: 144 pC Relación entre la fuerza eléctrica y el campo eléctrico

Ejemplo 3

Una carga q  50  C se encuentra en una región que posee un campo eléctrico uniforme

E  2

Determine la fuerza que dicho campo ejerce sobre la carga

Solución

Cuando se conoce el campo eléctrico en un punto del plano o del espacio,

se puede conocer la fuerza eléctrica en dicho punto multiplicando el valor del campo eléctrico por la carga allí colocada

F  qE F  50  10 6 C (2

F  (1

¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica sobre un electrón en un campo eléctrico uniforme de magnitud 1920 N/C que apunta hacia el este

[RH] El aire húmedo se divide (sus moléculas se ionizan) en un campo eléctrico de

¿Qué magnitud tiene la fuerza eléctrica en a) un electrón y b) en un ión (con un solo electrón faltante) en este campo

8065 N/C 6

La fuerza eléctrica sobre una carga de 4

¿Cuál es el campo eléctrico en la posición de la carga

90 N/C j 7

Determine la intensidad de un campo eléctrico uniforme para que produzca una fuerza

F  1

Respuesta: E  1

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

[TM] Cuando se coloca una carga testigo q0  2  C en el origen,

experimenta la acción de una fuerza de 8

a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen

? b) ¿Cuál sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de  4  C situada en el origen

? c) Si esta fuerza fuera debida a una carga situada en el eje y en

¿cuál sería el valor de dicha carga

? Respuesta: a) E  (400 N/C) j

[RH] Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12

Un electrón colocado en la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3

Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón

Respuesta: E1  2

a) Obtenga la magnitud del campo eléctrico que una produce en el sitio de la otra

b) Obtenga la magnitud de la fuerza en ellas

Respuesta: a) E1  1

E2  5

Ejemplo 3

Dos cargas q1 y q 2 cuando se combinan dan una carga total de 6

10 –6 C

Cuando están separadas 3 m,

la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8

10 –3 N

Determinar el campo eléctrico que actúa sobre cada carga

Solución

Carga total cuando están combinadas:

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Para determinar el campo eléctrico se debe conocer el valor de las cargas individuales

Ley de Coulomb

Al sustituir valores:

q1q2 32

Se debe resolver el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)

De la ecuación (1): q2  6 10 6  q1 Al sustituir en la ecuación (2):

Campo eléctrico debido a cada carga:

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

E 1  2000 N/C

E 2  4000 N/C En caso de las cargas ser de signos diferentes

F12  k

q1q2 r2

q1q2 32

De la ecuación (1): q2  q1  6 10 6 Al sustituir en la ecuación (2):

q1  7

E 1  1123

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

E 2  7123

Dos cargas puntuales q1  3  C y q2  9  C ,

están separadas una distancia de 2 m

a) ¿En qué punto el campo eléctrico es cero

¿En qué punto el campo eléctrico sería cero

Solución

Cuando el signo de las cargas es diferente,

la tercera carga debe colocarse fuera del espacio comprendido entre ellas,

y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto

Ubicamos la carga de prueba q 0 una distancia x a la izquierda de q1

Puesto que el campo eléctrico resultante sobre la carga q 0 es nula:

E1  E2  0 E1  E2 Campo eléctrico

E1  k

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

E2  k

Cargas puntuales

Al igualar los campos:

Al simplificar k:

q 2 x    2 q1  x  2

Al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

El campo eléctrico es nulo a una distancia de 2

b) Cuando el signo de las cargas es igual,

la tercera carga debe colocarse dentro del espacio comprendido entre ellas,

y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto

Ubicamos la carga de prueba q 0 una distancia x a la derecha de q1

x Puesto que el campo eléctrico resultante sobre la carga q 0 es nula:

E1  E2  0 E1  E2 Campo eléctrico

E1  k

E2  k

Al igualar los campos:

Al simplificar k:

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

q 2 x    2 q1  x  2

Al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

Ejercicios propuestos

[RH] Las cargas +q y –2q se encuentran fijas y separadas a una distancia d'como se ve en la figura

Encuentre E en los puntos A,

EB  i ,

EB   i 2 2 d'd 2d 2

Dos cargas puntuales Q1  2  C y Q2  5  C se encuentran separadas por una distancia de 5 cm

Si Q1 se encuentra a la izquierda de Q2 ,

diga en qué lugar (a la derecha,

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

a la izquierda o en el centro),

el campo eléctrico producido por las dos cargas es nulo

Determine la distancia exacta con respecto a Q1 en que el campo se anula

Respuesta: A una distancia de 0

cada una de ellas de  4  C están sobre el eje x,

una en el origen y la otra en x = 8 m

Hallar el campo eléctrico sobre el eje x en a) x = –2 m,

e) ¿En qué punto del eje x es cero el campo eléctrico

? f) Hacer un esquema de E x en función de x en el intervalo –3

Respuesta: a) E  (9360 N/C) i ,

E  (8000 N/C) i

b) En el punto equidistante de las cargas 14

Tres partículas de carga qa  14 nC ,

qb  26 nC y qc  21 nC están dispuestas en línea recta

La partícula b está entre a y c,

a una distancia de 120 mm de la a y 160 mm de la c

Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y c'en la posición de la partícula b

Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de la partícula c

Respuesta: E  (1365

E  (390

Dos cargas de signos contrarios están separadas 12 cm

La magnitud de la intensidad eléctrica en el punto medio entre las cargas es de 5106 N/C

La suma algebraica de las dos cargas es de +4 µ C

Determine el valor de las cargas

Respuesta: q 1  3  10 6 C ,

[MA] Se tienen dos cargas puntuales,

a) Encontrar el módulo y la dirección del campo eléctrico en un punto situado a 0

b) Hallar el punto donde el campo eléctrico de estas dos cargas es cero

determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero

Willians Medina

00  C

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Respuesta: A 1

Dos cargas 3q y –7q están separadas 50 cm

Determinar: a) El punto (o puntos) donde la intensidad del campo eléctrico es cero

b) La intensidad del campo eléctrico en el punto (o puntos) donde es igual debido a cada carga

q2 50 cm

Respuesta: a) A 94

78 cm 19

localice el punto (o puntos) donde el campo eléctrico es cero

Respuesta: A 2

[TM] Una carga puntual de  5  C está localizada en x  3

¿Dónde debe situarse una tercera carga de 6  C para que el campo eléctrico en x  0 sea cero

38 cm 21

Una carga q1 de +8 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 35 mm está ubicada otra carga

La intensidad del campo eléctrico en x = 45 mm es de 2107 N/C con la misma dirección del eje x

Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero

Respuesta: q2  1

02 mm 22

Una carga q1 de +4 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 45 mm está ubicada otra carga

La intensidad del campo eléctrico en x = 55 mm es de 3

Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero

Respuesta: q2  2

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

[TM] Se colocan tres cargas puntuales de –5

00 cm ,

Calcular el campo eléctrico en el eje x para x  15 cm

¿Hay puntos donde el módulo del campo eléctrico es cero

¿qué puntos son

95 cm 24

y una tercera carga Q está situada en

La fuerza que actúa sobre la carga de 4

b) Con esta configuración de tres cargas,

¿en qué punto a lo largo de la dirección x el campo eléctrico es cero

Ejemplo 3

[MA] ¿Cuál debe ser la carga de una partícula de masa 2 g para que permanezca en reposo en el laboratorio al colocarse donde el campo eléctrico está dirigido hacia abajo y es de intensidad 500 N/C

Fe  P  0

Fe  P qE  mg

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

[RS] ¿Cuál será la magnitud y la dirección del campo eléctrico que equilibre el peso de a) un electrón y b) un protón

el núcleo de un átomo de helio,

¿Qué magnitud y dirección del campo eléctrico balancearán su peso

[RH] En un campo eléctrico uniforme cerca de la superficie terrestre una fuerza eléctrica de 3

a) Determine el campo eléctrico

b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza eléctrica ejercida sobre un protón puesto en este campo

? c) ¿Cuál es la fuerza gravitacional ejercida sobre el protón

? d) ¿Cuál es la razón de la fuerza eléctrica a la gravitacional en este caso

? Respuesta: a) E  1500 N/C

[TM] La Tierra tiene un campo eléctrico cerca de su superficie que es de,

aproximadamente 150 N/C y que está dirigido hacia abajo

a) Comparar la fuerza eléctrica ascendente ejercida sobre un electrón con la fuerza gravitatoria dirigida hacia abajo

b) ¿Qué carga debería tener una moneda de 3 g para que el campo eléctrico equilibrase su peso cerca de la superficie de la Tierra

Fg  8

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

[RH] En el experimento de Millikan,

se balancea una gota de radio 1

Calcule la carga en la gota en términos de e

Respuesta: 5 e 30

Una masa puntual “m” que posee una carga “q” se encuentra colgada de un hilo de masa despreciable

Si se establece un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal tal y como se muestra en la figura y la masa se mantiene en equilibrio formando un ángulo  con la vertical,

determine el ángulo que adquiere el hilo con respecto a la vertical

Tómese:

E  2 104 N/C

¿Qué pasa si se cambia el sentido del campo

? ¿Qué pasa si se cambia el sentido de la carga

52º 31

Una esfera de masa “m” que posee una carga “q” se encuentra ubicada en un plano inclinado que forma un ángulo  con la horizontal como se muestra en la figura

Demuestre que para que la masa se mantenga en equilibrio se debe establecer un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal y sentido oeste de valor E  

[RS] Una pelota de corcho cargada con 1

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

E  (3

00 i  5

la pelota está en equilibrio en   37

Determine a) la carga sobre la pelota y b) la tensión en el hilo

T  5

44 nN 33

[DF] Dos esferitas idénticas de masa m y cargas iguales y opuestas de magnitud q,

están suspendidas por cuerdas ligeras de longitud L

Un campo uniforme se aplica en la dirección x y las dos esferitas se ubican en equilibrio cuando los hilos forman un ángulo 

Determine la magnitud del campo eléctrico

kq m g tan  2 q 4 L'sen  2

[RS] Una pelota de corcho de 1

Si se desplaza ligeramente de la vertical,

la pelota oscila como un péndulo simple

a) Determine el periodo de esta oscilación

b) ¿Deberán incluirse las fuerzas de la gravedad en el cálculo del inciso a

Respuesta: a) 0

[TM] Se coloca un péndulo simple de 1

La “lenteja” Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

del péndulo tiene una carga q  8

0  C

El periodo del péndulo es 1

Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico

Respuesta: E  (2858

Ejemplo 3

Dos cargas puntuales q1  6  C y q2  6  C ,

están ubicadas como muestra la figura

3 cm 6 cm

S  a) ¿Cuál es la magnitud y dirección de E en el punto S

? b) ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

3 cm 6 cm

Campo eléctrico resultante

ER  E1  E2 Puesto que los campos se encuentran en la misma dirección:

ER  E1  E2 Módulo de los campos individuales

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0

E1  k

E1  9  10 9

m 2 6  10 6 C  C2 (9  10 2 m) 2

E1  6

E2  k

E 2  9  10 9

m 2 6  10 6 C  C2 (3  10 2 m) 2

E2  60  10 6 N/C Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Campo eléctrico resultante

ER  60 106 N/C  6

S Campo eléctrico resultante

ER  E1  E2 Campo

Componente x

Componente y

E1 cos 

E1 cos   E2 cos 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1 cos   E2 cos  ) i  ( E1 sen   E2 sen  ) j E1  E2 E R  2 E1 sen  j Módulo del campo eléctrico resultante

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

E1  k

Cargas puntuales

Distancia de separación entre la carga 1 y la carga de prueba q 0

r  5 102 m E1  9  10 9

m 2 6  10 6 C  C2 (5  10 2 m) 2

E1  2

E R  2  2

E  (2

Problema 17 del Serway

Séptima Edición

Página 667

En las esquinas de un cuadrado de lado a,

existen cuatro partículas con carga

a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la ubicación de la carga q

b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica total ejercida sobre q

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Solución

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0

ER  E1  E2  E3 Campo

Componente x

Componente y

E2 cos 45º

E2 sen 45º

E1  E2 cos 45º

E2 sen 45º  E3

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1  E2 cos 45º ) i  ( E2 sen 45º  E3 ) j Módulo de los campos individuales

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0

E1  k

Campo eléctrico ejercido por la carga 2 sobre la carga de prueba q 0

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

E2  k

Campo eléctrico ejercido por la carga 3 sobre la carga de prueba q 0

E3  k

Campo eléctrico resultante

 2  2 q q q  i  3k q  ER   2 k 2  3 k   2k 2  j 2 2  a 2   2 a 2 2a a   ER  k

 3 2 2  i  k q  4  a2 

3 2    4 j  4   

ER  k

   3 2  3 2 i    4 j  2   4   4   

ER  k

Módulo del campo eléctrico resultante

ER  k

0607) 2

E R  5

Dirección del campo eléctrico resultante

F  qE Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

FR  q  k FR  k

Cargas puntuales

FR  5

La dirección de la fuerza es la misma del campo eléctrico

Ejemplo 3

Problema 76 del Tipler

Sexta Edición

Página 726

Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L',

Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor E es

Solución

Campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

ER  E1  E2  E3  E4 Campo

Componente x

Componente y

E1 sen 

E4 cos 

E4 sen 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1 cos   E4 cos  ) i  ( E1 sen   E2  E3  E4 sen  ) j E1  E4 E 2  E3 E R  ( E1 cos   E1 cos  ) i  ( E1 sen   E2  E2  E1 sen  ) j E R  (2 E1 sen   2 E2 ) j E R  2 ( E1 sen   E2 ) j Módulo de los campos individuales

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0

E1  k

q q 4k q k 5 2  2 2 ( L)  L'5 L2 4L 1 2

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Campo eléctrico ejercido por la carga 2 sobre la carga de prueba q 0

E2  k

q q 4k q k 1 2  2 2 ( L) L'4L 1 2

Ángulo que forma el campo eléctrico ( E1 ) con la horizontal

1 2 5 4

Campo eléctrico resultante

 4k q 1 4k q  ER  2  2   2 j  5L L' 5 

 8 k q  1  1 j 2  L' 5 5 

El campo eléctrico tiene dirección a lo largo del eje vertical y sentido hacia la carga negativa

Su módulo es:

Ejercicios propuestos

[RS] Tres partículas con carga están alineadas a lo largo del eje x,

según se muestra en la figura

Determine el campo eléctrico en a) la posición ( 2

00 nC 5

Respuesta: a) E  (24

21 N/C) i

42 N/C) j

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Tres cargas puntuales están ordenadas como se muestra en la figura

a) Encuentre el vector campo eléctrico que crean en el origen de manera conjunta las cargas de 6 nC y –3 nC

b) Encuentre el vector fuerza sobre la carga de 5 nC

E  (440

07 N/C) j

F  (2

Dos cargas eléctricas q1  4 10 5 C y q2  3 10 5 C están en los extremos de un triángulo rectángulo

Determinar la intensidad del campo eléctrico en: a) El punto C,

b) El punto medio de la hipotenusa,

c) Donde es nulo según la línea que une las cargas

Respuesta:

E  (4

E  (2

Tres partículas con cargas q A  35 nC ,

qB  25 nC y qC  40 nC ,

están colocadas en las esquinas de un triángulo

La partícula A está en la esquina de 90 grados,

a una distancia de 18 cm de la B y a 24 cm de C

Coloque el sistema de coordenadas centrado en Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

B en el eje x y C en el eje y ,

determine a) el campo eléctrico producido por las partículas b y c'en la posición de la partícula a,

b) el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de c

Respuesta: a) E A  (6934

36 j ) N/C

[RS] En los vértices de un triángulo equilátero existen tres cargas según se muestra en la figura

a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2

00  C

b) Utilice la respuesta del inciso a) para determinar la fuerza ejercida sobre la carga de 2

00  C

0  C

0  C

En un triángulo equilátero de lado 6 cm se colocan tres cargas eléctricas cuyos valores son: q 1 = 4

10–6 C,

10–6 C,

10–6 C

Determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto medio del lado AC

Respuesta: 7

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Tres partículas con cargas iguales q están en las esquinas de un triángulo equilátero de lado d',

determine el campo eléctrico en a) el centro del triángulo y b) en el punto medio de uno de sus lados

Respuesta: a) 0

4k q 3d 2

[TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L'(Figura)

Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca en el otro vértice

¿Dónde deberíamos colocar una cuarta carga puntual q para que el campo eléctrico en el centro del triángulo fuera cero

? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices)

Respuesta: A una distancia

centro y del lado opuesto a la carga 2 q 44

[TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L'(Figura)

Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Se coloca una cuarta carga puntual q´ en el punto medio de la base,

de tal forma que el campo eléctrico en el centro del triángulo es cero

¿Cuál es el valor de q´

? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices)

Respuesta: q  13 q 45

a) Determine el campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas en A y B

b) repita el inciso a) pero considerando ahora que la carga en B es de signo contrario

Respuesta: a) E  

b) E  2 ( 3 i  j ) 2 2l 2l

[PT] Dos cargas iguales y opuestas,

están colocadas en las esquinas de la base de un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud a

Muestre que la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el vértice superior es la misma,

con o sin la presencia de una de las cargas

¿Cuál es el ángulo entre los dos campos producidos de esta forma

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Respuesta: E 

Cargas puntuales

60º a2

Se coloca una carga de magnitud q en cada uno de los vértices de un cuadrado de arista a

Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados

Suponga que q  8

Respuesta: E 

16 k q ,

Dirigido hacia el centro del cuadrado

E  1

Tres partículas con cargas positivas iguales q ocupan esquinas en un cuadrado de lado

determine el campo eléctrico a) en el centro del cuadrado,

b) en la esquina vacante y c) en el punto medio de cada uno de los lados del cuadrado

Respuesta:

 2kq  E  1  (i  j )

Lado derecho: d'2  5 5 5 5d2

[RH] Determinar el campo eléctrico en el centro del cuadrado de la figura

Suponga que

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

2 2kq j ,

E  (1

Respuesta: E 

[DF] Tres cargas puntuales Q1  3 106 C ,

Q2  2 106 C y Q3  106 C están en las esquinas de un paralelogramo,

cuyos lados son a  3 m y b  2 m ,

¿Cuál es el campo eléctrico resultante en la esquina vacante

Respuesta: (1276 i  2330 j ) N/C Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano cartesiano

Ejemplo 3

Problema 44 del Tipler

Sexta Edición

Página 724

Dos cargas positivas iguales q están en el eje y

una está en y  a y la otra en y  a

a) Demostrar que el campo eléctrico en el eje x está dirigido a lo largo de dicho eje con

2k q x 3

b) Demostrar que en las proximidades del origen,

E x 

c) Demostrar que para x mucho mayor que a,

E x  2

Explicar por qué debería esperarse incluso antes de ser calculado

d) Demostrar que el Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

campo eléctrico para la distribución de cargas tiene su máximo valor en los puntos x  y x

Solución

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0

Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Campo eléctrico resultante

ER  E1  E2 Campo

Componente x

Componente y

E1 cos 

E2 cos 

E2 sen 

E1 cos   E2 cos 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1 cos   E2 cos  ) i  ( E1 sen   E2 sen  ) j E R  ( E1  E2 ) cos  i  ( E1  E2 ) sen  j E1  E2 E R  2 E1 cos  i Módulo del campo eléctrico resultante

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0

E1  k

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Distancia de separación entre la carga 1 y la carga de prueba q 0

E1  k

Ángulo que forma el campo eléctrico ( E1 ) con la horizontal

x2  a2

ER  2 k ER 

2k q x 3

b) Si x  a : x 2  a 2  a 2

2k q x a3

c) Si x  a : x 2  a 2  x 2

2k q x x3

2k q x2

El campo obtenido es el equivalente al campo existente debido a una carga puntual cuyo valor es 2 q a una distancia x,

el sistema se comporta como una carga puntual

2k q x 3

Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Para un valor máximo del campo eléctrico: 3

d E R 2 k q ( x 2  a 2 ) 2  2 k q x  32 ( x 2  a 2 ) 2 (2 x)  dx ( x 2  a 2 )3 3

d ER 2 k q ( x 2  a 2 ) 2  6 k q x 2 ( x 2  a 2 ) 2  dx ( x 2  a 2 )3 1

d ER 2 k q ( x 2  a 2 ) 2 ( x 2  a 2  3 x 2 )  dx ( x 2  a 2 )3 d'E R 2 k q (a 2  2 x 2 )  5 dx (x2  a 2 ) 2 a2  2 x2  0

a2 2 a 2

Ejercicios propuestos

[TM] Una carga puntual  5  C está localizada en x  4 m ,

Una segunda carga puntual de 12  C está localizada en x  1 m ,

a) Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico en x  1 m ,

b) Calcular el módulo y la dirección de la fuerza sobre un electrón situado en x  1 m ,

c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero

Respuesta: a) E  1

2834 m ,

[TM] Una carga puntual 5  C está localizada en x  1 m ,

 4  C está localizada en x  2 m ,

a) Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico en x  3 m ,

b) Determinar el módulo y la dirección de la fuerza Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

sobre un protón en x  3 m ,

c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero

Respuesta: a) E  1938

90 N/C ,

4721 m ,

Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P ( 2 ,

Respuesta: (1205

Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P ( 3 ,

Respuesta: E  (1802

la magnitud de E en el punto P está dada por E y 

[TM] Dos cargas iguales positivas de valor q1  q2  6

a) ¿Cuál es el valor y sentido del campo eléctrico sobre el eje x en x  4 cm

b) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre una tercera carga q0  2 nC situada en el punto x  4 cm

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Determine el campo eléctrico en las siguientes distribuciones

E  (2

E  (1

Otras dos cargas Q están localizadas en x  4

El campo eléctrico en x  0 ,

Determinar Q

Respuesta: Q  4

Una partícula con carga  5

a) Determine las componentes cartesianas del campo eléctrico producido en los puntos a)

(15 cm ,

c) (15 cm ,15 cm ,15 cm ) y d) (10 cm ,

20 cm ,

e) Determine E en los mismos puntos

Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Respuesta:

Cargas puntuales

E  (2316

E  (819

E  (445

49 j ) N/C

40 N/C,

26 N/C,

56 N/C 60

[RS] Considere la distribución de cargas que se muestra en la figura

a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el centro de cualquiera de las caras del cubo tiene un valor de

b) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el centro de la cara 3 3 a2

x Respuesta: b) k Dipolo eléctrico

Ejemplo 3

Problema 60 del Tipler

Sexta Edición

Página 725

Un dipolo de momento 5e nm se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme de valor 4

¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo cuando a) el eje del dipolo es paralelo al campo eléctrico,

b) el dipolo es perpendicular al campo eléctrico,

y c) el dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico

d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso

Solución

Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

U  8  10 28 C

U  8 10 28 C

Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

m  4 10 4 N/C  sen 30º   1

U  8  10 28 C

m  4 10 4 N/C  cos 30º U  2

Ejercicios propuestos

[RH] Calcule el momento dipolar de un electrón y de un protón separados por una distancia de 4

Respuesta: p  6

[TM] Dos cargas puntuales q1  2 pC y q2  2 pC están separadas una distancia de 4 mm

¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas

? Haga un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento dipolar

Respuesta: p  8  10 15 C

m dirigido de la carga negativa a la carga positiva 63

Un dipolo eléctrico de cargas q  2 10 6 C separadas 4 cm se coloca dentro de un campo eléctrico de 1

105 N/C

Determinar: a) El momento que ejerce el dipolo cuando forma un ángulo de 30º,

b) ¿Qué cantidad de trabajo debe hacer un agente externo para girar el dipolo 60º

? Respuesta: a) 4 10 3 J

Un dipolo se coloca dentro de un campo externo de 1

10 5 N/C

Si las cargas tienen una magnitud de 1

Determinar: a) El momento que ejerce el campo en el dipolo cuando forma un ángulo de 30°,

b) La cantidad de trabajo que debe Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

hacer un agente externo para dar al dipolo ½ vuelta a partir de la posición colineal del campo

q E q Respuesta: a) 10 3 J

[RH] Se mantienen a una distancia de 15

a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de E en un punto intermedio entre las cargas

? b) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) operaría en un electrón puesto allí

[RS] Considere el dipolo eléctrico que se ilustra en la figura

x 2a a) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje x es E  

4k qa x i

b) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje y es E 

2k qa 3

c) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje x es E   d) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje y es E  Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

[RH] En la configuración de carga de la figura demuestre que,

E (r ) en los puntos del eje horizontal está dado por E 

q  4d  1   4  0 r 2  r  1

[Sugerencia: la configuración de la carga puede concebirse como la suma de una carga aislada y de un dipolo] 68

Un dipolo tiene cargas de magnitud 1

Determinar: a) El campo eléctrico en la línea que une las cargas a una distancia de 4 cm de la carga positiva,

b) El campo eléctrico en la perpendicular bisectriz a la línea que las une a una distancia de 4 cm

Respuesta: a) 1

10 7 N/C

106 N/C 69

[MA] En un sistema de coordenadas rectangulares una carga de 25  10 9 C se coloca en el origen y otra carga de  25 10 9 C se coloca en el punto x = 6 m,

¿Cuál es el campo eléctrico a) en x = 3 m,

Un dipolo centrado en el origen está formado por dos partículas,

 16 10 19 C situada en z  0

y la otra con igual carga pero negativa y a la misma distancia pero de lado contrario

Determine p (momento bipolar)

Determine el Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

campo eléctrico producido por el dipolo en el plano x y a una distancia de 1  m del origen

Resuelva el inciso anterior para una distancia de 2  m

Respuesta: p  1

E  1

1791 N/C ,

E  0

Un dipolo con momento p  2 a q k está centrado en el origen

Determine E a lo largo del eje z en puntos alejados del dipolo,

Sugerencia: Utilice el desarrollo en serie de un binomio

[RH] Un tipo de cuadripolo eléctrico se compone de cuatro cargas ubicadas en los vértices de un cuadrado de lado 2 a

El punto P está a una distancia x del centro del cuadripolo en una línea paralela a ambos lados del cuadrado,

según se aprecia en la figura

Cuando x  a ,

demuestre que el campo eléctrico en P está dado aproximadamente por

(Sugerencia: tratar el cuadripolo como dos dipolos)

[RH] La figura muestra un tipo de cuadripolo eléctrico

Lo constituyen dos dipolos cuyos efectos en los puntos externos no se cancelan del todo

Demuestre que el valor de E sobre el eje del cuadripolo en los puntos a una distancia x de su centro (suponga que x >> d) está dado por E 

3Q 4  0 x

donde Q  2 q d'2 es el momento cuadripolar de la distribución

Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ejemplo 3

[MA] Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico uniforme

Se libera un electrón de la superficie de la placa negativa y choca en la superficie de la placa opuesta,

a) Calcular el campo eléctrico entre las placas,

b) calcular la velocidad del electrón al chocar con la placa

Solución

F  qE F  ma q E  ma E

Física II

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Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Aceleración del electrón

E  1010

Problema 53 del Tipler

Sexta Edición

Página 724

Un electrón tiene una velocidad inicial de 2 106 m/s en la dirección del eje de las x

Entra  en el interior de un campo eléctrico uniforme E  300 N/C j que tiene la dirección y

a) Hallar la aceleración del electrón

b) ¿Cuánto tiempo tardará el electrón en recorrer 10 cm en la dirección x

? c) ¿Cuál será el módulo y la dirección de la velocidad del electrón después de haber recorrido 10 cm en la dirección x

v0 x  2

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

E  300 N/C j a) a 

x  10 cm  10 10 2 m c) v 

x  10 cm  10 10 2 m

F  qE F  ma q E  ma a

t  5 10 8 s'c) v x  2

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

0  10 6

Ejemplo 3

[MA] Se lanza un electrón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5000 N/C dirigido verticalmente hacía abajo

La velocidad inicial del electrón es de 107 m/s y forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal

a) Calcular el tiempo requerido para que el electrón alcance su altura máxima

b) Calcular la elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial

c) ¿Que distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicial

? d) Dibujar la trayectoria del electrón

Solución

? a) Tiempo en alcanzar la altura máxima

Física II

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Cálculo de la aceleración del electrón

F  qE F  ma q E  ma a

Willians Medina

Capítulo 3

El campo eléctrico

Cargas puntuales

Distancia horizontal recorrida

x  107 m/s  cos 30º1

Determine la magnitud de la aceleración que experimenta un electrón en un campo eléctrico de 576 N/C

¿Cómo depende la dirección de la aceleración de la dirección del campo en ese punto

[MA] Entre las placas de deflexión de un osciloscopio de rayos catódicos,

existe un campo eléctrico de 30000 N/C

a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón colocado en esta región

? b) ¿Qué aceleración adquiere el electrón debido a esta fuerza

? Compararla con la aceleración de la gravedad

Respuesta: E  4

considerada en la defensa antimisiles,

Por ejemplo,

un haz de protones que golpea un misil enemigo podría anularla por completo

Los haces pueden producirse en “armas” que se sirven de campos eléctricos para acelerar las partículas cargadas

a) ¿Qué aceleración experimentará un protón si el campo eléctrico es 2

? b) ¿Qué velocidad alcanzará el protón si el campo actúa en una distancia de 1

[RH] Un campo eléctrico acelera un electrón hacia el este a 1

Determinar la magnitud y la dirección del campo