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Calor y Ondas

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DILATACIÓN 150

FÍSICA GENERAL

TÉRMICA

LA TEMPERATURA (T ) se puede medir en la escala Celsius,

donde el punto de congelación del agua es a 0 °C y el punto de ebullición (bajo condiciones normales) es a 100 °C

La escala Kelvin (o absoluta) está desplazada 273

así que el punto de congelación del agua está a 273

El cero absoluto,

temperatura que se analizará en el capítulo 16,

15 °C)

La aún usada escala Fahrenheit se relaciona con la escala Celsius mediante la ecuación Temperatura Fahrenheit 

DILATACIÓN LINEAL DE UN SÓLIDO: Cuando un sólido sufre un aumento de temperatura ∆T,

su incremento en longitud ∆L es casi proporcional al producto de su longitud inicial L0 por el cambio de temperatura ∆T

Esto es,

∆L  ␣ L0 ∆T donde la constante de proporcionalidad ␣ se llama coeficiente de dilatación lineal

El valor de ␣ depende de la naturaleza de la sustancia

Para los fines de esta obra se puede tomar ␣ como constante independiente de T,

aun cuando esto rara vez es exactamente cierto

De la ecuación anterior,

␣ es el cambio en longitud por unidad de longitud inicial y por unidad de temperatura

Por ejemplo,

el coeficiente de dilatación lineal para el latón es

DILATACIÓN SUPERFICIAL: Si un área A0 se dilata a A0  ∆A cuando se sujeta a un aumento de temperatura ∆T,

entonces ∆A  ␥ A0 ∆T donde ␥ es el coeficiente de dilatación superficial

Para un sólido isotrópico (que se expande de la misma manera en todas direcciones),

DILATACIÓN VOLUMÉTRICA: Si un volumen V0 cambia por una cantidad ∆V cuando se sujeta a un cambio de temperatura ∆T,

entonces ∆V  ␤V0 ∆T donde ␤ es el coeficiente de dilatación volumétrica,

el cual puede ser un aumento o una disminución en volumen

Para un sólido isotrópico,

PROBLEMAS RESUELTOS 15

Una barra de cobre tiene una longitud de 80 cm a 15 °C

¿Cuál es el incremento de su longitud cuando su temperatura aumenta a 35 °C

? El coeficiente de dilatación lineal del cobre es 1

Un cilindro de 1

El agujero tiene un diámetro de 0

¿A qué temperatura se debe calentar la placa

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CAPÍTULO 15: DILATACIÓN TÉRMICA 151 La placa se expandirá de la misma manera,

ya sea que exista o no un agujero en ella

Por consiguiente,

el agujero se expandirá de idéntica forma como lo haría un círculo colocado dentro del agujero

Se desea que el diámetro del agujero cambie en una cantidad ∆L  (1

00000  0

La temperatura de la placa debe ser 30  27  57 °C

Una cinta métrica de acero se calibra a 20 °C

En un día frío,

cuando la temperatura es de 15 °C,

¿cuál será el error porcentual en la cinta

Para un cambio de temperatura de 20 °C a 15 °C,

Entonces

Una barra de cobre (␣  1

¿Cuál debe ser la longitud de la barra de cobre si la diferencia en longitudes es independiente de la temperatura

? Para que la diferencia de longitudes no cambie con la temperatura,

∆L tiene que ser la misma para ambas barras con el mismo cambio de temperatura

Esto es,

(␣L0 ∆T )cobre  (␣L0 ∆T )aluminio o

20 m) ∆T

donde L0 es la longitud de la barra de cobre y ∆T es la misma para las dos barras

Al resolver se encuentra que L0  0

Una esfera de acero (␣  1

9000 cm,

mientras que el diámetro de un agujero en una placa de aluminio (␣  2

8990 cm

¿A qué temperatura (la misma para ambos) apenas pasará la esfera por el orificio

para una temperatura ∆T mayor que 20

los diámetros de la esfera y del agujero sean los mismos: 0

9000 cm)(1

8990 cm)(2

Como la temperatura inicial era de 20

la temperatura final debe ser de 121 °C

Una cinta métrica de acero se utiliza para medir la longitud de una barra de cobre de 90

que es la temperatura de calibración de la cinta

¿Cuál será la lectura de la cinta para la longitud de la barra cuando ambas están a 30 °C

A 30 °C,

la barra de cobre tendrá una longitud L0(1  ␣c ∆T ) mientras que las marcas de “centímetros” adyacentes en la cinta de acero estarán separadas una distancia de (1

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FÍSICA GENERAL Por consiguiente,

el número de “centímetros” leídos en la cinta será

Usando la aproximación

para x muy pequeña comparada con 1,

la lectura en la cinta será de 90

Un vaso de precipitados se llena “hasta la marca” con 50

Si el vaso y su contenido se calientan a 38 °C,

¿cuánto mercurio estará por arriba de la marca

Se tomará ␤vidrio  3␣vidrio como una buena aproximación

El interior del vaso se dilatará como si fuera una pieza sólida de vidrio

Entonces,

Volumen de mercurio sobre la marca  (∆V del mercurio) – (∆V del vidrio)  ␤mV0 ∆T  ␤gV0 ∆T  (␤m  ␤g )V0 ∆T  [(182  27) × 106 °C1](50

La densidad del mercurio a exactamente 0 °C es de 13 600 kg兾m3,

y su coeficiente de dilatación volumétrica es de 1

Calcule la densidad del mercurio a 50

␳0  densidad del mercurio a 0 °C ␳1  densidad del mercurio a 50 °C V0  volumen de m kg de mercurio a 0 °C V1  volumen de m kg de mercurio a 50 °C Dado que la masa no cambia,

Pero Al sustituir en la primera ecuación se obtiene

Considere una masa m de líquido que tiene un volumen V0,

Después de un cambio de temperatura ∆T el nuevo volumen es V  V0  V0 ␤∆T

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CAPÍTULO 15: DILATACIÓN TÉRMICA 153 y la densidad será

Pero m兾V0  ␳0,

y por tanto se puede escribir ␳(1  ␤ ∆T)  ␳0 Entonces se encuentra ∆␳  ␳  ␳0  ␳␤ ∆T En la práctica,

␳ tiene un valor muy próximo al de ␳0,

de tal forma que es posible concluir ∆␳ ⬇ ␳0 ␤∆T

Se tiene

∆␳ ⬇ (13 600 kg兾m3)(182 × 106 °C1)(50

esto tendrá que realizarse en el espacio para que el alambre no tenga peso,

Si la temperatura decrece a 10 °C,

y si los dos puntos permanecen fijos,

¿cuál será la tensión en el alambre

En caso de que el alambre no estuviera fijo en sus extremos,

se contraería una distancia ∆L al enfriarse,

Como resultado,

estiran al alambre la misma longitud ∆L

Por consiguiente,

de la ecuación Y  (F兾A)(∆L兾L0),

se tiene Tensión = Estrictamente,

No obstante,

el error es despreciable a pesar de no tomar en cuenta dicho valor

una viga de acero (con un área de 45 cm2 en la sección transversal) se coloca en su lugar cementando sus extremos a las columnas

Si los extremos cementados no se pueden mover,

¿cuál será la fuerza de compresión sobre la viga cuando la temperatura suba a 25 °C

Se procede de la misma forma que en el problema 15

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FÍSICA GENERAL

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 15

Calcule el incremento de longitud de un alambre de cobre que mide 50 m cuando su temperatura cambia de 12 °C a 32 °C

Para el cobre,

Una barra de 3

¿Cuál es el valor de ␣ para el material de que está hecha la barra

Una rueda lisa tiene un diámetro de 30

El diámetro interior de su aro de acero mide 29

tanto la placa como la esfera están a una temperatura de 30 °C

¿A qué temperatura (la misma para la esfera y la placa) apenas pasará la esfera por el agujero

se utiliza para medir cierta distancia como 88

42 cm a 35

Calcule el error en la medición debido a la dilatación de la regla

b) Se encuentra que la longitud de una barra de acero medida con la regla es de 88

42 cm a 35

¿cuál es la longitud correcta de la barra de acero a 35 °C

? El coeficiente de dilatación lineal del aluminio es 22 × 106 °C1

Cuando su temperatura se incrementa ∆T,

su velocidad angular cambia a ␻

Calcule ␻0兾␻ si el coeficiente de dilatación lineal para el material de la esfera es ␣

Encuentre el aumento en volumen de 100 cm3 de mercurio cuando su temperatura cambia de 10 °C a 35 °C

El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es 0

El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es de 9

Un picnómetro (frasco que sirve para determinar la densidad relativa de líquidos) tiene una capacidad de 50

Calcule su capacidad a 25 °C

cuando la temperatura cambia de 15 °C a 47 °C

El coeficiente de dilatación lineal del hierro fundido es 0

¿Qué volumen de líquido se derramará cuando su temperatura se eleve a 86 °C

? El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es de 9

el coeficiente de dilatación volumétrica de la trementina es 97 × 105 °C1

y el coeficiente de dilatación lineal es 14

Calcule la densidad del oro a 90

Eche un vistazo al problema 15

2 g兾cm3

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GASES IDEALES

CAPÍTULO 16: GASES IDEALES 155

UN GAS IDEAL (O PERFECTO) está compuesto de pequeñas partículas en movimiento que no interactúan entre sí y obedecen la ley de los gases ideales,

que se establece posteriormente

A presiones bajas o moderadas y a temperaturas no muy bajas,

los siguientes gases comunes se pueden considerar como ideales: aire,

Casi cualquier gas químicamente estable se comporta como gas ideal,

si se encuentra alejado de condiciones de licuefacción o solidificación

En otras palabras,

un gas real se comporta como uno ideal cuando sus átomos o moléculas están tan separadas que no interactúan de manera apreciable entre sí

UN MOL DE UNA SUSTANCIA es la cantidad de sustancia que contiene tantas partículas como átomos hay en exactamente 12 gramos (0

Así pues,

un kilomol (kmol) de una sustancia es la masa (en kg) que numéricamente es igual a la masa molecular (o atómica) de la sustancia

Por ejemplo,

la masa molecular del gas hidrógeno,

De manera similar,

Aquí se utilizarán kilomoles y kilogramos en los cálculos

En ocasiones se empleará el término peso molecular (o atómico) en lugar de masa molecular,

LEY DEL GAS IDEAL: La presión absoluta P de n kilomoles de un gas contenido en un volumen V se relaciona con la temperatura absoluta T por PV  nRT donde R  8 314 J兾kmol · K se conoce como constante universal de los gases

Si el volumen contiene m kilogramos de gas con una masa molecular (o atómica) M,

LOS CASOS ESPECIALES de la ley del gas ideal se obtienen al dejar constantes dos de sus variables,

T constantes): PV  constante Ley de Charles (n,

P constantes):

Ley de Gay-Lussac (n,

V constantes):

EL CERO ABSOLUTO: Con n y P constantes (ley de Charles),

el volumen de un gas ideal decrece linealmente con T y (si el gas permanece como ideal) podría llegar a cero cuando T  0 K

Similarmente,

con n y V constantes (ley de Gay-Lussac),

la presión disminuiría hasta cero con la temperatura

Esta temperatura única,

para la cual P y V llegarían a cero,

LAS CONDICIONES ESTÁNDAR O TEMPERATURA Y PRESIÓN ESTÁNDARES (TPE) se definen como T  273

Bajo condiciones estándar,

Por consiguiente,

LEY DE DALTON DE LAS PRESIONES PARCIALES: La presión parcial de un componente de una mezcla de gases se define como la presión que ejercería el gas componente si ocupara sólo el volumen completo

Entonces,

la presión total de una mezcla de gases ideales no reactivos es la suma de las presiones parciales de los gases que la componen

Esto tiene sentido ya que,

cada gas es “ajeno” a la presencia de cualesquier otros gases

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FÍSICA GENERAL

LOS PROBLEMAS SOBRE LA LEY DE LOS GASES que incluyen cambios en las condiciones,

T1) hasta (P2,

por lo general se resuelven más fácilmente si la ley de los gases se escribe como (cuando n es constante) Recuerde que es temperatura absoluta y presión absoluta

Note que la presión,

debido a que aparece en ambos lados de la ecuación,

se puede expresar en las unidades que desee

PROBLEMAS RESUELTOS 16

Una masa de oxígeno ocupa 0

101 kPa,

Determine su volumen si su presión se incrementa hasta 108 kPa mientras su temperatura cambia a 30 ºC

Dado que se tiene Pero T1  5  273  278 K y T2  30  273  303 K,

Un día,

cuando la presión atmosférica es de 76 cmHg,

un manómetro marca que la presión interna de un tanque es de 400 cmHg

El gas en el tanque tiene una temperatura de 9 ºC

Si el Sol calienta el tanque hasta 31 ºC y no existen fugas de gas en el mismo,

¿cuál será la lectura de la presión en el manómetro

? así que Pero los manómetros de los tanques generalmente leen la diferencia de presiones entre el interior y el exterior,

la cual se conoce como presión manométrica

Por tanto,

P1  76 cmHg  400 cmHg  476 cmHg Además,

V1  V2

Entonces se tiene

La lectura en el manómetro será de 513 cmHg  76 cmHg  437 cmHg

La presión manométrica en la llanta de un automóvil es de 305 kPa cuando su temperatura es de 15 ºC

Después de correr a alta rapidez,

el neumático se calienta y su presión sube a 360 kPa

¿Cuál es entonces la temperatura del gas de la llanta

? Considere la presión atmosférica como 101 kPa

Tenga cuidado de usar solamente temperatura absoluta y presiones absolutas: así con

P1  305 kPa  101 kPa  406 kPa

P2  360 kPa  101 kPa  461 kPa

la temperatura final de la llanta es 327  273  54 ºC

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CAPÍTULO 16: GASES IDEALES 157 16

Un gas a temperatura y presión ambiente está confinado en un cilindro mediante un pistón

Después,

el pistón se empuja de modo que el volumen se reduce a una octava parte de su valor inicial

Luego de que la temperatura del gas regresa a la temperatura ambiente,

¿cuál es la presión manométrica del gas en kPa

? La presión atmosférica local es de 740 mm de mercurio

Recuerde que puede trabajar en las unidades de presión que desee

Aquí T1  T2,

P1  740 mmHg y V2  V1兾8

Al sustituir se obtiene P2  (740 mmHg)(8)(1)  5 920 mmHg La presión manométrica es la diferencia entre la presión efectiva y la atmosférica

Por tanto Presión manométrica  5 920 mmHg  740 mmHg  5 180 mmHg Ya que 760 mmHg  101 kPa,

la presión manométrica en kPa es

Un gas ideal tiene un volumen de exactamente 1 litro a 1

¿A cuántas atmósferas de presión se debe someter para comprimirlo hasta 0

Cierta masa de gas de hidrógeno ocupa 370 mL a 16 ºC y 150 kPa

Encuentre su volumen a 21 ºC y 420 kPa

25 kg兾m3

Determine su densidad a 42 ºC y 730 mm de mercurio

Ya que ␳  m兾V,

se tiene V1  m兾␳1 y V2  m兾␳2 para una masa de gas dada bajo dos conjuntos de condiciones

Entonces se tiene Ya que TPE son 760 mmHg y 273 K,

Note que aquí la presión puede expresarse en mmHg,

pues las unidades se cancelan en la razón P2兾P1

Un tanque de 3

¿Qué masa de oxígeno hay en el tanque

? La masa molecular del oxígeno es de 32 kg/kmol

Suponga que la presión atmosférica es de 1 × 105 Pa

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FÍSICA GENERAL La presión absoluta del gas es P  (presión manométrica)  (presión atmosférica)  (25  1)  105 N兾m2  26 × 105 N兾m2 De la ley de los gases,

Al resolver para m,

es decir la masa del gas en el tanque,

Determine el volumen ocupado por 4

Método 1 Utilice directamente la ley de los gases:

Método 2 Bajo condiciones TPE,

Por tanto,

¿Cuál será la presión del nitrógeno en el tubo cuando éste se caliente a 20 ºC

? Exprese la respuesta en atmósferas

(M para el nitrógeno es 28 kg兾kmol

) Use PV  (m兾M )RT para encontrar

Calcule la masa del oxígeno almacenado en el tanque

M  32 kg兾kmol para el oxígeno

Use PV  (m兾M )RT para obtener

Encuentre la masa molecular del gas

Use PV  (m兾M )RT y el hecho de que 760 mmHg  1

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CAPÍTULO 16: GASES IDEALES 159 16

Use PV  (m兾M)RT para obtener 75 litros

Use PV  (m兾M)RT y ␳  m兾V para obtener

Calcule el volumen de la burbuja cuando ésta llega a la superficie del lago

Suponga que no cambia su temperatura

La presión absoluta en la burbuja a la profundidad h es P  ␳gh  presión atmosférica donde ␳  1 000 kg兾m3 y la presión atmosférica está alrededor de 100 kPa

A 15 m,

P1  (1 000 kg兾m3)(9

P2  100 kPa

Siguiendo el procedimiento usual se tiene

un tubo de ensayo de 15 cm de longitud se sumerge en un lago

¿Cuán abajo de la superficie del lago debe estar el nivel del agua en el tubo,

si un tercio del tubo está lleno con agua

? Sea h la profundidad del agua en el tubo por abajo de la superficie del lago

La presión del aire P2 en el tubo a una profundidad h es igual a la presión atmosférica Pa más la presión del agua a esa profundidad: P2  Pa  ␳gh De la ley de los gases se obtiene P2 como

Entonces,

donde la presión atmosférica se tomó como 100 kPa

¿Qué cantidad de gas de hidrógeno (M  2

? Escriba la ley de los gases dos veces,

una para cada gas: PN V  nN RT

PHV  nH RT

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FÍSICA GENERAL Al dividir una ecuación entre la otra se eliminan V,

nH  (nN)(0

778)  (0

778)  0

500 kmol

Entonces,

las presiones parciales de los componentes son las siguientes: hidrógeno,

200 mmHg

150 mmHg

320 mmHg

105 mmHg

¿Cuál es a) la presión total de la mezcla y b) la fracción de masa del hidrógeno

MCO2  44 kg兾kmol,

Mmetano  16 kg兾kmol,

Metileno  30 kg兾kmol

De acuerdo con la ley de Dalton,

Presión total  suma de presiones parciales  200 mmHg  150 mmHg  320 mmHg  105 mmHg  775 mmHg

De la ley de los gases,

La masa del hidrógeno presente es

La masa total del gas presente,

es la suma de términos semejantes: mt  (MHPH  MCO2 PCO2  MmetanoPmetano  MetilenoPetileno) La fracción requerida es MH PH MHPH  MCO2 PCO2  MmetanoPmetano  MetilenoPetileno

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 16

La masa de un gas ideal ocupa un volumen de 4

Calcule su volumen a 635 mmHg si la temperatura permanece constante

Una masa de gas ideal dada ocupa 38 mL a 20 ºC

Si su presión se mantiene constante,

¿qué volumen ocupa a una temperatura de 45 ºC

En un día,

cuando la presión atmosférica es de 75

83 cmHg,

un manómetro en un tanque de gas marca una presión de 258

¿Cuál es la presión absoluta (en atmósferas y kPa) del gas dentro del tanque

3 cmHg = 4

¿Cuál será la presión (en kPa y mmHg) en el tanque,

si la temperatura del gas disminuye a 35 ºC

82 kPa  6

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CAPÍTULO 16: GASES IDEALES 161 16

determine su volumen a 6 ºC y 420 mmHg

a) ¿Qué presión se requiere para comprimir 1

el cual puede resistir una presión manométrica máxima de 3

00 atm,

¿cuál sería la máxima temperatura del gas si se desea que el tanque no estalle

La parte superior del tubo está abierta

La temperatura es de 14 ºC y la presión atmosférica es de 740 mmHg

¿Qué longitud tendría la columna de aire atrapado si la temperatura fuera de 30 ºC y la presión atmosférica de 760 mmHg

Figura 16-1

el aire está atrapado en la parte inferior sellada del tubo capilar vertical,

por una columna de mercurio de 8

La parte superior del tubo está abierta y el sistema está en equilibrio

¿Cuál será la longitud de la columna de aire atrapado si el tubo se inclina hasta alcanzar un ángulo de 65º con la vertical

cuando el barómetro marca una lectura de 75

un vaso de precipitados contiene 250 mL de cierto gas ideal a 20

Un manómetro de aceite (␳  810 kg兾m3) lee una presión en el vaso de 41

¿Qué volumen ocupará el gas bajo condiciones TPE

Si supone que la presión atmosférica es de 100 kPa,

¿qué cantidad de masa de gas se encuentra en el tanque

¿Qué masa de aire existe en un volumen de 250 mL a esta presión y 25 ºC

? Tome M  28 kg兾kmol para el aire

00 atm,

77 kg兾m3

Si supone que el gas es ideal,

¿cuál es su presión

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FÍSICA GENERAL

Si supone que el centro consiste en gases cuya masa M promedio es de 0

y si la densidad y la presión son 90 × 103 Resp

3 × 107 K

00 cmHg

Un delgado tubo de vidrio reposa en el fondo del matraz

Su volumen es de 0

Suponga que el tubo se rompe de modo que el hidrógeno llena el matraz

¿Cuál será la nueva presión en el matraz

34 cmHg

dos matraces están conectados por una llave de paso inicialmente cerrada

Un matraz contiene gas criptón a 500 mmHg,

mientras que el otro contiene helio a 950 mmHg

La llave de paso se abre de modo que los gases se mezclan

¿Cuál es la presión final del sistema

? Suponga temperatura constante

789 mmHg

Figura 16-2

¿Cuál será su nuevo volumen en la superficie

? Suponga que su temperatura es de 4

El agua tiene una densidad de 1 000 kg兾m3 y la presión atmosférica es de 75 cmHg

Determine la distancia entre la parte superior de la campana y la superficie del lago

6 m  4

0 m  16

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TEORÍA CINÉTICA

CAPÍTULO 17: TEORÍA CINÉTICA 163

LA TEORÍA CINÉTICA considera que la materia está compuesta por partículas discretas (átomos y/o moléculas) en un movimiento continuo

En un gas,

las moléculas se encuentran en movimiento azaroso (caótico) continuo con una amplia distribución de rapideces que van desde cero hasta valores muy grandes

EL NÚMERO DE AVOGADRO (NA) es el número de partículas (moléculas o átomos) en 1 kmol de sustancia

Para todas las sustancias,

M  2 kg兾kmol para el H2 y M  32 kg兾kmol para el O2

Por consiguiente,

LA MASA DE UNA MOLÉCULA (o átomo) se puede calcular a partir de la masa molecular (o atómica) M de la sustancia y con el número de Avogadro NA

Como M kilogramos de una sustancia contienen NA partículas,

la masa m0 de una partícula está dada por

LA ENERGÍA CINÉTICA PROMEDIO TRASLACIONAL de una molécula de gas es 3 kBT兾2,

donde T es la temperatura absoluta del gas y kB  R兾NA  1

En otras palabras,

para una molécula de masa m0,

la constante de Boltzmann también se representa como k (sin subíndice)

LA RAPIDEZ CUADRÁTICA MEDIA (yrms ) de una molécula de gas es la raíz cuadrada del promedio de y 2 para una molécula sobre un intervalo de tiempo muy grande

Esto es equivalente a tomar el promedio sobre todas las moléculas del gas en un instante dado

De la expresión de la energía cinética promedio,

LA TEMPERATURA ABSOLUTA (T ) de un gas ideal tiene un significado que se obtiene al resolver la ecuación 1 2 2 m0 vrms

¼ 32 kB T

Por tanto

La temperatura absoluta de un gas ideal es una medida de su energía cinética traslacional promedio por molécula

LA PRESIÓN (P) de un gas ideal se definió en el capítulo 16 con la ecuación PV  (m兾M )RT

Al observar que m  Nm0,

donde N es el número de moléculas en el volumen V,

y sustituir T con el valor determinado arriba,

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FÍSICA GENERAL

Más aún,

LA TRAYECTORIA LIBRE MEDIA (TLM) de una molécula de gas es la distancia promedio que tal molécula se mueve entre colisiones

Para un gas ideal de moléculas esféricas con radio b,

Trayectoria libre media donde N兾V es el número de moléculas por unidad de volumen

PROBLEMAS RESUELTOS 17

El gas nitrógeno común consta de moléculas de N2

Calcule la masa de una de tales moléculas

La masa molecular es 28 kg兾kmol

El gas helio consta de átomos separados de He,

¿Cuántos átomos de helio,

Método 1 Un kilomol de He tiene 4

Por consiguiente,

Número de átomos en 2

0 g  (0

Número de átomos en 2

Una gotita de mercurio tiene un radio de 0

¿Cuántos átomos de mercurio hay en la gotita

M  202 kg/kmol y ␳  13 600 kg兾m3

El volumen de una gotita es

La masa de la gotita es m  ␳V  (13 600 kg兾m3 )(5

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CAPÍTULO 17: TEORÍA CINÉTICA 165 La masa de un átomo de mercurio es

Entonces el número de átomos en una gotita es Número de átomos

¿Cuántas moléculas hay en 70 mL de benceno

Recuerde que 1 g兾cm3  1 000 kg兾m3 y aquí ␳  880 kg兾m3

Masa de 70 cm3  m  ␳V  (880 kg兾m3)(70 × 106 m3)  0

Número de moléculas en 70 cm3 ¼

¼ 1:30  10

m 0:0616 kg ¼ 4:8  1023 ¼ m0 1:30  10 25 kg

Calcule la rapidez rms de una molécula de nitrógeno (M  28 kg兾kmol) en aire a 0 ºC

Se sabe que

Así que

Suponga que una molécula de gas particular en la superficie de la Tierra tiene una rapidez rms igual a la que posee dicho gas a 0 ºC

Si se fuera a mover verticalmente hacia arriba sin chocar con otras moléculas,

¿qué tan alto llegaría

? Suponga que g es constante sobre la trayectoria

La EC inicial de la molécula es EC La molécula continuará subiendo hasta que su EC se convierta en EPG

Por consiguiente,

llamando h a la altura a la que se eleva,

Al resolver para h se obtiene

La altura varía inversamente con la masa de la molécula

Para una molécula de N2,

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FÍSICA GENERAL

El aire a temperatura ambiente tiene una densidad de aproximadamente 1

29 kg兾m3

Si supone que está compuesto de un solo gas,

calcule yrms para sus moléculas

donde se ha tomado 100 kPa como la presión atmosférica

Encuentre la energía cinética traslacional de un mol de un gramo de cualquier gas ideal a 0 ºC

Para cualquier gas ideal,

que es la EC de cada molécula

Un mol de un gramo contiene NA × 103 moléculas

Entonces la EC total por mol es ECtotal ¼ ðNA  10 3 Þ 32 kB T ¼ 3  10 

RT ¼ 3:4 kJ 2

y se utilizó el hecho de que kB NA  R

Existe aproximadamente un átomo de hidrógeno por cm3 en el espacio exterior,

donde la temperatura (a la sombra) es más o menos de 3

Calcule la rapidez rms de cada átomo y la presión que ejercen

Tenga presente que kB NA  R y que m0  M兾NA,

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3RT 3kB T 3kB T ¼  295 m=s o 0:30 km=s ¼ ¼ M M=NA m0

donde M para el hidrógeno es 1

Para determinar la presión se puede utilizar P  ␳y 2rms 兾3

La masa m0 de un átomo de hidrógeno es (1

Ya que en 1 m3  106 cm3 hay N  106 átomos兾m3,

La EC traslacional promedio de una molécula,

32 kB T,

depende sólo de la temperatura

Por tanto la razón (EC)H兾(EC)N  1

Calcule la trayectoria libre media para estas moléculas bajo TPE

Método 1 Se sabe que en condiciones TPE 1

El número de moléculas por unidad de volumen,

se puede encontrar a partir del hecho de que,

La trayectoria libre media está dada por

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CAPÍTULO 17: TEORÍA CINÉTICA 167

Trayectoria libre media Método 2 Como M  m0 NA  m0(R兾kB ) y m  Nm0,

se convierte en y entonces Entonces se usa la ecuación de la trayectoria libre media como en el método 1

? Suponga un gas ideal a 20 ºC

De la expresión para la trayectoria libre media (t

) se obtiene N 1 ¼ pffiffiffi V 4 2b2 ðm:f:p:Þ (t

Al combinar esta ecuación con la ley de los gases ideales en la forma PV  NkB T (vea el problema 17

ð1:38  10 23 J=KÞð293 KÞ k T pffiffiffi 2B ¼ pffiffiffi ¼ 5:1 mPa (t

) 4 2ð3:0  10 10 mÞ2 ð0:50 mÞ 4 2b ðm:f:p:Þ

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 17

Calcule la masa de un átomo de neón

La masa atómica del neón es 20

una molécula típica de polímero puede tener una masa molecular de 15 × 103

a) ¿Cuál es la masa en kilogramos de dicha molécula

? b) ¿Cuántas de tales moléculas harán 2 g de polímero

¿Cuántas moléculas de este virus están presentes en 1

5 × 1012

Su volumen es de 100 cm3

a) ¿Cuál es la presión en el tubo (en Pa)

? b) ¿Cuántas moléculas de gas permanecen en el tubo

8 × 1011

200 mmHg

Si la temperatura del gas es de 20 ºC,

¿cuál es la densidad del gas

¿A qué temperatura la yrms de las moléculas de H2 será igual a la rapidez de escape

0 × 104 K

4 × 105 K

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FÍSICA GENERAL

La temperatura en ese lugar es de aproximadamente 3 K

¿Cuál es la presión promedio de este gas que está muy diluido

a) ¿Cuántos átomos de aluminio hay en el cubo

? b) ¿Qué volumen se puede asociar con cada átomo

? c) Si cada átomo fuera un cubo,

¿cuál sería la longitud de una arista

? M  108 kg兾kmol para el aluminio

5 × 1022

0 × 10 m

Calcule su trayectoria libre media y el tiempo promedio entre colisiones

El radio de una molécula de hidrógeno se puede tomar como 2

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CALORIMETRÍA

CAPÍTULO 18: CALORIMETRÍA 169

ENERGÍA TÉRMICA es la energía cinética aleatoria de las partículas (por lo común electrones,

átomos y moléculas) que componen un sistema

CALOR (Q) es la energía térmica en tránsito de un sistema (o agregado de electrones,

iones y átomos) a una temperatura hacia un sistema que se encuentra en contacto con él,

pero que está a una temperatura más baja

Su unidad en el SI es el joule

Otras unidades utilizadas para el calor son la caloría (1 cal  4

La “caloría” utilizada por los nutriólogos se llama “caloría grande” y es en realidad una kilocaloría (1 Cal  1 kcal  103 cal)

EL CALOR ESPECÍFICO (o capacidad calorífica específica,

c) de una sustancia es la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura de una unidad de masa de la sustancia en un grado Celsius o equivalentemente por un kelvin

Si ∆Q es la cantidad de calor requerido para producir un cambio en la temperatura ∆T en una masa m de sustancia,

entonces el calor específico es

En el SI,

c tiene unidades de J兾kg · K,

que es equivalente a J兾kg · °C

También se utiliza ampliamente la unidad cal兾g · °C,

donde 1 cal兾g · °C  4 184 J兾kg · °C

El calor específico es una propiedad característica de una sustancia y varía ligeramente con la temperatura

Para el agua,

EL CALOR GANADO (O PERDIDO) por un cuerpo (cuya fase no cambia) mientras experimenta un cambio de temperatura ∆T,

está dado por ∆Q  mc ∆T EL CALOR DE FUSIÓN (Lf ) de un sólido cristalino es la cantidad de calor requerido para fundir una unidad de masa del sólido a temperatura constante

También es igual a la cantidad de calor emitido por una unidad de masa del sólido fundido cuando se cristaliza a la misma temperatura

El calor de fusión del agua a 0 °C es aproximadamente 335 kJ兾kg u 80 cal兾g

EL CALOR DE VAPORIZACIÓN (Ly ) de un líquido es la cantidad de calor requerido para vaporizar una unidad de masa del líquido a una temperatura constante

Para el agua a 100 °C,

Ly es aproximadamente 2

EL CALOR DE SUBLIMACIÓN de una sustancia sólida es la cantidad de calor requerida para convertir una unidad de masa de la sustancia de sólida a gaseosa a temperatura constante

LOS PROBLEMAS DE CALORIMETRÍA incluyen el intercambio de energía térmica entre objetos inicialmente calientes y objetos fríos

En virtud de que la energía se debe conservar,

se puede escribir la siguiente ecuación La suma de los cambios de calor para todos los objetos  0 En este caso,

el calor que fluye hacia fuera del sistema a alta temperatura (∆Qsal  0) es numéricamente igual al calor que fluye hacia adentro del sistema a baja temperatura (∆Qent  0) y por consiguiente la suma es cero

supone que no se pierde energía calorífica del sistema

LA HUMEDAD ABSOLUTA es la masa de vapor de agua presente por unidad de volumen de gas (generalmente la atmósfera)

Las unidades típicas son kg兾m3 y g兾cm3

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FÍSICA GENERAL

LA HUMEDAD RELATIVA (HR) es la relación que se obtiene al dividir la masa de vapor de agua por unidad de volumen presente en el aire entre la masa de vapor de agua por unidad de volumen presente en el aire saturado a la misma temperatura

Cuando se expresa en porcentaje,

la relación anterior se multiplica por 100

PUNTO DE ROCÍO: El aire frío saturado contiene menos agua que el aire saturado más caliente

Cuando el aire se enfría,

eventualmente alcanza una temperatura a la cual se satura

Esta temperatura se llama punto de rocío

A una temperatura más baja que ésta,

el agua contenida en el aire se condensa

PROBLEMAS RESUELTOS 18

a) ¿Cuánto calor se requiere para elevar la temperatura de 250 mL de agua de 20

0 °C a 35

? b) ¿Cuánto calor pierde el agua cuando se enfría de vuelta a 20

? Ya que 250 mL de agua tienen una masa de 250 g y que c' 1

Q  mc T  (250 g)(1

0 °C)  3

Q  mc T  (250 g)(1

Note que la entrada de calor (es decir,

el calor que entra en un objeto) es positiva,

mientras que la salida de calor (es decir,

el calor que sale de un objeto) es negativa

¿Cuánto calor entrega 25 g de aluminio conforme se enfría de 100 °C a 20 °C

Q  mc T  (0

8 kJ  0

42 kcal

Se adiciona cierta cantidad de calor a una masa de aluminio (c  0

Suponga que la misma cantidad de calor se adiciona a la misma masa de cobre (c  0

¿Cuánto se elevará la temperatura del cobre

? Dado que Q es la misma para ambos,

se tiene mcA1 TA1  mcCu TCu o

Dos placas metálicas idénticas (masa  m,

calor específico  c) tienen diferentes temperaturas

una es de 20 °C y la otra de 90 °C

Si se colocan en buen contacto térmico,

¿cuál será su temperatura final

? Puesto que las placas son idénticas,

se podría suponer que la temperatura final está a la mitad del camino entre 20 °C y 90 °C

Esto es correcto,

pero se debe demostrar matemáticamente

De la ley de conservación de la energía,

el calor perdido por una placa debe ser igual al calor ganado por la otra

En consecuencia,

el cambio total de calor del sistema es cero

En forma de ecuación,

(cambio de calor de la placa caliente)  (cambio de calor de la placa fría)  0 mc ( T )caliente  mc( T )fría  0 que es la forma abreviada de mcalienteccaliente Tcaliente  mfríacfría Tfría  0 Se debe tener cuidado con T: Es la temperatura final (que en este caso se denota por Tf ) menos la temperatura inicial

Por tanto,

la ecuación anterior se convierte en mc(Tf  90 °C)  mc(Tf  20 °C)  0 Después de cancelar mc en cada término,

se resuelve y se encuentra Tf  55 °C,

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CAPÍTULO 18: CALORIMETRÍA 171 18

Un termo contiene 250 g de café a 90 °C

A éste se le añade 20 g de leche a 5 °C

Después de que se establece el equilibrio,

¿cuál es la temperatura del líquido

? Suponga que no hay pérdidas de calor en el termo

Tanto el agua como el café y la leche tienen el mismo valor de c,

La ley de conservación de la energía permite escribir (cambio de calor del café)  (cambio de calor de la leche)  0 (cm T )café  (cm T )leche  0 En otras palabras,

el calor perdido por el café es igual al calor ganado por la leche

Si la temperatura final del líquido es Tf ,

Tleche  Tf  5 °C

La sustitución y cancelación de c'produce (250 g)(Tf  90 °C)  (20 g)(Tf  5 °C)  0 Al resolver se obtiene Tf  84 °C

Un termo contiene 150 g de agua a 4 °C

Dentro de él se colocan 90 g de metal a 100 °C

Después de que se establece el equilibrio,

la temperatura del agua y el metal es de 21 °C

¿Cuál es el calor específico del metal

? Suponga que no hay pérdidas de calor en el termo

(cambio de calor del metal)  (cambio de calor del agua)  0 (cm T )metal  (cm T )agua  0 cmetal(90 g)(79 °C)  (1

Note que Tmetal  21  90  79 °C

Un calorímetro de 200 g de cobre contiene 150 g de aceite a 20 °C

Al aceite se le agregan 80 g de aluminio a 300 °C

¿Cuál será la temperatura del sistema después de que se establece el equilibrio

cA1  0

(cambio de calor del aluminio)  (cambio de calor del calorímetro y el aceite)  0 (cm T )Al  (cm T )Cu  (cm T )aceite  0 Al sustituir los valores dados esto se convierte en

Al resolver se obtiene Tf  72 °C

En un calorímetro de cobre se quemaron exactamente 3

La masa del calorímetro es de 1 500 g y contiene 2 000 g de agua

Si la temperatura inicial fue de 20 °C y la temperatura final es de 31 °C,

calcule el calor que proporciona cada gramo de carbono

Desprecie la pequeña capacidad calorífica del carbono y del dióxido de carbono

La ley de conservación de la energía dice que

(cambio de calor del carbono)  (cambio de calor del calorímetro)  (cambio de calor del agua)  0 (cambio de calor del carbono)  (0

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FÍSICA GENERAL Por tanto,

el calor generado por un gramo de carbono conforme se quema es

Determine la temperatura resultante Tf cuando se mezclan 150 g de hielo a 0 °C con 300 g de agua a 50 °C

De la conservación de la energía,

se tiene (cambio de calor del hielo)  (cambio de calor del agua)  0 (calor para fundir hielo)  (calor para calentar agua con hielo)  (cambio de calor del agua)  0 (mLf )hielo  (cm ∆T )agua con hielo  (cm ∆T )agua  0 (150 g)(80 cal兾g)  (1

? Cambio de calor  (cambio de calor por condensación)  (cambio de calor del agua durante el enfriamiento)  mLy  cm ∆T  (20 g)(540 cal兾g)  (1

¿Cuánto hielo fundirá el aluminio

? (cambio de calor de Al conforme se enfría a 0 °C)  (cambio de calor de masa m de hielo fundido)  0 (mc ∆T )Al  (Lf m)hielo  0 (20 g)(0

la cantidad de hielo fundido es m  4

Dentro de él se vacían 30 g de agua a 90 °C

¿Cuál será la condición final del sistema

? Comience por suponer (tal vez incorrectamente) que la temperatura final es Tf  0 °C

Entonces

冢 de agua caliente 冣  冢 fundir hielo 冣  冢 cambio de calor

calor para calentar  250 g de agua

calor para calentar el calorímetro

(30 g)(1

contrario a la suposición de que la temperatura final estaba arriba de 0 °C

Al parecer,

Por consiguiente,

Tf  0 °C

Para encontrar cuánto hielo se funde,

se tiene que Calor perdido por el agua caliente  calor ganado por el hielo fundente (30 g)(1

Al despejar,

El sistema final tiene 50 g  34 g  16 g de hielo que no se fundió

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CAPÍTULO 18: CALORIMETRÍA 173 18

¿Cuánto agua a 100 °C se puede transformar el calentador en vapor a 100 °C en 3

) El calentador produce 900 J de energía calorífica por segundo

Así que el calor producido en 3 min es Q  (900 J兾s)(180 s)  162 kJ El calor requerido para vaporizar una masa m de agua es Q  mLy  m(2

¿En qué cantidad cambia la temperatura de la bala si toda su energía cinética se transforma en energía térmica que se agrega a la bala

? La energía cinética perdida por la bala es EC Esto resulta en la adición de ∆Q  48

Entonces,

ya que ∆Q  mc∆T se puede determinar ∆T para la bala como:

Note que se utilizó c'en J兾kg · °C y no en cal兾g · °C

Si el equivalente total de calor de este alimento fuese retenido por el cuerpo de la persona,

¿cuál sería el cambio en temperatura que le ocasionaría

) Recuerde que 1 Cal  1 kcal  1 000 cal

La cantidad equivalente de calor añadido al cuerpo en un día es ∆Q  (2 500 Cal)(1 000 cal兾Cal)  2

0 m × 4

¿Qué masa de vapor de agua hay en la habitación

? El aire saturado a 22 °C contiene 19

masa de agua兾m3 masa de agua兾m3 de aire saturado × 100 masa兾m3 0

Pero la habitación en cuestión tiene un volumen de 10 m  8

0 m  4

Por tanto,

la masa total de agua en la habitación es (320 m3)(6

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FÍSICA GENERAL

cuando la temperatura es de 28 °C,

se forma humedad en la parte exterior de un vaso que contiene una bebida fría,

si el vaso está a una temperatura de 16 °C o menos

¿Cuál es la humedad relativa ese día

? El aire saturado a 28 °C contiene 26

50 g兾m3

El rocío se forma a una temperatura de 16 °C o menos,

de modo que el punto de rocío es de 16 °C

El aire está saturado a esa temperatura y por tanto contiene 13

50 g兾m3

Entonces,

masa presente兾m3 masa兾m3 en aire saturado

¿Cuántos gramos de agua deben evaporarse en un metro cúbico de aire ambiental para lograr esto

? El aire saturado a 5 °C contiene 6

3 g兾m3

Masa兾m3 de vapor de agua en aire a 5 °C  0

20 × 6

50 × 17

36) g  7

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 18

¿Cuántas calorías se requieren para calentar de 15 °C a 65 °C cada una de las siguientes sustancias

Los calores específicos,

el vidrio pyrex y el platino son 0

Cuando se queman 5

elevan la temperatura de 1 000 mL de agua de 10 °C a 47 °C

Determine la energía térmica producida por gramo de carbón

Desprecie la pequeña capacidad calorífica del carbón

4 kcal兾g

Si supone que 704% del calor producido se aprovecha,

¿cuántos kilogramos de aceite se requieren para elevar la temperatura de 2000 kg de agua desde 20 °C hasta 99 °C

¿Cuál es el calor específico del metal

0 cal兾g

Cuando 75 g de una aleación a 100 °C se dejan caer dentro del calorímetro,

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CAPÍTULO 18: CALORIMETRÍA 175 18

¿Cuál es la temperatura resultante

Si supone que 60

¿cuántos litros de etano,

en condiciones de presión y temperatura estándares,

deben quemarse para convertir 50