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Calculo Vectorial Turbinas

Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas - ocw unican

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alisis de turbinas por medio de gradientes

Description

UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

2014-06-04

CALCULO VECTORIAL Juan Faicán ([email protected]),Guido Quintuña ([email protected]),

Xavier Tenesaca ([email protected]),

Jonathan Tenesaca ([email protected])

Introducción

aproximadamente a 10 millas al sur de Stacyville (45°43′49″N 68°35′22″O) donde el río drena una cuenca de 2

810 km²

El caudal aquí ha oscilado entre 400 y 1

410 a 9

110 km²

En el siguiente informe se dan a conocer los resultados del proyecto de aplicación sobre la optimización de turbinas hidráulicas,

tema tomado del libro de James Stewart

La razón de resolver este problema fue el de aplicar los conocimientos aprendidos en clase como los multiplicadores de Lagrange y a su vez utilizando software matemático para su desarrollo

Desarrollo de contenidos 2

Rio Penobscot [1] El río Penobscot (en inglés: 'Penobscot River') es un río de la vertiente Atlántica de los Estados Unidos,

que con una longitud de 563 kilómetros es el segundo río más largo del estado de Maine y el más largo de los ríos que discurren en su totalidad por dicho estado

Su cuenca hidrográfica tiene una superficie de 22

300 km²

Figura 1

Mapa de la cuenca del río Penobscot

El río Penobscot se forma por la confluencia de cuatro ramales en varios lagos de la zona central de Maine,

y fluye generalmente en dirección este

Después de la unión del ramal West Branch con el East Branch en Medway (45°36′14″N 68°31′52″O),

más allá de la ciudad de Bangor,

donde se convierte en navegable

Desemboca en el océano Atlántico en la bahía de Penobscot

Turbinas Hidráulicas

[2] La turbina hidráulica convierte la energía del agua en movimiento,

en energía mecánica que es aprovechada por el generador

Uno de los aspectos fundamentales para optimizar un proyecto hidroeléctrico es lograr la selección adecuada del tipo,

dimensiones geométricas y principales características de funcionamiento de las turbinas a ser instaladas

El gobierno de Estados Unidos mantiene tres medidores de caudal en el río Penobscot: el primero está en el ramal East Branch,

en Grindstone (un asentamiento no incorporado

Los tipos de turbinas comúnmente utilizados son los siguientes:

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2014-06-04

Turbinas Kaplan

Operan con caídas menores a los cuarenta metros y grandes caudales

Se caracterizan por tener álabes con doble regulación que permiten lograr un rendimiento estable en un rango de operación amplio

Dentro de este tipo se pueden mencionar dos variantes: hélice,

que tiene álabes fijos y un rango de operación más estrecho

que son convenientes para caídas bajas,

Figura 3

Turbina Francis

Turbinas Pelton

Operan en saltos muy altos,

a partir de doscientos hasta dos mil metros

Se diseñan como una turbina de impulso que utiliza la energía del flujo de agua para producir el movimiento de rotación que finalmente es convertido en electricidad

Figura 2

Turbina Kaplan

Turbinas Francis

Operan en caídas medias,

aproximadamente de treinta a seiscientos metros

Estas se caracterizan por su confiabilidad,

Como caso particular se puede mencionar las turbinas-bomba,

que se utilizan en centrales de acumulación por bombeo

Las turbinas-bomba permiten bombear agua desde un reservorio inferior hasta uno superior en las horas de bajo consumo,

para luego generar energía en las horas pico

De este modo producen una mayor uniformidad en el diagrama de carga del sistema de suministro de energía eléctrica,

evitando el sobre equipamiento y el consumo de combustibles de hidrocarburos de alto costo

Figura 4

Turbina Pelton

Multiplicadores de Lagrange [3] Se trata el método de Lagrange para maximizar o minimizar una función general f(x,

Explicación del fundamento teórico del método de Lagrange para funciones de dos variables

Primero,

se calculan los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restricción,

Hay que buscar los valores extremos de f(x,

y) está restringido a quedar en la curva de nivel g(x,

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Maximizar f(x,

y) = k es encontrar el valor más grande de c'tal que la curva de nivel f(x,

Esto sucede cuando las curvas se tocan apenas,

es decir cuando tienen una recta tangente común

Significa que las rectas normales en el punto (x0,

De modo que los vectores gradiente son paralelos para un escalar λ

Evalúe f en todos los puntos (x,

El más grande de estos valores es el valor máximo de f,

el más pequeño es el valor mínimo de f

La Ecuación de Bernoulli [4] La

Este razonamiento también se aplica al problema de encontrar los valores extremos de f(x,

z) sujeta a la restricción g(x,

Por lo tanto,

z) está restringido a estar ubicado en la superficie de nivel S con ecuación g(x,

constante de cómo ecuación de Bernoulli:

pero permanece constante a lo largo de una línea de corriente en flujo permanente,

Estas cuatro suposiciones son necesarias y se deben tener presentes al aplicar esta ecuación

Cada término tiene 2 dimensiones de (L/T) o unidades de metros-newtons por kilogramo

Considere las superficies de nivel f(x,

z) = c'y argumente que si el valor máximo de f es f(x0,

z0) = c,

entonces la superficie de nivel f es f(x0,

y de este modo lo vectores gradiente correspondientes son paralelos

Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x,

z) sujeta a la restricción g(x,

suponiendo que estos valores existan y que

m∗N m∗kg∗m/s 2 m2 = = 2 kg kg s'(5)

Debido a que 1 N = 1kg*m/s2

Por consiguiente la ecuación 2 se interpreta como energía por unidad de masa

Cuando ésta se divide por g,

Determine todos valores de x,

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Puede interpretarse como energía por unidad de peso,

metros – newtons por newton (o pies-libra por libra)

Esta forma es particularmente conveniente para desarrollar problemas de líquidos con una superficie libre

términos de velocidad son no lineales,

su nivel de referencia es fijo

Desarrollo del Proyecto La Great northem Paper Company de Millinocket

Opera una estación hidroeléctrica generadora de energía eléctrica en el río Penobscot

El agua es enviada por tubería desde una presa hasta la estación generadora

El caudal del agua es variable y depende de las condiciones externas

Cada uno de los términos de la ecuación de Bernoulli puede interpretarse como una forma de energía disponible

Esta ecuación también se conoce como la ecuación de conservación de la ecuación de conservación de momentum

Las pérdidas de energía debidas a la fricción y a la transferencia de calor solamente pueden incorporarse a la ecuación diferencial de energía completa,

la cual se analiza en la siguiente sección

La estación generadora de energía eléctrica cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas,

cada una con una función de potencia (única) y conocida que da la cantidad de energía eléctrica generada como una función del flujo de agua que llega a la turbina

El agua que entra se puede repartir en volúmenes distintos para cada turbina,

de modo que el objetivo es determinar de qué manera distribuir el agua entre las turbinas para lograr la producción máxima total de energía Con cualquier caudal

Al aplicar la ecuación 3 a dos puntos sobre una línea de corriente,

Al aplicar la evidencia experimental y la ecuación de Bernoulli,

se determinaron los siguientes modelos cuadráticos para la salida de energía eléctrica de cada turbina,

de acuerdo con los caudales admisibles de operación:

energía de flujo y energía cinética

Por consiguiente,

KW1 = (-18

1277Q1-4

KW2 = (-24

1358Q2-4

independiente del nivel de referencia particular,

al igual que la diferencia en la elevación de los puntos

Similarmente,

KW3 = (-27

1380Q3-3

diferencia en las cabezas de presión,

expresada en unidades de longitud del fluido fluyendo,

y no se altera por la presión de referencia particular seleccionada

Debido a que los

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Qi = flujo por la turbina i en pies cúbicos por segundo

KWi= energía eléctrica generada por turbina i en kilowatts

0625∗10

Si las tres turbinas se utilizan se desea determinar sí flujo Qi para cada turbina que generará la producción máxima total de energía

Las restricciones son que los flujos deben Sumar el flujo total que entra y se deben observar las restricciones del dominio dadas

En consecuencia,

use multiplicadores de Lagrange para hallar los valores para los flujos individuales (como funciones de QT) que maximicen la producción total de energía KW1+ KW2+ KW3 sujeta a las restricciones Q1+Q2 +Q3=QT y a las restricciones de) dominio en cada Qi

gQ =1 2

5008∗10

gQ =1 3

Q2 ,Q3 ) =Q1 +Q2+ Q3=QT

2288∗10

QT =¿ 1

(QT 2−1

Restricción

(QT 2−1

0625∗1

Q3 )=Kw 1 ,

Función a maximizar

3056∗10

QT= flujo total por la estación en pies cúbicos por segundo

0625∗108

Despejamos λ

gQ =1 1

Q1+ Q2+Q 3

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Límites de

Remplazamos (15) en (12),

QT =540

máxima total de energia

QT =3231

¿Para qué valor resultado es válido

(18) QT,

En el caso de un flujo que entra de 2 500 pies3/s

determine la distribución para las turbinas y compruebe que sus resultados son en efecto un máximo (tratando algunas distribuciones cercanas

Q1 Límites de 250 ≤Q1 ≤1110 250=0

QT =2500

QT =3475

Límites de

Remplazando los

Qi y QT

KW 1=8915

KW 2=8284

QT =772

KW 3=11211

KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3

QT =3671

69+8284

1+11211

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KW T =28411

KW 3=10897

Cambiando los datos de los

KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3

KW T =9145

28+8047

93+10897

KW T =28090

QT =2500 Remplazando los

Qi y QT

Las distribuciones cercanas a las halladas no son óptimas por que están debajo de la distribución encontrada la cual si es efectiva

KW 1=8629

KW 2=8359

KW 3=11414

Hasta ahora ha supuesto que las tres turbinas están funcionando

¿Es posible en algunas situaciones que se pueda producir más energía eléctrica usando sólo una turbina

? Haga una gráfica de las tres funciones de potencia,

y con ayuda de ellas decida si un flujo que entra de 1000 pies3/s se debe distribuir entre las tres turbinas,

Si usted encuentra que sólo una de las turbinas se debe usar,

¿cuál sería

?) ¿Y si el flujo es de sólo 600 pies3/s

KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3 KW T =8629

84+11414

Q1=800 Q2=740 Q3=930 QT =2500 Remplazando los

Qi y QT

KW 1=9145

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Produciendo energía con una sola turbina sería más eficiente que con el

QT =1000

utilizaríamos solamente la tercera turbina está produciría 12222

QT =600 lo remplazaríamos en

Graficas de cada una de las diferentes turbinas utilizadas

QT =1000

42 Q2=198

Entonces encontramos (9),

QT =600

KW 2=110

QT =1000 con

KW 3=1273

KW 1=2049

KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3

KW 2=2339

KW T =−516

141+110

126+ 1273

KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3

KW T =867

KW T =2049

99+ 2339

05+4008

Podríamos utilizar solo una turbina,

ayudándonos de la gráfica se ve que la turbina 1 puede ser mejor utilizada si la corriente fuera de 600ft3/s,

las misma que nos entregaría 7292

KW T =8442

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KW T =4835

91+4756

08+6946

Hay tres combinaciones de las turbinas a considerar

Figura 6

Graficas de cada una de las diferentes turbinas utilizadas

Turbinas 1 y 2

QT será la suma entre (12) y (13) 10

Tal vez para algunos niveles de flujo sería ventajoso usar dos turbinas

Si el flujo es de 1800 pies3/s

¿cuál par de turbinas recomendaría usar

? Mediante los multiplicadores de Lagrange

Determine como debe distribuir el flujo entre las dos turbinas para maximizar la energía producida

En relación con este flujo,

¿el uso de dos turbinas es más eficaz que usar tres turbinas

QT =1500

0625∗10

935 Q3=597

146 (21)

Entonces encontramos (9),

QT =1500

QT =1500

KW 1=4835

KW 2=4756

Sustituyendo

KW 3=6946

KW 1=9042

KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3

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Sustituyendo

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KW 1=7951

KW 2=8412

Sustituyendo

KW T =KW 1 + KW 2

KW 2=10256

KW T =9042

54+8412

KW T =KW 1 + KW 2

KW T =17454

KW T =7951

42+10256

KW T =18208

Turbinas 1 y 3

QT será la suma entre (12) y (14)

Turbinas 2 y 3

QT será la suma entre (13) y (14) 10

Despejamos λ de (23)

0625∗10

Despejamos λ de (27)

Reemplazando (24) en (12) y (14) (28)

Reemplazando (28) en (13) y (14)

0244 Si

QT =1500

QT =1500

QT Sustituyendo

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Sustituyendo

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Se usara el dominio máximo del sistema de 3 turbinas,

donde se maximizara una turbina y la corriente restante se distribuirá a las otras dos turbinas

KW 2=7463

Según la pregunta 3

nos indica que la turbina 3 se maximizara primero por lo tanto:

KW 3=10256

KW T =KW 2 + KW 3

KW T =7463

14 +10256

KW T =17720

Q3 −54

La corriente restante es 168

Si el flujo que entra es de 3400 pies3/s,

¿qué le recomendaría a la compañía

En la pregunta 3

Un flujo de 3400 ft3/s supera la capacidad de cada turbina

Se tendrán que combinar las tres turbinas para poder manejar el flujo

QT =168

Se utilizara la turbina 3 en totalidad por si capacidad da 1225 ft3/s,

el flujo restante se distribuirá entre las turbinas 1 y 2,

0226=44

2427 Q2=0

0169=124

Como se vio en la pregunta 3

las turbinas tendrán un dominio general de

Calculando la corriente total por cada turbina

Tomando los flujos del

1 con una

La corriente será demasiada para el sistema de turbinas

Reemplazando (18)

QT = 3231

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Q1=1026

Conclusión

El presente trabajo nos fue de gran ayuda para tratar de comprender el amplia gama del cálculo vectorial en la vida diaria o problemas puntuales

Q3=1225 Sumando a secundarias:

Los multiplicadores de Lagrange juegan un papel muy importante al momento de querer optimizar cualquier elemento ó función

Q1=1070

95 Q2=1104

Referencias

Q3=1225

El valor máximo de la turbina 1 es menor que el valor máximo admisible de la turbina 1,

por lo tanto su flujo será maximizado

com/es/productos/imp sahydro/SitePages/turbinas

La recomendación sería que deberán distribuir los flujos máximos permisibles para las turbinas 1 y 3

Q1=110 Q2=1065

Streeter,

Q3=1225 Con esto se logra el funcionamiento de las tres turbinas,

trabajando con un caudal de 3400ft3/s