PDF -Problemas y Ejercicios Resueltos Tema 2: Espacios vectoriales - Calculo Vectorial . Problemas Resueltos
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Calculo Vectorial . Problemas Resueltos

Problemas y Ejercicios Resueltos Tema 2: Espacios vectoriales

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Vectorial

Problemas Resueltos

Description

CALCULO VECTORIAL PROBLEMAS RESUELTOS TERCERA EDICIÓN

DE JERROLD E

MARSDEN Y ANTHONY J

P REP ARAD O POR

KAREN PAO Y FREDERICK SOON

Versión en español de

Constancio Hernández García Universidad Autónoma Metropolitana,

Unidad Iztapalapa,

México

*TODO LO QUE QUIERES SABER PARA HACER LA TAREA

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina Brasil Chile Cobmbia Ecuador Espaiía Estados Unidos México Perú Puerto Rico Venezuela

Versión en español de la obra Study Guide for Vector Calculus,

Third Edition,

Marsden and Anthony J

Tromba,

prepared by Karen Pao and Frederick Soon,

publicada originalmente en inglés por W

Freeman and Company,

O 1988 por W

Freeman and Company

Esta edición en español es la única autorizada

Imagen generada por compirtador de la superjicie mínima de Enneper: La imagen fue creada por James í

?Hoflman en la University of Massachusetts,

Amherst,

con las instalaciones del Geometry Analysis Numerics and Graphics Group

Copyright 1986 por James í

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA M

Argciiiiiin Ave

Coiijiiiito 1 14,

SBo I'aiilo 01407,

Sáo I':iulo,

Brasil Casilla 70060,

Saiitiago 7,

Chilc A p i a d'o ACrco 74 1-943,

Saiiia Fé dc Bogoti,

Coloiiibia Espnlicr 3 bajo,

Madrid 78014

Espalia 7 Jacob Way,

Rcadiiig,

Mnssachiiseils01867,

Apnriatlo l'osial23-013,

México,

Mfxico A11

K f o Picdr

I'iicrio Rico 00939 Apartado Postal 5 1454,Caracas 1050-A,

Vciiczucla

O 1993 por Addison-Wesley Iberoamericana,

Wilmington,

Delaware,

Impreso en Estados Unidos

Printed in U

ISBN 0-201-62564-4

Cómo usar este libro vii Agradecimientos vii

Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 Apéndice

La geometría del espacio euclidiano 1 Diferenciación 27 Funciones con valores vectoriales 63 Derivadas de orden superior

máximos y mínimos 81 Integrales dobles 105 Integral triple,

fórmula de cambio de variable y aplicaciones 125 Integrales sobre trayectorias y superficies 157 Teoremas integrales del análisis vectorial 187 Ejemplos de exámenes 211 Respuestas a los ejemplos de exámenes 219

CÓMO USAR ESTE LIBRO El propósito de esta guía de estudio es ayudar a entender el cálculo vectorial

Hemos organizado los capítulos y secciones de manera que correspondan al libro Cálcrrlo vectorial de Marsden y Tromba,

Cada sección contiene objetivos,

recomendaciones para el estudio y (lo más importante) soluciones de los ejercicios seleccionados

Además,

hemos escrito cuatro ejemplos de exámenes

Los objetivos son un resumen corto de lo que debes aprender en cada sección y de lo que debes entender antes de pasar a la siguiente

Los objetivos también deberían ayudarte a repasar para los exámenes

Las recomendaciones para el estudio son definiciones y hechos que debes tener presentes cuando hagas las tareas

También contienen advertencias sobre los errores más comunes

En las soluciones hemos elegido algunos ejercicios y se han trabajado

Algunas veces te pedimos que verifiques algo o que completes algún detalle,

pero la mayoría de nuestras soluciones son tan completas como es posible

Sin embargo,

no trabajamos los problemas de modo que los puedas copiar y presentarlos como tu trabajo

Eso es trampa

Nosotros (así como tus profesores) pensamos que las matemáticas no son un deporte para expectadores

Para entender qué pasa debes hacer ejercicios

Si te has perdido (o te has dormido en clase,

como alguno de nosotros siempre hizo),

trabajar sobre las soluciones detalladas puede ayudarte a encontrar el camino de regreso

Si te sientes inseguro antes de los exámenes,

la mejor manera de estudiar es hacer ejercicios y problemas adicionales y comparar tus respuestas con las nuestras

Si eres estudioso y quieres hacer ejercicios adicionales,

no tienes por qué hacerlos a ciegas ya que hemos proporcionado muchas soluciones

Aun si sólo hojeas nuestro pequeño libro diez minutos antes del examen,

idebes sentirte más seguro respecto al cálculo vectorial

AGRADECIMIENTOS Deseamos agradecer a los profesores Marsden y Tromba que nos dieran la oportunidad de escribir este libro

Damos las gracias de manera muy especial al profesor Marsden,

quien nos permitió usar su Macintosh Plus y todos los programas y accesorios necesarios,

leyó meticulosamente el manuscrito e hizo muchas correcciones y sugerencias valiosas

También queremos agradecer a Andrew Hwang,

quien proporcionó muchas de las soluciones y a Sean Bates por sus contribuciones

Karen Pao Frederick Soon

EUCLIDIANO 1

Poder realizar las siguientes operaciones con vectores: suma,

resta y multiplicación por un escalar

Dados un vector y un punto,

saber encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene la misma dirección del vector

Dados dos puntos,

encontrar la ecuación de la recta que pasa a través de éstos

RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO 1

Notación sobre espacios

El símbolo R o R' representa al conjunto de todos los puntos de la recta real o a un espacio de dimensión 1

R2 es el conjunto de todos los pares ordenados (x,

R3 representa al conjunto de todas las ternas ordenadas(x,

y,z) que están en un espacio de dimensión 3

En general,

el "exponente" en R" indica cuántas componentes tiene cada vector

Vectores y escalnres

Un vector tiene longitud (magnitud) y dirección

Los escalares son sólo números

Los escalares no tienen dirección

Dos vectores son iguales si y sólo si tienen la misma longitud y dirección

Sus gráficas no necesitan partir del mismo punto

Los vectores de la figura son iguales

Notación vectorial

Un vector se denota a menudo con letra negrilla,

El elemento xi de la n-ada se llama i-ésima componente

!,la n-ada puede representar un punto o

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(a) La recta que pasa por a en la dirección de v es I(t) = a + tv

Ésta se llama forma punto-dirección de la ecuación de la recta porque la única información necesaria es el punto a y la dirección v

(b) La recta que pasa por a y b es I(t) = a + t(b

Ésta se llama forma puntopunto de la ecuación de la recta

Para ver si la dirección es correcta,

debes hacer t = O y obtener el primer punto

Haz t = 1 y obtén el segundo punto

Co~ijurltode generadores de un espacio

Si todos los puntos de un espacio se pueden escribir de la forma Xivi + X2v2+

Por ejemplo,

los vectores i y j generan al plano xy

Derriostraciones geométricas

Una demostración se puede simplificar con el uso de vectores

Trata de comparar los métodos vectoriales con los no vectoriales haciendo el ejemplo 7 sin vectores

Resolirción (/e problenlas

Como los vectores tienen magnitud y dirección,

se pueden representar gr3ficamente

Por lo tanto,

con frecuencia es útil hacer un diagrama con objeto de visualizar un problema vectorial

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS 1

Debemos resolver las ecuaciones siguientes:

Obtenemos x = 4 y y = 17,

Convertimos

En el eje y los puntos tienen coordenadas de la forma (O,

debemos restringir los valores de x y z a O

En el eje z los puntos tienen coordenadas de la forma (O,

debemos restringir los valores de x y y a O

En el plano xz los puntos tienen coordenadas de la forma (x,

Por lo tanto,

debemos restringir el valor de y a O