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Calculo Varias Variables

CÁLCULO UNA VARIABLE - Cursos UNAL

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Varias Variables

Description

VARIAS VARIABLES

Segunda edición original

JON ROGAWSKI Universidad de California,

Los Ángeles

Versión española traducida por: Gloria García García Doctora en Matemáticas

Revisada por: Martín Jimeno Jiménez Licenciado en Matemáticas Profesor Asociado en la Universitat Politècnica de Catalunya

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C ON T EN I D'O RESUMIDO

CÁLCULO

UNA VARIABLE Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 Capítulo 10 Capítulo 11 Capítulo 12

REPASO DE CONCEPTOS PREVIOS LÍMITES DERIVACIÓN APLICACIONES DE LA DERIVADA LA INTEGRAL APLICACIONES DE LA INTEGRAL FUNCIONES EXPONENCIALES TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL Y POLINOMIOS DE TAYLOR INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES INFINITAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS,

COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CÓNICAS

APÉNDICES SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS IMPARES REFERENCIAS CRÉDITOS DE LAS FOTOS ÍNDICE DE MATERIAS

VARIAS VARIABLES Capítulo 12 Capítulo 13 Capítulo 14 Capítulo 15 Capítulo 16 Capítulo 17 Capítulo 18

ECUACIONES PARAMÉTRICAS,

COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CÓNICAS GEOMETRÍA VECTORIAL CÁLCULO PARA FUNCIONES VECTORIALES DIFERENCIACIÓN EN VARIAS VARIABLES INTEGRACIÓN MÚLTIPLE INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE TEOREMAS FUNDAMENTALES DE ANÁLISIS VECTORIAL

APÉNDICES SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS IMPARES REFERENCIAS CRÉDITOS DE LAS FOTOS ÍNDICE DE MATERIAS

C ON TEN I D'O Capítulo 12 ECUACIONES PARAMÉTRICAS,

COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CÓNICAS 12

Vectores en el plano Vectores en tres dimensiones Producto escalar y ángulo entre dos vectores El producto vectorial Planos en tres dimensiones Un estudio de las cuádricas Coordenadas cilíndricas y esféricas

Capítulo 14 CÁLCULO PARA FUNCIONES VECTORIALES 14

Capítulo 16 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 613

Ecuaciones paramétricas 613 La longitud de arco y la velocidad 626 Coordenadas polares 632 El área y la longitud de arco en coordenadas polares 640 Secciones cónicas 647

Capítulo 13 GEOMETRÍA VECTORIAL 13

CALCUL US VARIAS VARIABLES

Capítulo 15 DIFERENCIACIÓN EN VARIAS VARIABLES

Capítulo 17 INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE 17

Campos vectoriales Integrales de línea Campos vectoriales conservativos Superficies parametrizadas e integrales de superficie Integrales de superficie de campos vectoriales

Capítulo 18 TEOREMAS FUNDAMENTALES DE ANÁLISIS VECTORIAL 1009

Funciones de dos o más variables Límites y continuidad en varias variables Derivadas parciales Diferenciabilidad y planos tangentes El gradiente y las derivadas direccionales La regla de la cadena Optimización en varias variables Multiplicadores de Lagrange: optimización con restricciones

Integración en dos variables Integrales dobles sobre regiones más generales Integrales triples Integración en coordenadas polares,

Funciones vectoriales Cálculo para funciones vectoriales Longitud de arco y celeridad Curvatura Movimiento en el espacio tridimensional Movimiento planetario según Kepler y Newton

APÉNDICES A

El lenguaje de las matemáticas B

Propiedades de los números reales C

Inducción y el teorema del binomio D

Demostraciones adicionales

A1 A1 A8 A13 A18

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS IMPARES

REFERENCIAS

CRÉDITOS DE LAS FOTOS

ÍNDICE DE MATERIAS

SOBRE JON ROGAWSKI Como reconocido profesor,

con una trayectoria de m´as de 30 a˜nos,

Jon Rogawski ha tenido la oportunidad de escuchar y aprender de sus propios estudiantes

Estas valiosas ense˜nanzas forman ya parte de su pensamiento,

manera de escribir y de dise˜nar un libro de c´alculo infinitesimal

Jon Rogawski obtuvo su licenciatura y m´aster en matem´aticas de forma simult´anea por la Universidad de Yale y su doctorado en matem´aticas por la Universidad de Princeton,

donde estudi´o con Robert Langlands

Antes de unirse al Departamento de Matem´aticas de la UCLA en 1986,

donde actualmente es catedr´atico de matem´aticas,

fue profesor visitante en el Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Bonn y en la Universidad de Par´ıs en Jussieu y Orsay

Las a´ reas de inter´es de Jon son teor´ıa de n´umeros,

formas autom´orficas y el an´alisis arm´onico sobre grupos semisimples

Ha publicado numerosos art´ıculos de investigaci´on en revistas matem´aticas de primera l´ınea,

incluyendo el monogr´afico Automorphic Representations of Unitary Groups in Three Variables (Princeton University Press)

Ha recibido una Beca Sloan y es editor del Pacific Journal of Mathematics y del Transactions of the AMS

Jon y su esposa,

m´edico de familia,

Gozan de una vida familiar activa y,

disfrutan de las vacaciones familiares en las monta˜nas de California

Jon es un apasionado de la m´usica cl´asica y toca el viol´ın y la guitarra cl´asica

PREÁMBULO SOBRE CÁLCULO por Jon Rogawski ˜ ´ Sobre la ensenanza de las matematicas En los inicios de mi carrera como profesor,

me gustaba ense˜nar pero no me di cuenta de lo dif´ıcil que es comunicar con eficacia las matem´aticas

Al poco tiempo,

tuve que enfrentarme a una rebeli´on estudiantil cuando mis esfuerzos para explicar las demostraciones epsilon-delta no fueron recibidos con el entusiasmo que yo esperaba

Experiencias de este tipo me ense˜naron dos principios b´asicos: 1

Se debe intentar ense˜nar a los estudiantes tanto como sea posible,

Como profesores de matem´aticas,

lo que decimos es tan importante como la manera en que lo decimos

El lenguaje formal de las matem´aticas puede intimidar a los no iniciados

Al presentar los conceptos mediante el lenguaje cotidiano,

que es m´as familiar aunque no menos preciso,

se abre el camino para que los estudiantes entiendan las ideas fundamentales e integrarlas en su forma de pensar

Los estudiantes se encuentran entonces en una posici´on m´as favorable para apreciar la necesidad de las definiciones formales y las demostraciones,

´ de un libro de calculo ´ Sobre la confeccion Empec´e a escribir C´alculo con el objetivo de crear un texto en el que la exposici´on,

los gr´aficos y el dise˜no se unieran para mejorar el entendimiento del c´alculo para el estudiante: el dominio de las destrezas b´asicas,

la comprensi´on conceptual y una apreciaci´on de la amplia gama de aplicaciones

Tambi´en quise que los estudiantes fueran conscientes,

de la belleza de la materia y del importante papel que desempe˜nar´a,

tanto en sus estudios como en su comprensi´on del mundo en general

Prest´e especial atenci´on a los siguientes aspectos del texto: (a) Claridad,

explicaci´on asequible que se anticipe y aborde las dificultades de los estudiantes

(b) Dise˜no y figuras que relacionen el flujo de ideas

(c) Elementos destacados en el texto que enfaticen los conceptos y el razonamiento matem´atico: Apunte conceptual,

Apunte gr´afico,

Las hip´otesis son importantes,

Recordatorio y Perspectiva hist´orica

(d) Una amplia colecci´on de ejemplos y ejercicios de dificultad gradual que ense˜nen las destrezas b´asicas y t´ecnicas de resoluci´on de problemas,

refuercen la comprensi´on conceptual,

y motiven el c´alculo a trav´es de aplicaciones interesantes

Cada secci´on contiene ejercicios en que se tratan nuevas ideas y retos para los estudiantes que les ayuden a desarrollar sus capacidades

Animado por la respuesta entusiasta a la primera edici´on,

en esta nueva edici´on me plante´e el objetivo de desarrollar a´un m´as estos puntos fuertes

Cada secci´on del texto ha sido revisada cuidadosamente

Durante el proceso de revisi´on,

prest´e especial atenci´on a los comentarios de los revisores y los estudiantes que han utilizado el libro

Sus ideas y creativas sugerencias han dado lugar a numerosas mejoras en el texto

El c´alculo infinitesimal tiene un merecido papel central en la educaci´on superior

No s´olo es la clave para una amplia gama de disciplinas cuantitativas,

sino que tambi´en es una componente crucial en el desarrollo intelectual del estudiante

Espero que esta nueva edici´on contin´ue siendo relevante en la apertura a los estudiantes al polifac´etico mundo del c´alculo

P R E A´ M B U L'O

Mi libro de texto sigue una organizaci´on mayormente tradicional,

aunque con algunas excepciones

Una de esas excepciones es la disposici´on de los polinomios de Taylor en el Cap´ıtulo 9

´ de los polinomios de Taylor Disposicion Los polinomios de Taylor se encuentran el el cap´ıtulo 9,

antes de las series infinitas en el cap´ıtulo 11

Mi objetivo es introducir los polinomios de Taylor como una extensi´on natural de la aproximaci´on lineal

Cuando explico las series infinitas,

un tema que muchos estudiantes encuentran estimulante

Despu´es de estudiar los criterios de convergencia b´asicos y la convergencia de las series de potencias,

los estudiantes se encuentran preparados para abordar las cuestiones derivadas de la representaci´on de una funci´on por su serie de Taylor

Pueden utilizar entonces sus conocimientos previos sobre polinomios de Taylor y sobre la cota de error del cap´ıtulo 9

A´un as´ı,

la secci´on sobre los polinomios de Taylor se ha dise˜nado de tal manera que se pueda tratar de forma conjunta con el material sobre series de potencias y series de Taylor del cap´ıtulo 11 si se prefiere este orden

DESARROLLO ESMERADO Y METICULOSO W

Freeman es conocida por sus libros de texto,

Desde el inicio de este proyecto y a lo largo de su desarrollo y producci´on,

se ha dado prioridad importante a la calidad y exactitud

Tenemos en marcha procedimientos sin precedentes para garantizar la precisi´on de todos los aspectos del texto: • • • • •

Ejercicios y ejemplos Exposici´on Figuras Edici´on Composici´on

En conjunto,

estos procedimientos superan con creces los est´andares previos de la industria para salvaguardar la calidad y la precisi´on de un libro de c´alculo

´ Nuevo en la segunda edicion Listas de problemas mejoradas

con aproximadamente un 25 % de problemas nuevos y de problemas revisados: Para matizar este destacado elemento del texto,

las listas de problemas fueron revisadas extensamente por colaboradores externos

Bas´andose en parte en sus comentarios,

el autor revis´o cuidadosamente los problemas para mejorar su calidad y cantidad

Esta segunda edici´on presenta miles de nuevos y actualizados problemas

Nueva y mayor variedad de aplicaciones: La segunda edici´on contiene muchos ejemplos y problemas nuevos centrados en aplicaciones innovadoras y contempor´aneas de la ingenier´ıa,

la administraci´on de empresas,

la medicina y las ciencias sociales

Cambios en el contenido en respuesta a los usuarios y revisores,

incluyendo: • Cap´ıtulo 2: el tema “L´ımites en el infinito” se ha movido del cap´ıtulo 4 a la secci´on 2

• Cap´ıtulo 3: diferenciaci´on –se ha ampliado el tratamiento de los diferenciales

• Cap´ıtulo 8: se ha movido la integraci´on num´erica al final del cap´ıtulo,

despu´es de tratar todas las t´ecnicas de integraci´on

P R E A´ M B U L'O

En esta secci´on se presenta una aplicaci´on b´asica de integraci´on,

de suma importancia en las ciencias f´ısicas,

as´ı como en la administraci´on de empresas y en las ciencias sociales

• Los cap´ıtulos multivariables,

elogiados por su intensidad en la primera edici´on,

• Revisi´on y mejora de los gr´aficos en todo el libro

MATERIAL COMPLEMENTARIO ´ • La obra CALCULO dispone de gran cantidad de recursos y materiales complementarios (banco de im´agenes,

Todos los materiales se encuentran disponibles en su versi´on original en ingl´es

Para el profesor

Para el estudiante

• Los profesores que piensan utilizar este libro como texto para su asignatura,

pueden acceder al material complementario registr´andose en la siguiente p´agina web: http:// www

com/microsites/rogawski o contactando con [email protected] • Los alumnos que lo deseen,

podr´an acceder mediante un simple registro on-line,

a los complementos gratuitos y de libre acceso (Free & Open Resources) que la editorial original W

Freeman ofrece a trav´es del portal http://bcs

P R E A´ M B U L'O

CARACTERÍSTICAS Apuntes conceptuales fomentan la comprensión conceptual del cálculo explicando ideas importantes de manera clara pero informal

UN APUNTE CONCEPTUAL La notación de Leibniz se usa por diferentes motivos

recuerda que la derivada d'f dx,

aunque no es un cociente propiamente dicho,

es un límite de cocientes f x

En segundo lugar,

esta notación especi ca la variable independiente

Esto resulta útil cuando se emplean otras variables además de x

Por ejemplo,

si la variable independiente es t,

En tercer lugar,

se suele pensar en d'dx como en un “operador” que aplica la operación de derivación sobre las funciones

En otras palabras,

se aplica el operador d'dx a f para obtener la derivada df dx

Otras ventajas de la notación de Leibniz se pondrán de mani esto cuando se trate la regla de la cadena en la sección 3

Apuntes gráficos mejoran la comprensión visual de los estudiantes poniendo de manifiesto las conexiones entre las propiedades gráficas y los conceptos subyacentes

UN APUNTE GRÁFICO

Recordatorios son notas al margen que enlazan la discusión que se lleva a cabo en ese momento con conceptos importantes que se han introducido previamente en el texto,

para proporcionar a los estudiantes una revisión rápida y realizar conexiones entre ideas afines

Área del triángulo FIGURA 5

1 senθ 2

Área del sector circular

´ del teorema 3 Nota: La demostracion 1 ´ θ para el area ´ de un utiliza la formula 2 ´ sector circular,

cuya demostracion ´ completa requiere del calculo integral

Área del triángulo

Demostraci´on Suponga en primer lugar que 0 < θ < en la siguiente relaci´on entre las ´ RECORDATORIO Recuerde que el ´ ´ θ area de un sector circular de angulo en una circunferencia de radio r es 1 2 ´ es la siguiente: un sector r θ

La razon 2 ´ θ representa una circular de angulo ´ de 2θπ de la circunferencia

El fraccion ´ area de la circunferencia es πr2 ,

por lo ´ que el area del sector circular es θ 1 2

Para la circunferencia πr 2 r θ 2π 2 ´ del sector es 12 θ

1 tan 2

La demostraci´on se va a basar

área de OAB < a´ rea del sector circular BOA < a´ rea de OAC

A continuaci´on se van a calcular estas tres a´ reas

En primer lugar,

la base de OAB es 1 y su altura es sen θ ,

por lo que su a´ rea es igual a 12 sen θ

recuerde que el a´ rea de un sector circular de a´ ngulo θ es 12 θ

Finalmente,

para calcular el a´ rea del tri´angulo OAC,

observe que: AC AC cateto opuesto = = = AC tan θ = cateto contiguo OA 1 Por tanto,

como la base del tri´angulo OAC es 1,

su a´ rea ser´a De esta manera,

se ha demostrado que: 1 1 sen θ 1 θ ≤ sen θ ≤ 2 2 cos θ 2 Área

Área del sector

Seg´un la primera desigualdad sen θ ≤ θ y,

P R E A´ M B U L'O

Atención estas anotaciones advierten a los estudiantes sobre escollos habituales con los que se pueden encontrar en la comprensión del material

Antes de continuar,

he aqu´ı algunas observaciones: ATENCIÓN La regla de la potencia se ´ puede aplicar unicamente a las funciones potenciales y = xn

No se puede aplicar a las funciones exponenciales como y = 2 x

La derivada ´ las de y = 2 x no es x2 x−1

Se estudiaran derivadas de las funciones ´ pero mas ´ exponenciales en esta seccion,

Puede ser de ayuda recordar la regla de la potencia en palabras: para derivar xn ,

“baje el exponente y reste uno (al exponente)”

La regla de la potencia es v´alida para cualquier exponente,

o irracional: d'√2 √ √2−1 d'−3/5 3 −8/5 2x ,

Facilitan a los estudiantes un vistazo a algunos de los logros de los grandes matemáticos y una apreciación de su importancia

PERSPECTIVA HISTÓRICA

La filosof´ıa est´a escrita en ese gran libro —el universo— que permanece abierto ante nuestros ojos,

pero que no podremos entender hasta que no comprendamos el lenguaje

en el que est´a escrito: el lenguaje de las matem´aticas

G ALILEO G ALILEI,

Esta estatua de Isaac Newton en la Universidad de Cambridge se describe en El Preludio,

un poema de William Wordsworth (1770-1850): “Newton con su prisma y cara en silencio,

El exponente en m´armol de una mente Viajando para siempre a trav´es de los mares extra˜nos del Pensamiento,

La revoluci´on cient´ıfica de los siglos XVI y XVII alcanz´o su punto culminante en la obra de Isaac Newton (1643-1727),

el primer cient´ıfico que demostr´o que el mundo f´ısico,

a pesar de su complejidad y diversidad,

est´a regido por un peque˜no n´umero de leyes universales

Una de las grandes intuiciones de Newton fue que las leyes del universo no describen el mundo tal como es,

ni en el momento actual ni en ning´un otro,

sino cómo el mundo cambia en el tiempo en respuesta a diversas fuerzas

Estas leyes se expresan mejor en el lenguaje del c´alculo infinitesimal,

que son las matem´aticas del cambio

M´as de cincuenta a˜nos antes de los trabajos de Newton,

el astr´onomo Johannes Kepler (1571-1630) descubri´o sus tres leyes del movimiento planetario,

una de las cuales postula que la trayectoria de cualquier planeta alrededor del Sol es una elipse

Kepler encontr´o esas leyes despu´es de un an´alisis minucioso de much´ısimos datos astron´omicos,

pero no pudo explicar por qu´e se cumpl´ıan

Las leyes de Newton explican el movimiento de cualquier objeto —desde un planeta hasta una canica— en t´erminos de las fuerzas que act´uan sobre e´ l

Seg´un Newton,

si pudiesen moverse libremente,

lo har´ıan en trayectorias rectas

Puesto que sus trayectorias son en realidad elipses,

debe existir alguna fuerza —en este caso,

la atracci´on gravitatoria del Sol— que les haga cambiar de direcci´on continuamente

En su obra magna Principia Mathematica,

Newton demostr´o que las leyes de Kepler se deduc´ıan de sus propias leyes de movimiento y de gravitaci´on

Por estos descubrimientos,

Newton consigui´o fama generalizada a lo largo de su vida

Su fama sigui´o creciendo despu´es de su muerte,

llegando a alcanzar una dimensi´on casi m´ıtica,

y sus ideas tuvieron una profunda influencia no s´olo en la ciencia,

sino tambi´en en las artes y la literatura,

tal como lo expresa en su epitafio el poeta ingl´es Alexander Pope: “La Naturaleza y las leyes de la Naturaleza se escond´ıan en la Noche

Dijo Dios,

Sea Newton

´ Las hipotesis son importantes utiliza explicaciones cortas y contraejemplos bien escogidos para que los estudiantes valoren por qu´e se necesitan las hip´otesis en los teoremas

´ ´ resume los puntos clave de una secci´on de manera concisa Resumenes de la seccion y u´ til para los estudiantes,

y hace hincapi´e en lo que es m´as importante en cada secci´on

´ proporcionan un amplio conjunto de ejercicios en Lista de problemas de la seccion estrecha coordinaci´on con el texto

Estos ejercicios var´ıan en dificultad desde rutinarios,

a moderados y a m´as dif´ıciles

Tambi´en se incluyen iconos que indican los problemas que requieren respuesta por escrito

o que hacen necesario el uso de tecnolog´ıa

Problemas de repaso del cap´ıtulo ofrecen un amplio conjunto de ejercicios en estrecha coordinaci´on con el material del cap´ıtulo para proporcionar m´as problemas para el estudio personal,

COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CÓNICAS E E La hermosa concha del nautilus pompilius crece con la forma de una espiral equiangular,

una curva descrita en coordenadas polares por la ecuaci´on r = eaθ

n este cap´ıtulo se introducen dos nuevas herramientas importantes

En primer lugar,

se consideran las ecuaciones param´etricas,

que describen las curvas de una manera especialmente u´ til para analizar el movimiento y que resultan imprescindibles en a´ reas como los gr´aficos por ordenador y el dise˜no asistido por ordenador

A continuaci´on se estudian las coordenadas polares,

una alternativa a las coordenadas rectangulares que simplifica los c´alculos en muchas aplicaciones

Este cap´ıtulo finaliza con un estudio de las secciones c´onicas (elipses,

tal y como se ilustra en la figura 1

Se puede describir el movimiento de la part´ıcula especificando las coordenadas como funci´on del tiempo t: ´ Se utilizara´ el termino “part´ıcula” para referirse a un objeto en movimiento,

sin tener en cuenta su estructura interna

Dicho de otro modo,

la part´ıcula se encuentra en el punto: c(t) = ( f (t),

g(t)) Las ecuaciones (1) se denominan ecuaciones param´etricas y se dice que C es una curva param´etrica

Se dice que c(t) es una parametrizaci´on de par´ametro t

Posición en el instante t ( f (t),

FIGURA 1 Part´ıcula que se desplaza a

lo largo de una curva C en el plano

Como x e y son funciones de t,

a menudo se escribe c(t) = (x(t),

Por supuesto,

se puede utilizar cualquier otra variable para el par´ametro (como s'o θ )

En las representaciones gr´aficas de curvas param´etricas,

se suele indicar la direcci´on del movimiento mediante una flecha,

E C U A C I O N E S PA R A M E´ T R I C A S ,

C O O R D'E N A D'A S P O L'A R E S Y S E C C I O N E S C O´ N I C A S

E J E M P L'O 1 Dibuje la curva de ecuaciones param´etricas

Soluci´on En primer lugar,

calcule las coordenadas x e y para diferentes valores de t,

como se muestra en la tabla 1 y represente los correspondientes puntos (x,

Despu´es,

una los puntos por medio de una curva suave,

indicando la direcci´on del movimiento con una flecha

TABLA 1

7 3 7 19

7) −8

3) −4

FIGURA 2 La curva param´etrica

UN APUNTE CONCEPTUAL La gr´afica de una funci´on y = f (x) siempre se puede para-

Por ejemplo,

la par´abola y = x2 se parametriza como c(t) = (t,

Una ventaja de las ecuaciones param´etricas es que permiten describir curvas que no son gr´aficas de funciones

Por ejemplo,

la curva de la figura 3 no es de la forma y = f (x) pero se puede expresar de forma param´etrica

Tal y como se acaba de mencionar,

una curva param´etrica c(t) no tiene por qu´e ser la gr´afica de una funci´on

Sin embargo,

es posible hallar la funci´on f (x) “eliminando el par´ametro” como en el siguiente ejemplo

FIGURA 3 La curva param´etrica

  x = 5 cos(3t) cos 23 sen(5t) ,

´ E J E M P L'O 2 Eliminando el parametro Describa la curva param´etrica c(t) = (2t − 4,

Soluci´on Se “elimina el par´ametro” aislando y como funci´on de x

En primer lugar,

exprese t el t´erminos de x: como x = 2t − 4,

sustituya en y:  y = 3 + t2 = 3 +

Por tanto,

c(t) describe la gr´afica de f (x) = 7 + 2x + 14 x2 que se muestra en la figura 2

E J E M P L'O 3 La trayectoria de una bala,

hasta el instante en el que toca el suelo,

FIGURA 4 Trayectoria de una bala

Halle: (a) La altura de la bala en el instante t = 5 s

S E C C I O´ N 12

ATENCIÓN La grafica ´ de la altura respecto al tiempo de un objeto que se ´ ´ la lanza al aire es una parabola (segun ´ formula de Galileo)

Pero recuerde que ´ la figura 4 no es una grafica de la altura respecto al tiempo

Muestra la trayectoria real de la bala (que presenta un desplazamiento vertical y uno horizontal)

´ Ecuaciones parametricas 615

Soluci´on La altura de la bala en el instante t es y(t) = 200t − 4,9t2

(a) La altura en t = 5 s'es: y(5) = 200(5) − 4,9(52 ) = 877,5 m (b) La altura m´axima tiene lugar en el punto cr´ıtico de y(t): y (t) =

d (200t − 4,9t2 ) = 200 − 9,8t = 0 dt

La altura m´axima de la bala es y(20,4) = 200(20,4) − 4,9(20,4)2 ≈ 2041 m

A continuaci´on se consideran la parametrizaci´on de rectas y de circunferencias

En los u´ ltimos cap´ıtulos,

ambas aparecer´an con frecuencia

´ de una recta TEOREMA 1 Parametrizacion (a) La recta que pasa por P = (a,

b) y tiene pendiente m se parametriza mediante: x = a + rt

para cualquier r y s'(con r  0) tales que m = s/r

(b) La parametrizaci´on de la recta que pasa por P = (a,

El segmento que va de P a Q corresponde a 0 ≤ t ≤ 1

Soluci´on (a) A´ısle t como funci´on de x en x = a + rt: se obtiene t = (x − a)/r

Entonces:  x − a y = b + st = b + s'= b + m(x − a) o y − b = m(x − a) r

Se trata de la ecuaci´on de la recta que pasa por P = (a,

Para r = 1 y s'= m se obtiene la parametrizaci´on de la figura 5

La parametrizaci´on de (b) define una recta que verifica (x(0),

Por tanto,

parametriza la recta que pasa por P y por Q y describe el segmento que va de P a Q cuando t var´ıa de 0 a 1

P = (a,

FIGURA 5 La parametrizaci´on de la

recta y − a = m(x − b) es: c(t) = (a + t,

Corresponde a r = 1,

´ de una recta Parametrice la recta que pasa por E J E M P L'O 4 Parametrizacion P = (3,

Soluci´on Se puede parametrizar esta recta considerando r = 1 y s'= 4 en la ec

que se puede expresar como c(t) = (3 + t,

Otra parametrizaci´on de esta recta es c(t) = (3 + 5t,

correspondiente a r = 5 y s'= 20 en la ec

La parametrizaci´on de la circunferencia centrada en el origen y de radio R es: x = R cos θ ,

E C U A C I O N E S PA R A M E´ T R I C A S ,

C O O R D'E N A D'A S P O L'A R E S Y S E C C I O N E S C O´ N I C A S

Etapa 2

Estudie x(t),

y(t) como funciones de t Se tiene que x(t) = t2 + 1 y que y(t) = t3 − 4t

La coordenada x,

tiende a +∞ cuando t → +∞

Para examinar la coordenada y,

se representa y(t) = t3 − 4t = = t(t − 2)(t + 2) como funci´on de t (no como funci´on de x)

Como y(t) es la altura por encima del eje x,

la figura 9(A) muestra que: y(t) < 0

As´ı,

la curva empieza en c(0) = (1,

cae por debajo del eje x y vuelve al eje x en t = 2

Tanto x(t) como y(t) tienden a +∞ cuando t → +∞

La curva es convexa porque y(t) aumenta m´as r´apidamente que x(t)

´ con un arco Etapa 3

Represente los puntos y unalos Se han representados los puntos c(0),

y unido mediante un arco para obtener la representaci´on para t ≥ 0 de la figura 9(B)

La representaci´on gr´afica se complementa realizando una reflexi´on respecto al eje x,

tal y como se ilustra en la figura 9(C)

TABLA 3

0 1 2 2

1 2 5 7,25

−8 (B) Gráfica para t ≥ 0

(A) Gráfica de la coordenada y(t) = t 3 − 4t

(C) Complete la representación gráfica usando la propiedad de simetría

FIGURA 9 La curva c(t) = (t2 + 1,

t3 − 4t)

Una cicloide es una curva descrita por un punto sobre una circunferencia en una rueda en movimiento,

tal y como se muestra en la figura 10

Las cicloides son famosas por su “propiedad braquist´ocrona” (vea la nota la margen,

m´as abajo)

FIGURA 10 Una cicloide

´ Destacados matematicos (incluyendo a Galileo,

Pascal,

Newton,

Leibniz,

Huygens y Bernoulli) estudiaron la cicloide y descubrieron muchas de sus importantes propiedades

La curva que describe la ca´ıda de un cuerpo que debe llegar al punto inferior en el menor tiempo posible (suponiendo que no ´ debe tener la forma de existe friccion) ´ una cicloide invertida

Esta es la ´ ´ propiedad braquistocrona,

un termino ´ que deriva del griego brachistos,

´ de una cicloide Halle ecuaciones param´etricas para E J E M P L'O 8 Parametrizacion una cicloide generado por un punto P sobre la circunferencia unitaria

Soluci´on El punto P se encuentra en el origen en t = 0

En el instante t,

la circunferencia se ha desplazado t radianes sobre el eje x con lo que el centro C de la circunferencia tendr´a coordenadas (t,

como se puede observar en la figura 11(A)

La figura 11(B) muestra que para pasar de C a P hay que desplazarse cos t unidades hacia abajo y sen t a la izquierda,

dando lugar a las siguientes ecuaciones param´etricas: x(t) = t − sen t,

S E C C I O´ N 12

´ Ecuaciones parametricas 619

C = (t,

t (A) Posición de P en el instante t

(B) P tiene las coordenadas x = t − sen t,

FIGURA 11

De manera similar a como se ha procedido en el ejemplo 8,

es posible demostrar que la cicloide generada por una circunferencia de radio R,

tiene ecuaciones param´etricas: x = Rt − R sen t,

A continuaci´on,

se considera el problema de hallar las rectas tangentes a curvas param´etricas

La pendiente de la recta tangente es la derivada dy/dx,

pero se debe utilizar la regla de la cadena para determinarla,

porque y no se encuentra definida expl´ıcitamente como funci´on de x

Exprese x = f (t),

Entonces,

seg´un la regla de la cadena en la notaci´on de Leibniz: g (t) = NOTACIÓN

´ se denota En esta seccion,

dy dy dx dy  = = f (t) dt dx dt dx

Si f  (t)  0,

se puede dividir por f  (t) con el resultado dy g (t) =  dx f (t) Esta operaci´on es factible si f (t) y g(t) son derivables,

f  (t) es continua y f  (t)  0

En tal caso,

la inversa t = f −1 (x) existe y la funci´on compuesta y = g( f −1 (x)) es una funci´on derivable de x

ATENCIÓN No debe confundir dy/dx con las derivadas dx/dt y dy/dt,

que ´ son las derivadas respecto al parametro ´ t

Unicamente dy/dx es la pendiente de la recta tangente

TEOREMA 2 Pendiente de la recta tangente Sea c(t) = (x(t),

donde x(t) e y(t) son derivables

Suponga que x (t) es continua y que x (t)  0

Entonces: y (t) dy dy/dt = =  dx dx/dt x (t)

15 10 5

E J E M P L'O 9 Sea c(t) = (t2 + 1,

t3 − 4t)

Determine:

(a) Una ecuaci´on de la recta tangente en t = 3

(b) Los puntos en que la recta tangente sea horizontal (figura 12)

FIGURA 12 Rectas tangentes

horizontales para c(t) = (t2 + 1,

t3 − 4t)

Soluci´on Se tiene: dy y (t) (t3 − 4t) 3t2 − 4 = = 2 = dx x (t) 2t (t + 1)

S E C C I O´ N 12

´ Ecuaciones parametricas 621

g(t)) describe el camino de una part´ıcula que se desplaza sobre una curva,

como funci´on del par´ametro t

• Las parametrizaciones no son u´ nicas: cada curva C se puede parametrizar de infinitas maneras

Adem´as,

el camino c(t) puede recorrer toda o parte de C m´as de una vez

• Pendiente de la recta tangente en c(t): dy dy/dt y (t) = =  dx dx/dt x (t)

• No confunda la pendiente de la recta tangente dy/dx con las derivadas dy/dt y dx/dt,

• Parametrizaciones est´andar: – Recta de pendiente m = s/r que pasa por P = (a,

– Circunferencia de radio R centrada en P = (a,

– Cicloide generada por una circunferencia de radio R: c(t) = (R(t−sen t),

R(1−cos t))

Describa la forma de la curva x = 3 cos t,

Relacione las derivadas con la descripci´on verbal:

¿Cu´al es la diferencia entre la curva x = 4 + 3 cos t,

y = 5 + 3 sen t y la del problema anterior

¿Cu´al es la altura m´axima de una part´ıcula cuya trayectoria queda descrita por las ecuaciones param´etricas x = t9 ,

¿Se puede representar la curva param´etrica (t,

sen t) como una gr´afica y = f (x)

ii(i) Pendiente de la recta tangente a la curva

i(ii) Tasa de cambio vertical respecto al tiempo

(iii) Tasa de cambio horizontal respecto al tiempo

Problemas 11

Halle las coordenadas en los instantes t = 0,

Proporcione dos parametrizaciones diferentes de la recta que pasa por (4,

Halle las coordenadas en t = 0,

π de una part´ıcula que se mueve describiendo la trayectoria c(t) = (cos 2t,

En los problemas 7-14,

elimine el par´ametro para conseguir expresar y = f (x)

Pruebe,

que la trayectoria descrita por la bala del ejemplo 3 es una par´abola

Use la tabla de valores para dibujar la curva param´etrica (x(t),

indicando la direcci´on del movimiento

Represente las siguientes curvas param´etricas

Incluya flechas que indiquen la direcci´on del movimiento

En los problemas 15-18,

represente la curva y dibuje una flecha que indique la direcci´on del movimiento

Relacione las parametrizaciones (a)-(d) que se encuentran a continuaci´on con sus gr´aficas de la figura 14 y dibuje una flecha que indique la direcci´on del movimiento

E C U A C I O N E S PA R A M E´ T R I C A S ,

C O O R D'E N A D'A S P O L'A R E S Y S E C C I O N E S C O´ N I C A S

FIGURA 14

t2 − 9)

5 − 3t)

Una part´ıcula describe la trayectoria: x(t) =

donde t se expresa en segundos y la distancia se expresa en cent´ımetros

9)  42

usando las funciones cosh t y senh t

¿C´omo puede parametrizar la rama x < 0

En la figura 15(A) se muestran las gr´aficas de x(t) y de y(t) como funciones de t

¿Cu´al de las representaciones gr´aficas (I)-(III) corresponde a la gr´afica de c(t) = (x(t),

(b) ¿En qu´e momento y a qu´e distancia del origen llega la part´ıcula al suelo

En los problemas 23-38,

halle ecuaciones param´etricas para la curva dada

Halle una parametrizaci´on de la rama derecha (x > 0) de la hip´erbola:  x 2  y 2 − =1 a b

(a) ¿Cu´al es la altura m´axima de la part´ıcula

Halle un intervalo de valores de t para el que c(t) = (2t + 1,

Describa c(t) = (sec t,

tan t) para 0 ≤ t < Especifique el dominio de x

Halle un intervalo de valores de t para el que c(t) = (cos t,

sen t) describa la parte inferior de la circunferencia unidad

FIGURA 15

¿Cu´al de las representaciones gr´aficas (I) o (II),

corresponde a la gr´afica de x(t) y cu´al es la gr´afica de y(t) para la curva param´etrica de la figura 16(A)

Recta de pendiente 8 que pasa por (−4,

Recta que pasa por (2,

FIGURA 16

Recta que pasa por (3,

Recta que pasa por 13 ,

Segmento que une (1,

1) y (2,

Segmento que une (−3,

0) y (0,

Dibuje c(t) = (t3 − 4t,

Dibuje c(t) = (t2 − 4t,

En los problemas 49-52,

(7) para hallar dy/dx en el punto que se indica

Circunferencia de centro (3,

t2 − 1),

Elipse del problema 28,

con su centro trasladado a (7,

a la que se ha aplicado una traslaci´on de manera que el 37

y = m´ınimo se d´e en (−4,

a la que se ha aplicado una traslaci´on de manera que el m´aximo se d´e en (3,

θ = π6

En los problemas 53-56,

halle una ecuaci´on y = f (x) para la curva param´etrica y calcule dy/dx de dos maneras: usando la ec

En los problemas 39-42,

halle una parametrizaci´on c(t) de la curva,

que cumpla la condici´on indicada

7t − 9),

S E C C I O´ N 12

´ Ecuaciones parametricas 623

Halle los puntos de la curva c(t) = (3t2 − 2t,

Halle la ecuaci´on de la recta tangente a la cicloide generada por una circunferencia de radio 4,

En los problemas 59-62,

P = (x,

20 x 20

FIGURA 17 Representaci´on gr´afica de c(t) = (t2 − 9,

t2 − 8t)

Dibuje una flecha que indique la direcci´on del movimiento y determine el intervalo de valores de t que corresponden a la porci´on de la curva que se encuentra en cada uno de los cuatro cuadrantes

Halle la ecuaci´on de la recta tangente en t = 4

Halle los puntos en que la pendiente de la recta tangente sea igual a 12

Halle los puntos en que la recta tangente es horizontal y aquellos en que la recta tangente es vertical

Sean A y B los puntos en los que la semirrecta de a´ ngulo θ corta las dos circunferencias conc´entricas de radios r < R y centradas en el origen (figura 18)

Sea P el punto de la intersecci´on entre la recta horizontal que pasa por A y la recta vertical que pasa por B

Exprese las coordenadas de P como funci´on de θ y describa la curva trazada por P para 0 ≤ θ ≤ 2π

En los problemas 65-68,

se hace referencia a la curva de B´ezier definida por las ecs

Pruebe que la curva de B´ezier de puntos de control: P0 = (1,

P1 = (3,

P2 = (6,

P3 = (7,

tiene parametrizaci´on c(t) = (1 + 6t + 3t2 − 3t3 ,

Halle una ecuaci´on de la recta tangente a la curva de B´ezier del problema 65 en t = 13

Encuentre y represente la curva de B´ezier c(t) que pasa por los puntos de control: P0 = (3,

P1 = (0,

P2 = (5,

P3 = (2,

Pruebe que una curva c´ubica de B´ezier es tangente al segmento P2 P3 en P3

Una bala disparada desde una pistola sigue la trayectoria:

Pruebe que la bala sale del arma con un a´ ngulo θ = tan−1 llega al suelo a una distancia ab/16 del origen

Represente gr´aficamente c(t) = (t3 − 4t,

Halle los puntos en que la recta tangente es horizontal o vertical

FIGURA 18

Una escalera de 10 pies se desliza por una pared cuando se desplaza su extremo inferior B,

alej´andolo de la pared (figura 19)

Usando el a´ ngulo θ como par´ametro,

encuentre las ecuaciones param´etricas del camino seguida por (a) la parte superior de la escalera de A,

(b) la parte inferior de la escalera de B y (c) el punto P que se encuentra a 4 pies de la parte superior de la escalera

Pruebe que P describe una elipse

Represente gr´aficamente el astroide x = cos3 θ ,

y halle la ecuaci´on de la recta tangente en θ = π3

Halle la ecuaci´on de la recta tangente en t = π4 a la cicloide generada por la circunferencia unidad con ecuaci´on param´etrica (5)

Halle los puntos sobre la cicloide de ecuaci´on param´etrica (5) en que la recta tangente sea horizontal

S E C C I O´ N 12

Area por debajo de una curva parametrizada Sea c(t) = = (x(t),

donde y(t) > 0 y x (t) > 0 (figura 24)

Pruebe que el a´ rea A por debajo de c(t) para t0 ≤ t ≤ t1 es:

´ Ecuaciones parametricas 625

¿Qu´e dice la ec

Dibuje la gr´afica de c(t) = (ln t,

Indicaci´on: como es estrictamente creciente,

la funci´on x(t) admite inversa t = g(x) y c(t) es la gr´afica de y = y(g(x))

Aplique la f´ormula del x(t ) cambio de variable a A = x(t 1) y(g(x)) dx

Galileo intent´o,

hallar el a´ rea por debajo de una cicloide

Sobre el 1630,

Gilles de Roberval demostr´o que el a´ rea por debajo de un arco de la cicloide c(t) = (Rt − R sen t,

R − R cos t) generado por una circunferencia de radio R es igual al triple del a´ rea del c´ırculo (figura 25)

Compruebe el resultado de Roberval usando la ec

FIGURA 24

Calcule el a´ rea por debajo de y = x2 en [0,

(12) y con las parametrizaciones (t3 ,

FIGURA 25 El a´ rea de un arco de la cicloide es igual al triple del a´ rea del c´ırculo correspondiente a la circunferencia que lo genera

Problemas avanzados 94

Demuestre la siguiente generalizaci´on del problema 93: para todo t > 0,

el a´ rea del sector de la cicloide OPC es igual al triple del a´ rea del segmento circular limitado por la cuerda PC de la figura 26

tiene la siguiente propiedad: para todo t,

el segmento que va de c(t) a (t,

P R C = (Rt,

C = (Rt,

(A) Sector de la cicloide OPC

(B) Segmento circular limitado por la cuerda PC

FIGURA 27 Tractriz c(t) = t −  tanh ,

FIGURA 26

En el problema 54 de la secci´on 9

se describi´o la tractriz mediante la ecuaci´on diferencial:

Obtenga la f´ormula para la pendiente de la recta tangente a una curva param´etrica c(t) = (x(t),

y(t)) mediante un m´etodo diferente al que se ha considerado en este libro

Suponga que x (t0 ) e y (t0 ) existen y que x (t0 )  0

Pruebe que:

y(t0 + h) − y(t0 ) = x(t0 + h) − x(t0 )

A continuaci´on,

explique por qu´e este l´ımite es igual a la pendiente dy/dx

Dibuje una figura que muestre que la raz´on en el l´ımite es la pendiente de una recta secante

Compruebe que la curva tractriz ( > 0):  t t c(t) = t −  tanh ,

Pruebe que la curva c(t) identificada como la tractriz en el problema 96 cumple esta ecuaci´on diferencial

Observe que la derivada a la izquierda se considera respecto a x,

En los problemas 98 y 99,

se hace referencia a la figura 28

En la parametrizaci´on c(t) = (a cos t,

t no es un par´ametro angular salvo si a = b (es decir,

cuando la elipse es una circunferencia)

Sin embargo,

se puede interpretar t en t´erminos de un a´ rea: pruebe que si c(t) = (x,

donde A es el a´ rea de la regi´on sombreada de la figura 28

Indicaci´on: Use ec

E C U A C I O N E S PA R A M E´ T R I C A S ,

C O O R D'E N A D'A S P O L'A R E S Y S E C C I O N E S C O´ N I C A S

Suponga que las coordenadas polares de P = (x,

Halle las coordenadas polares para los puntos:

¿Cu´ales son las ecuaciones polares de las rectas paralelas a la recta   r cos θ − π3 = 1

Pruebe que la circunferencia de centro 12 ,

FIGURA 17

Halle la ecuaci´on en coordenadas polares de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente 12

¿Cu´al es la pendiente de la recta θ =

Relacione cada ecuaci´on en coordenadas rectangulares con su ecuaci´on en coordenadas polares

Describa cada sector sombreado de la figura 17 mediante desigualdades en r y θ

¿Cu´al de las siguientes ecuaciones r = 2 sec θ y r = 2 csc θ define una recta horizontal

En los problemas 11-16,

convierta a una ecuaci´on en coordenadas rectangulares

r = cos θ − sen θ 2 − cos θ En los problemas 17-20,

convierta a una ecuaci´on en coordenadas rectangulares

FIGURA 19 Representaci´on gr´afica de r = sen θ + cos θ

Dibuje la curva r = 12 θ (la espiral de Arqu´ımedes) para θ entre 0 y 2π representando los puntos correspondientes a θ = 0,

Dibuje la curva r = 3 cos θ − 1 (vea el ejemplo 8)

Dibuje la curva cardioide r = 1 + cos θ

Muestre que la cardioide del problema 29 tiene ecuaci´on: (x2 + y2 − x)2 = x2 + y2

Relacione cada ecuaci´on con su descripci´on

La figura 20 muestra las gr´aficas de r = sen 2θ en coordenadas rectangulares y en polares,

donde se trata de una “rosa con cuatro p´etalos

(iv) Recta que pasa por origen

L´ınea vertical

Halle los valores de θ en la gr´afica de r = 4 cos θ correspondientes a los puntos A,

D de la figura 18

A continuaci´on,

indique la porci´on de la gr´afica descrita cuando θ var´ıa en los siguientes intervalos: (a) 0 ≤ θ ≤

(a) Los puntos en (B) que corresponden a los puntos A-I en (A)

(b) Las partes de la curva en (B) que corresponden a los a´ ngulos en los    

C 2 −2

FIGURA 18 Representaci´on gr´afica de r = 4 cos θ

I θ 2π

D H (A) Gráfica de r como una función de θ,

(B) Gráfica de r = sen 2 θ en coordenas polares

S E C C I O´ N 12

Dibuje la curva r = sen 3θ

En primer lugar,

obtenga los valores de r para la tabla que se encuentra a continuaci´on y represente los correspondientes puntos de la curva

Observe que los tres p´etalos de la curva

   corresponden a los a´ ngulos en los intervalos 0,

Despu´es represente r = sen 3θ en coordenadas rectangulares y etiquete los puntos en esta gr´afica correspondientes a los (r,

θ ) de la tabla

11π 12

Represente gr´aficamente la cisoide r = 2 sen θ tan θ y pruebe que su ecuaci´on en coordenadas rectangulares es y2 =

x3 2−x

El punto de R que se encuentra m´as cercano al origen,

tiene coordenadas rectangulares (−2,

R es tangente a la circunferencia r = 2 10 en el punto de coordenadas rectangulares (−2,

La pendiente de R es 3 y es tangente a la circunferencia unidad en el cuarto cuadrante

Pruebe que cualquier recta que no pase por el origen tiene ecuaci´on polar de la forma: r=

Seg´un el teorema del coseno,

la distancia d'entre dos puntos (figura 22) de coordenadas polares (r,

θ ) y (r0 ,

θ0 ) es:

Demuestre que r = 2a cos θ es la ecuaci´on de la circunferencia de la figura 21 usando u´ nicamente el hecho que un tri´angulo inscrito en una circunferencia,

de manera que un lado de e´ ste sea igual al di´ametro de la circunferencia,

es un tri´angulo rect´angulo

Coordenadas polares 639

θ) d'r

FIGURA 21

Pruebe que: r = a cos θ + b sen θ es la ecuaci´on de una circunferencia que pasa por el origen

Exprese el radio y el centro (en coordenadas rectangulares) en t´erminos de a y de b

Use el problema previo para expresar la ecuaci´on de una circunferencia de centro (3,

Use la identidad cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ para hallar una ecuaci´on polar de la hip´erbola x2 − y2 = 1

Halle una ecuaci´on en coordenadas polares para la curva r2 = = cos 2θ

Pruebe que cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ y use esta identidad para hallar una ecuaci´on en coordenadas rectangulares de la curva r = = cos 3θ

FIGURA 22

Para a > 0,

una curva lemniscata es el conjunto de puntos P tales que el producto de las distancias de P a (a,

0) es a2

Pruebe que la ecuaci´on de la lemniscata es: (x2 + y2 )2 = 2a2 (x2 − y2 ) A continuaci´on,

halle la ecuaci´on de la lemniscata en coordenadas polares

Para obtener la ecuaci´on en su forma m´as simple,

use la identidad cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ

Represente la lemniscata para a = 2,

si dispone de un programa inform´atico de c´alculo simb´olico

Sea c'una constante fijada

Explique la relaci´on entre las gr´aficas de: (a) y = f (x + c) e y = f (x) (rectangulares) (b) r = f (θ + c) y r = f (θ ) (polares)

Use la f´ormula de adici´on para el coseno para probar que la recta R de ecuaci´on polar r cos(θ − α) = d'tiene ecuaci´on en coordenadas rectangulares (cos α)x + (sen α)y = d

Pruebe que la pendiente de R es m = − cot α y la ordenada en el origen es d/sen α

(c) y = f (x) + c'e y = f (x) (rectangulares)

En los problemas 41-44,

halle una ecuaci´on en coordenadas polares de la recta R a la que se hace referencia

La derivada en coordenadas polares Muestre que una curva polar r = f (θ ),

tiene ecuaciones param´etricas:

El punto de R que se encuentra m´as cercano al origen tiene coor  denadas polares 2,

(d) r = f (θ ) + c'y r = f (θ ) (polares)

E C U A C I O N E S PA R A M E´ T R I C A S ,

C O O R D'E N A D'A S P O L'A R E S Y S E C C I O N E S C O´ N I C A S

A continuaci´on,

aplique el teorema 2 de la secci´on 12

Use la ec

(2) para hallar la pendiente de la recta tangente a r = sen θ en θ = π3

FIGURA 23

Use la ec

(2) para hallar la pendiente de la recta tangente a r = θ en θ = π2 y en θ = π

Halle las coordenadas polares de los puntos de la cardioide r = = 1 + cos θ en que la recta tangente sea horizontal (vea la figura 24)

Halle la ecuaci´on en coordenadas rectangulares de la recta tangente a r = 4 cos 3θ en θ = π6

Use la ec

(2) para probar que para r = sen θ + cos θ ,

Halle las coordenadas polares de los puntos de la lemniscata = cos 2t de la figura 23 en los que la recta tangente sea horizontal

dy cos 2θ + sen 2θ = dx cos 2θ − sen 2θ

A continuaci´on,

calcule las pendientes de las rectas tangentes a los puntos A,

C de la figura 19

Problemas avanzados 56

Sea f (x) una funci´on peri´odica de periodo 2π,

Explique de qu´e manera se refleja esta periodicidad en la gr´afica de: (a) y = f (x) en coordenadas rectangulares (b) r = f (θ ) en coordenadas polares 57

Utilice un programa inform´atico de representaci´on gr´afica para convencerse de que las ecuaciones polares r = f1 (θ ) = 2 cos θ − 1 y r = f2 (θ ) = 2 cos θ + 1 tienen la misma gr´afica

A continuaci´on explique la raz´on

Indicaci´on: muestre que los puntos ( f1 (θ + π),

θ + π) y ( f2 (θ ),

θ ) coinciden

En este problema se va a analizar c´omo la forma del caracol 58

de Pascal r = b + cos θ depende de la constante b (vea la figura 24)

(a) Siga los pasos del problema 57 para mostrar que las constantes b y −b dan lugar a la misma curva

(b) Represente el caracol de Pascal para b = 0,

(2) para demostrar que:   b cos θ + cos 2θ dy csc θ =− dx b + 2 cos θ (d) Halle los puntos en los que la recta tangente sea vertical

Observe que hay tres casos: 0 ≤ b < 2,

¿Reflejan estos resultados los gr´aficos que ha obtenido en (b) y (c)

FIGURA 24

(c) Represente el caracol de Pascal para 1,2,

tal y como se muestra en la figura 1(A)

Considere la regi´on limitada por la curva r = f (θ ) y las dos semirrectas θ = α y θ = β con α < β

Para deducir una f´ormula para el a´ rea,

divida la regi´on en N sectores estrec