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Calculo III

Batería III Woodcock-Muñoz - iapsychcom

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BRO DE CALCULO 3 EJERCICIOS DIVERSOS PARA LA APLICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Description

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

Visión Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020,

reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio,

líderes en formación integral,

promoviendo la competitividad del país

MISIÓN Somos una universidad privada,

innovadora y comprometida con el desarrollo del Perú,

que se dedica a formar personas competentes,

íntegras y emprendedoras,

para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de sus comunidades,

impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes e inspiradoras

y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés

Universidad Continental Material publicado con fines de estudio Código: UC0067 2017

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

Presentación El presente material “Guía de Trabajo” se elaboró con el propósito de servir como banco de preguntas sobre ecuaciones diferenciales que serán resueltas en el proceso de aprendizaje de la asignatura de Cálculo III

Esta recopilación de ejercicios está destinada para los alumnos de la Universidad Continental,

cada ejercicio está seleccionado,

permitiendo preparar y capacitar debidamente al estudiante en el conocimiento de los temas convencionales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias con un acervo de aplicaciones tomadas de la ingeniería y de las ciencias

La formación básica de los estudios impartidos en la universidad,

en el área de Ciencias e Ingeniería,

son muy importantes y la asignatura de Cálculo III juega un rol fundamental,

debido a que es un curso terminal del cálculo diferencial e integral,

los cuales son herramientas fundamentales que sirven para estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias que están relacionadas con los cursos de las diferentes especialidades de la ingeniería que brinda la Universidad

Es así como esta guía de aprendizaje se han dividido en cuatro unidades y que son: Unidad I: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Unidad II: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Unidad III: Transformada de Laplace Unidad IV: Series de Fourier

Por último quisiéramos agradecer a los colegas que han hecho posible esta recopilación de ejercicios

Los autores

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

ÍNDICE Pág

VISIÓN

MISIÓN

PRESENTACIÓN

ÍNDICE

UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SEMANA 01 Evaluación Diagnóstica

Presentación de la Asignatura………………………………………………

Clasificación

Problema de valor inicial…………………………………………………………………

……………………………

EDO de variable separable,

EDO reductible a variable separable

……………………………………………………

…10 SEMANA 02 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas…

………………………………………………………………

…………………………………………………………………

EDO de Bernoulli…………………

…………………………………………

……………………………………………………

…19 Crecimiento y descomposición

Dinámica poblacional

Ecuación logística………………

…21 SEMANA 05 Ley de la Continuidad – Mezclas …………………………

…………………………

Problemas diversos

…………………………………………

………………………………………………………

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III SEMANA 06 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

Reducción de orden

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes ……………………

Método de operadores inversos …………………………………………………………

………………………………………………

………29 SEMANA 07 Método de Variación de parámetros ……………………………………………………………………

Ecuación de Euler

- Cauchy

Ecuación de Legendre

………………………………………………………………………

Sistemas resorte-masa: movimiento libre no amortiguado y amortiguado

…35 Circuitos eléctricos RLC …………………………………………………

……………………………………

UNIDAD II: SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES SEMANA 09 EVALUACIÓN PARCIAL

RESOLUCIÓN DE LA EVALUACIÓN PARCIAL

……………………………………………

……38 Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Teoría de sistemas lineales

……………………………………

…………………………………………………………………………………

UNIDAD III: TRANSFORMADA DE LAPLACE SEMANA 11 La Transformada de Laplace

Definición y condición suficiente para la existencia de L{F(t)} de la transformada de Laplace

Propiedad de linealidad de la Transformada de Laplace ……………………………………………

…………………………………………………………………

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III Transformada de Laplace de algunas funciones elementales ………………………

…………………………

Transformada Inversa mediante fracciones parciales ………………………………………………………………………………………………………………

Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales Lineales con coeficientes constantes …………………………………………………………………………

Traslación de la transformada

Forma Inversa

Función escalón unitario

Forma inversa …………………………

………………………………

………………………………

Solución de Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables……………………………………………………………………………………………………

Teorema de convolución y forma inversa …

…………………………

………………51 Aplicaciones de la Transformada de Laplace

Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales por el método de la Transformada de Laplace

…52 Práctica calificada N° 4…………………………………………………………………………

UNIDAD IV: SERIES DE FOURIER SEMANA 15 Solución de Ecuaciones Diferenciales con series de potencia

Soluciones alrededor de puntos ordinarios ……………………………………………………………………………

Funciones Periódicas y funciones ortogonales

Teorema de Parseval

Convergencia de la serie de Fourier

…………………………………………………………………………………………

…61 PRUEBA DE DESARROLLO N°4………………………………………………………………………

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

Unidad I ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RESULTADO DE APRENDIZAJE

Al finalizar la unidad el estudiante será capaz de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias usando diferentes métodos de resolución y análisis de resultados

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

SEMANA N° 01 INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SESIÓN N° 01 TEMA: PRESENTACIÓN DE ASIGNATURA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA SESIÓN N° 02 TEMA: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

CLASIFICACIÓN,

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL I

En los problemas siguientes,

defina el orden de la ecuación diferencial presentada y determine si la ecuación es lineal o no lineal

d 3 y  dy     y  0 dx 3  dx 

t 5 y ( 4)  t 3 y  6 y  0

x 2 dy  ( y  xy  xe x )dx  0

d2y dy  1   2  dx  dx 

sen( ) y   (cos  ) y   2

Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación,

Ecuación

 dx  d'2x  senx    0 2 dy  dy 

 2V  2V  2 2 V x 2 y

 4 z  4 z 4 z  2  2 2   4 0 x 4  x y  y

d 2 y dy   xy  0 dx 2 dx 2

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III III

Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación,

Ecuación

y  4 y  4 y  (12 x 2  6 x) e2 x

y  2 x( y)2  xy  0

Linealidad

En los problemas siguientes,

compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada

En algunos casos,

suponga un intervalo adecuado de validez de la solución

Cuando aparecen,

los símbolos C1 y C2 son constantes

y  6 y  13 y  0

dx 2 x  (2  x)(1  x)

y  c1  c2 x 1 2 dx dx

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es dada

y  x 2  C1e x  C2e2 x

y  A(cos x  xsenx)  B( senx  x cos x)

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

SESIÓN N° 03 TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

EDO DE VARIABLE SEPARABLE,

EDO REDUCTIBLE A VARIABLE SEPARABLE

En los problemas siguientes,

resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables

dx  y  1    dy  x 

dP  P  P2 dt

dN  N  N t et  2 dt

sen3xdx  2 y cos3 3xdy  0

dy xy  3x  y  3  dx xy  2 x  4 y  8

dy  e  y  e 2 x  y dx

En los problemas 2

encuentre una solución explícita del problema con valores iniciales dado

(e y  1)senxdx  (1  cos x)dy,

(e y  1)senxdx  (1  cos x)dy,

Determine la solución de la ecuación diferencial reduciendo a ecuación diferencial de variables separables

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 3

(ln x  y3 )  3xy 2 dy  0

Bibliografía básica:

Larson,

Cálculo de una variable (9ª ed

México

Código Biblioteca UC

G y Wright,

Matemáticas avanzadas para ingeniería (4ª ed

Bibliografía complementaria:  

Cengel,

Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias (1ª ed

México: Mc Graw Hill

Espinoza Ramos,

Análisis matemático IV

Perú: Editorial Servicios Gráficos J

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

SEMANA N° 02 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN SESIÓN N° 01 TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS I

En los ejercicios 1

 y  y x arctan   y  x  y arctan   x x

dy y ( y  2 x)  dx x( x  2 y )

y y   x x x  ( x  y ) e dx  xe dy  0    

y y  dx  x ln dy  0 x x

 y  dy  y xsen    ysen    x  x  dx x

En los problemas 2

encuentre la solución particular que satisface la condición inicial

Ecuación Diferencial

Condición inicial

xdy  (2 xe y / x  y)dx  0

x( x  y)dy  y 2 dx  0

y    x sec  y  dx  xdy  0 x  

 y x cos 2    y dy x  dx x ydx  x(ln x  ln y  1)dy  0

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 3

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

En la siguiente ecuación diferencial,

determina el valor de “a” de tal manera que dicha ecuación sea homogénea y resuelva la ecuación con la condición de que y (1)  2

Demuestre que

( x  y ) a  b ( x  y ) a b  c

es la solución de la ecuación

(ax  by )dx  (bx  ay )dy  0 3

Resuelva la ecuación diferencial

modo que la solución pasa por el punto P (1,

SESIÓN N° 02 TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS I

En los ejercicios 1

( x4  3x2 )dy  xydx  0

( x  y 3 )  6 xy 2 y  0

( x  2 y  5)dx  (2 x  y  4)dy  0

dy 2 y  x  5  dx 2 x  y  4

y cos xdx  (2 y  senx)dy  0

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

SESIÓN N° 03 TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS I

En los ejercicios 1

Si lo es,

1  ( y ln y  e xy )dx    x ln y  dy  0 y 

(e2 y  y cos xy)dx  (2 xe2 y  x cos xy  2 y)dy  0

1 1  y  1  dt   ye y  2   2 2  dy  0 2  t y  t  y2  t t 

  x 1 1 y 1 x      dx     2  dy  0  x2  y 2 x y   x2  y 2 y y     

dy  2 xe x  y  6 x 2 dx

( ye xy cos 2 x  2e xy sen2 x  2 x)dx  ( xe xy cos 2 x  3)dy  0

En los problemas 2

Resuelva el problema de valor inicial dado

Ecuación Diferencial

Condición inicial

( x  y)2 dx  (2 xy  x 2  1)dy

dy xy 2  cos x senx  dx y(1  x 2 )

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 2

 3y2  t 2  dy t  y  4  0  5  y  dt 2 y

( y 2 cos x  3x2 y  2 x)dx  (2 ysenx  x3  ln y)  0

Resuelva las siguientes situaciones planteadas

En la siguiente ecuación diferencial,

determina el valor de “k” de tal manera que dicha ecuación diferencial sea exacta

En la siguiente ecuación diferencial,

determina los valores de “a” y “b” de tal manera que dicha ecuación diferencial sea exacta

Obtenga una función M(x,y) de modo que la ecuación diferencial sea exacta

y )dx   xe xy  2 xy   dy  0 x  3

Obtenga una función N(x,y) de modo tal que la ecuación diferencial

y )dy   2  2 x  dx  0  x y 

sea exacta y luego resuélvala

Bibliografía básica:

Larson,

Cálculo de una variable (9ª ed

México

Código Biblioteca UC

G y Wright,

Matemáticas avanzadas para ingeniería (4ª ed

Bibliografía complementaria:  

Cengel,

Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias (1ª ed

México: Mc Graw Hill

Espinoza Ramos,

Análisis matemático IV

Perú: Editorial Servicios Gráficos J

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

SEMANA N° 03 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN SESIÓN N° 01 TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTOR INTEGRANTE I

En los ejercicios 4

encontrando un factor integrante apropiado

y ( x  y  1)dx  ( x  2 y )dy  0

 2 cos xdx  1   senxdy  0  y

 2   1  y  2  dx    2 y ( x  1)  dy  0 y  x( x  y )    ( x  y) 

SESIÓN N° 02 TEMA: ECUACION DIFERENCIAL LINEAL Y LA ECUACION DE BERNOULLI I

En los ejercicios 1

Proporcione el intervalo más amplio sobre el cual está definida la solución general

(1  x)

ydx  4( x  y 6 )dy  0

xy  (1  x) y  e  x sen2 x

dy  y  x 3 (3ln x  1) dx

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

dP  2tP  P  4t  2 dt

dy  ( x  1) ydx  dx x2  4x  2

cos ydx  ( x seny  tan y )dy

dy ( x cos y  a sen 2 y )  1 dx

En los problemas 2

Resuelva el problema de valor inicial dado

Proporcione el intervalo más amplio sobre el cual está definida la solución general Ecuación Diferencial

Condición inicial

dT  k (T  Tm) dt

T (0)  To

To son constantes

dy y   x 1 dx 1  x 2

y  y cos x  senx cos x

En los problemas 3

cada ED es una ecuación de Bernoulli

Resuelva cada ecuación diferencial mediante una sustitución apropiada

y   xy  xe  x y 3

 x3 y  ydx   x   dy  0 2  

dy  2 x 3 y  y 2 (1  2 x 2 ) dx

dy 1 y 3 dx y x 1 dy  y cos x  y 3 ( x cos x  senx) dx

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III SESIÓN N° 03 PRACTICA CALIFICADA N°01 Bibliografía básica:  

Larson,

Cálculo de una variable (9ª ed

México

Código Biblioteca UC

G y Wright,

Matemáticas avanzadas para ingeniería (4ª ed

Bibliografía complementaria:  

Cengel,

Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias (1ª ed

México: Mc Graw Hill

Espinoza Ramos,

Análisis matemático IV

Perú: Editorial Servicios Gráficos J

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

SEMANA N° 04 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SESIÓN N° 01 TEMA: LEY DE NEWTON DE ENFRIAMIENTO / CALENTAMIENTO I

En los problemas 1

aplicando la Ley Newton sobre enfriamiento y calentamiento

y se lleva a un lugar donde la temperatura del aire es de 10° F

Después de medio minuto,

¿Cuál es la temperatura que marcará en t = 1 minuto

? ¿Cuánto tiempo le llevará al termómetro alcanzar los 15° F

Después de un minuto el termómetro marca 55° F,

y luego de 5 minutos marca 30° F

¿Cuál es la temperatura inicial del interior de la habitación

cuya temperatura inicial era de 20° C,

se deja caer en un gran recipiente que contiene agua hirviendo

¿Cuánto tiempo le llevará a la barra alcanzar los 90° C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en un segundo

? ¿Cuánto le llevará alcanzar los 98° C

Estos líquidos se mantienen a 0° C y 100° C,

Una pequeña barra de metal con temperatura inicial de 100° C se introduce en el recipiente A

Después de un minuto,

la temperatura de la barra es de 90° C

luego de 2 minutos la barra se saca y al instante se transfiere al otro recipiente

Pasado un minuto en el recipiente B,

la temperatura de la barra se eleva en 10°

¿Cuánto tiempo,

desde el inicio de todo el proceso,

le llevará a la barra alcanzar los 99

A través de una ventana de vidrio localizada en la puerta del horno,

un observador registra que el termómetro marca 110° F después de 12 minutos y 145° F luego de un minuto

¿Cuál es la temperatura del horno

una probeta sellada que contiene una sustancia química se sumerge en un baño líquido

En la probeta,

la temperatura inicial de la sustancia es de 80° F

El baño líquido tiene una temperatura controlada (medida en °F) dada por Tm(t) = 100 – 40e-0

Antes de resolver el PVI,

describa con palabras qué espera T(t) en el corto y largo plazo

Resuelva el PVI

Use una herramienta graficadora para trazar la gráfica de T(t) en intervalos de tiempo de diferente duración

¿Las gráficas coinciden con sus predicciones de la parte a)

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III SESIÓN N° 02 TEMA: CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION I

En los problemas 1

aplicando los modelos de crecimiento y decaimiento

La población de una comunidad aumenta a una tasa que es proporcional al número de personas presente en el tiempo t

Si una población inicial P0 se ha duplicado en 5 años,

¿cuánto tardará en triplicarse

¿y en cuadruplicarse

Se sabe que la población de la comunidad creciente del problema 1

¿Cuál era la población inicial P0

? ¿Cuál será la población en 10 años

? ¿Con cuánta rapidez está creciendo la población en t = 10

La población de cierta ciudad crece a una tasa que es proporcional a la población presente en el tiempo t

La población inicial de 500 individuos aumenta 15% en 10 años

¿Cuál será la población en 30 años

? ¿Con cuánta rapidez está creciendo la población en t = 30

En cierto cultivo,

la población de bacterias crece a una tasa que es proporcional a la cantidad de bacterias presentes en el tiempo t

Después de 3 horas,

se observa que hay 400 bacterias

¿Cuál fue el número inicial de bacterias

Por crecimiento natural,

una ciudad de 40 000 habitantes se duplicaría en 50 años

Debido a mudanzas la población aumenta adicionalmente en 400 personas por año

Calcula la población a los 10 años

El isótopo radiactivo del plomo,

Pb-209,

se deteriora a una tasa que es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene vida media de 3

3 horas

Si un gramo de este isótopo está presente en un inicio,

¿cuánto tiempo le tomará descomponerse al 90% del plomo

En un principio,

estaban presentes 100 miligramos de cierta sustancia radiactiva

Después de 6 horas,

la masa había disminuido en 3%

Si la tasa de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t,

encuentre la cantidad restante después de 24 horas

Determine la vida media de la sustancia radiactiva descrita en el problema

Considere el problema de valor inicial dA/dt = kA,

A(0) = A0 ,

como el modelo del decaimiento de una sustancia radiactiva

Muestre que,

la vida media T de la sustancia es T = – (ln 2)/k Muestre que la solución del problema de valor inicial dado en la parte a) se puede escribir como A(t) = A02-t/T Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en la parte a),

¿cuánto le tomará a la cantidad inicial A0 de la sustancia en decaer a 1/8 A0

Cuando un haz vertical de luz atraviesa un medio transparente,

la tasa a la cual su intensidad I disminuye es proporcional a I(t),

donde t representa el espesor del medio (en pies)

En agua marina clara,

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III debajo de la superficie es el 25% de la intensidad inicial I0 del haz incidente

¿Cuál será la intensidad del haz a 15 pies por debajo de la superficie

la cantidad de dinero aumenta a una tasa que es proporcional a la cantidad S presente en el tiempo t,

dS/dt = rS,

donde r es la tasa anual de interés

a) Encuentre la cantidad de dinero acumulado al final de 5 años cuando se depositen $5 000 en una cuenta de ahorros que produzca 5 ¾ % de interés anual compuesto de manera continua

b) ¿En cuántos años se habrá duplicado la suma inicial depositada

? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida en la parte a) con la cantidad S  5000 1  1 (0

interés se compone de manera trimestral

encontradas en el sitio para datar la antigüedad de pinturas prehistóricas y dibujos plasmados en las paredes y techos de una cueva localizada en Lascaux,

Francia

Vea la figura,

determina la edad aproximada de una pieza de madera quemada si se encontró que el 85

SESIÓN N° 03 TEMA: DRENADO DE TANQUES – LEY DE TORRICELLI

Un tanque de base rectangular de 4m de ancho,

Si en el fondo tiene un orificio circular de 0

¿en cuánto tiempo se vacía

Se tiene un depósito semiesférico lleno de agua

Si se vacía por un orificio ubicado en el fondo de área A en un tiempo t  14 ,

determine el rádio del v A 2g depósito

Un tanque cónico de 4m de radio está lleno de agua hasta las 3/4 partes de su altura que es de 10m

Si en ese instante se abre un orificio en el fondo de 1cm de radio,

determine el tiempo de vaciado del tanque

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III Bibliografía básica:  

Larson,

Cálculo de una variable (9ª ed

México

Código Biblioteca UC

G y Wright,

Matemáticas avanzadas para ingeniería (4ª ed

Bibliografía complementaria:  

Cengel,

Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias (1ª ed

México: Mc Graw Hill

Espinoza Ramos,

Análisis matemático IV

Perú: Editorial Servicios Gráficos J

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III

SEMANA N° 05 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SESIÓN N° 01 TEMA: LEY DE LA CONTINUIDAD

En los problemas 1

aplicando las ecuaciones diferenciales de modelado de mezclas

La salmuera,

que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una velocidad de 4 L/min

la solución se bombea hacia fuera a la misma velocidad

a) Encuentre el número A(t) de gramos de sal presentes en el tanque en el tiempo t

b) Resuelva el problema asumiendo que se bombea agua pura al tanque

Hacia el tanque se bombea salmuera,

a velocidad de 5 galones por minuto

Perfectamente mezclada,

la solución se bombea hacia fuera a la misma velocidad

Halla la cantidad A(t) de libras de sal presentes en el tanque en el tiempo t

¿cuál es la concentración c(t) de sal en el tanque en el tiempo t

? ¿Cuál es la concentración de sal en el tanque después de un largo tiempo,

? ¿En qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite

¿Cuándo se vacía el tanque

Al tanque se bombea salmuera,

conteniendo ½ libra de sal por galón,

La solución,

se saca a la menor velocidad de 4gal/min

Encuentre la cantidad de libras de sal presentes en el tanque después de 30 minutos

Se inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de 1 lb/gal,

La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razón de 2 gal/min

a) Encuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier tiempo b) Determine la concentración de sal en el instante justo en que la solución alcanza el volumen total del tanque 1

Una salmuera que contiene 2 lb/gal se bombea al tanque a razón de 5 gl/min

La salmuera,

se bombea hacia fuera con la misma rapidez

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III a) b) c) d)

Halle el número de libras de sal y la concentración de sal en el tanque en un instante t cualquiera Determine la cantidad de sal y la concentración al cabo de hora y media de iniciado el proceso de mezclado ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de sal en el tanque sea de 632,12 lb

? Efectuar el ejercicio suponiendo que la solución se extrae a razón de 10 gal/min ¿Cuánto tiempo demorará el tanque en vaciarse

El primer tanque con volumen inicial V1 = 100 gal y el segundo tanque con volumen inicial V = 200 gal

Cada tanque contiene inicialmente 50 lb de sal

Entra agua pura al tanque 1 a razón de 5 gal/min y la mezcla bien agitada y homogeneizada fluye al tanque 2 a razón de 5 gal/min

De igual manera una vez que la mezcla es agitada y homogeneizada en el tanque 2,

fluye fuera de este a razón de 5 gal/min a) Encuentre la cantidad de sal x(t) en el tanque 1 en un instante t cualquiera b) Encuentre la cantidad de sal y(t) en el tanque 2 en un instante t cualquiera c) Encuentre la cantidad máxima de sal que llega a tener el tanque 2

SESIÓN N° 02 TEMA: CIRCUITOS ELECTRICOS SIMPLES Y PROBLEMAS DIVERSOS I

En los problemas 1

aplicando las ecuaciones diferenciales de CIRCUITOS EN SERIE

Encuentre la corriente i(t) si i(0) = 0

Determine la corriente cuando t→∞ 1

Encuentre la carga q(t) sobre el capacitor si q(0) = 0

Determine la corriente i(t)

Encuentre la carga q(t) sobre el capacitor si i(0) = 0

Determine la carga y la corriente en t = 0

Determine la carga conforme t → ∞ 1

se aplica a un circuito LR en serie que tiene inductancia de 20 henrys y resistencia de 2 ohms

Encuentre la corriente i(t) si i(0) = 0

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 1

Inicialmente no fluye corriente alguna

¿en qué tiempo llegará la corriente a 0

5 amperios

se 5t conecta en serie con una f

¿Cuál es la carga del condensador después de 1 minuto,

si se conecta en serie una resistencia de 2000 ohms y una capacitancia de 3 x 10 – 6 faradios con un alternador de 120 cos(2t) voltios

si la corriente es 1 amperio al final de 0

¿cuál era la carga inicial del condensador

? ¿cuánta resistencia debe sacarse del circuito para obtener la mitad de la corriente en el mismo tiempo

DIVERSOS MODELOS MATEMÁTICOS

Al cabo de un minuto su lado es de 2,5cm

Suponiendo que se deshace a un ritmo proporcional al área de su superficie (constante = K),

¿cuánto tardará en deshacerse el cubo de hielo

Si la razón con la que se propaga el virus es proporcional al producto de la cantidad de infectados por la cantidad de no infectados,

determina la cantidad de alumnos infectados a los 6 días después,

si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50

Empezando en t=0,

se sopla aire fresco que no contiene monóxido de carbono,

hacia el interior del cuarto a razón de 100m3/min

Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una abertura a la misma velocidad,

¿cuándo tendrá el aire del interior del cuarto 0,01% de monóxido de carbono

La velocidad a la que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto (no han oído habla del producto)

Al final de un año,

la mitad de la población ha odio hablar del producto

¿Cuántas personas han oído hablar de él al final de 2 años

Si tenía un millón de soles hace un año y ahora tiene dos millones,

¿cuánto tendrá dentro de seis meses

? y ¿cuánto dentro de dos años

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III SESIÓN N° 03 PRUEBA DE DESARROLLO N°01

Bibliografía básica:  

Larson,

Cálculo de una variable (9ª ed

México

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Bibliografía complementaria:  

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SEMANA N° 06 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR SESIÓN N° 01 TEMA: REDUCCION DE ORDEN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES I

En los problemas 1

la función indicada como y1(x) es una solución de la ecuación dada

Use el método de reducción de orden,

para encontrar una segunda solución y2(x)

y  2 y  y  0 ,

x 2 y  3xy  5 y  0 ,

En los problemas 2

la función indicada y1(x) es una solución de la ecuación homogénea asociada

Use el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución y2(x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea dada

y1  1

y  3 y  2 y  5e3 x ,

y1  e x

En los problemas 3

encuentre la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dado

y  y  6 y  0

y  8 y  16 y  0

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III IV

En los problemas 4

encuentre la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada

y  4 y  5 y  0

y  5 y  3 y  9 y  0

d 3u d'2u   2u  0 dt 3 dt 2

d 3x d'2x   4x  0 dt 3 dt 2

y  6 y  12 y  8 y  0

y (4)  y  y  0

d 5u d'4u d'3u d'2u du  5  2  10   5u  0 dr 5 dr 4 dr 3 dr 2 dr

Resuelva el problema de valor inicial dado

y    2 2 d 3 3 4

Resuelva el problema de valor inicial dado

y  12 y  36 y  0,

SESIÓN N° 02 TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES COMPLETAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

En los problemas encuentre una solución particular de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con el método de los operadores inversos

( D' 2)2 y  20  3xe2 x

( D2  4D  4)( y)  6 x 2e2 x

( D2  3D  2) y  2  t

En los problemas encuentre la solución general de la ecuación diferencial lineal con el método de los operadores inversos

y   y   6 y  senx ó ( D2  D' 6) y  senx ucontinental

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 2

y   5 y   4 y  6e  x  cos 2 x ó ( D2  5D  4) y  6e x  cos 2 x

 9 y  e x  sen3x ó ( D2  9) y  e x  sen3x

( D4  8D2  16)( y)  xe2 x

( D2  5D  6) y  e2 x sen2 x(1  2 tan x)

( D2  6D  9) y  2e2 x senx

( D3  D) y  senx SESIÓN N° 03 TEMA: METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

En los problemas 1

resuelva la ecuación diferencial dada mediante coeficientes indeterminados

y  10 y  25 y  30 x  3

y  8 y  20 y  100 x 2  26 xe x

y  5 y  2 x3  4 x 2  x  6

y  2 y  2 y  e2 x (cos x  3senx)

y  6 y  3  cos x

y  2 y  4 y  8 y  6e2 x

y  y  4 y  4 y  5  e x  e2 x

y (4)  2 y  y  ( x  1)2

Resuelva el problema de valor inicial dado

  1   y  4 y  2,

y    2 8 2 8 1

Resuelva el problema de valor inicial dado

y  8 y  2 x  5  8e2 x ,

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III Bibliografía básica:  

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SEMANA N° 07 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES COMPLETAS CON COEFICIENTES CONSTANTES SESIÓN N° 01 TEMA: MÉTODO DE VARIACION DE PARAMETROS I

En los problemas 1

resuelva cada ecuación diferencial por variación de parámetros

y  3 y  2 y 

y  2 y  y  et arctan t

y  2 y  y  et ln t

1 1  ex

Resuelva los siguientes problemas utilizando el método más adecuado

Resuelva la ED por variación de parámetros sujeto a las condiciones iniciales

y  4 y  4 y  (12 x 2  6 x)e2 x 2

Resuelva la ecuación diferencial de tercer orden por variación de parámetros

y  y  tan x 2

Resuelva la ecuación diferencial de tercer orden por variación de parámetros

y  4 y  sec 2 x

y  4 y  5 y  5 x d'3 y dy   x 1 dx3 dx

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 2

y  y  y  y  x 2  2 x  2 d4y d2y dy  3  2  6 x 2  18 x 4 2 dx dx dx d3y dy  4  x,

y(0)  1 3 dx dx y  7 y  12 y  e4 x d'2x dx  4  5 x  cos t  sent 2 dt dt 4 y  5 y  y  e x (sen2 x  cos 2 x)

SESIÓN N° 02 PRACTICA CALIFICADA N°02

SESIÓN N° 03 TEMA: ED LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES – ECUACION DE EULER CAUCHY Y ECUACION DE LEGENDRE I

En los problemas 1

resuelva la ecuación diferencial de Euler Cauchy dada

x 2 y  8xy  6 y  0

En los problemas 2

resuelva cada ecuación diferencial por variación de parámetros

x 2 y  xy  y 

x 2 y  2 xy  2 y  x 4e x

1 x 1

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 2

(( x  1)2 D2  ( x  1) D' 1) y  Ln( x  1)2  x  1

Bibliografía básica:  

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SEMANA N° 08 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR SESIÓN N° 01 TEMA: SISTEMA RESORTES – MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Y AMORTIGUADO 1

Si situamos una masa de 5 kg en un resorte,

éste se alarga 10 cm

Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posición de equilibrio

¿Cuál es la ecuación del movimiento suponiendo un movimiento armónico simple

? (tómese el valor aproximado de g=10 m/s2)

Supongamos que una masa de 1 kg alarga 5 m un resorte

Determinar la ecuación del movimiento libre amortiguado si la masa se libera dos metros por debajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s suponiendo que la fuerza amortiguadora es 3 veces la velocidad instantánea

Determinar la ecuación del movimiento de un sistema masa – resorte para el caso m=1 Kg,

c=2 N s/m y k=10 N/m suponiendo que la masa se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 3 m/s

Una masa de 2 kg se sujeta a un resorte cuya constante es k = 2 N/m

Supongamos que sobre el sistema está actuando una fuerza amortiguadora que es igual a 4 veces la velocidad instantánea

Determinar la ecuación del movimiento si la masa se libera 1 m por debajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 1 m/s

De un resorte,

con constante de rigidez k= 13/2 libras por pie,

se suspende una pesa provocando un estiramiento de 32/13 pies

En el instante t=0,

se sumerge la pesa en un líquido que impone una resistencia de 2 libra por pies por segundo y se aplica una fuerza 1 externa de

Determine la posición x(t) del cuerpo en función del 4

Una masa de 0,2 kilos que está adherida a un resorte con constante de rigidez k=2 newton/m se desplaza en un medio con coeficiente de amortiguación c=1,2 kg/s

Suponga además que está sometida a una fuerza externa dada

Si la masa se suelta a partir del reposo desde una posición ubicada a 50 cm por debajo de la posisción de equilibrio,

encuentre la posición de la masa en cualquier instante t

A un sistema masa – resorte amortiguado cuyos parámetros son m = 1 kg,

c= 4 N s/m y k= 3 N/m se le aplica una fuerza externa dada por

Determinar la ecuación que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0)= x´(0) =0

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SESIÓN N° 02 PRUEBA DE DESARROLLO N°02 SESIÓN N° 03 TEMA: CIRCUITOS ELECTRICOS RLC 1

Se conecta en serie una fuente de voltaje V= 1,5 V,

un capacitor de 10-3 F y un inductor L=0,1 H

Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo,

si inicialmente el capacitor está totalmente descargado y no fluye corriente sobre el circuito

Se conecta en serie una fuente de voltaje V= 110 V,

Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo,

si inicialmente el capacitor está totalmente descargado y no fluye corriente sobre el circuito

Determinar la carga en todo tiempo sobre un circuito RLC en serie que satisface a la condición

Consideremos que la fuente de voltaje es constante e igual a V,

carga inicial en el capacitor es cero y no circula corriente en el circuito

Ejercicios:

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Unidad II SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES RESULTADO DE APRENDIZAJE

Al finalizar la unidad el estudiante será capaz de resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales,

usando diferentes métodos de solución

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SEMANA N° 09 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES SESIÓN N° 01 Evaluación parcial SESIÓN N° 02 Resolución de la evaluación parcial SESIÓN N° 03 TEMA: TEORIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Un modelo de la serie para el decaimiento radiactivo para tres elementos es el sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden:

 2 y dt dt dt Encuentre una solución para sujeta a las condiciones iniciales x(0) = x0 ,

Construya un modelo matemático para una serie radiactiva de cuatro elementos W,

donde Z es un elemento estable

Bibliografía básica:  

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SEMANA N° 10 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES SESIÓN N° 01 TEMA: SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES POR ELIMINACIÓN

En los problemas 1

d 2x t  dt 2  4 y  e  2  d'y  4 x  et  dt 2

( D' 1) x  Dy  Dz  0  x  2 y  Dz  et 

( D'2  4) x  y  sen 2 z   ( D'2  1) y  2 x  cos 2 z 

resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales

 d'2 x dy  5 x  2  dt dt 1

  dx  dy   x  4 y  dt dt 1

(2 D'2  D' 1) x  (2 D' 1) y  1  Dy  1 ( D' 1) x 

 Dx  ( D' 1) y  1  1

( D' 2) x  ( D' 1) z  1 ( D' 1) y  ( D' 2) z  0 

( D' 1) x  ( D' 2) y  1  et  t ( D' 2) y  ( D' 1) z  2  e ( D' 1) x  ( D' 1) z  3  et 

SESIÓN N° 02 TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGENEOS Y NO HOMOGENEOS I

En los problemas 1

 dx  dt  4 x  7 y   dy  x  2 y  dt

( D'2  5) x  2 y  0  2 2 x  ( D' 2) y  0

 dx  dt   y  t 1

  dy  x  t  dt

( D' 1) x  ( D' 1) y  2  3x  ( D' 2) y  1 

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III SESIÓN N° 03 TEMA: APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Resuelva los problemas planteados

Use la información dada en la figura para construir un modelo matemático para la cantidad de libras de sal x1(t),

x2(t) y,

Dos tanques muy grandes,

se llenan parcialmente con 100 galones de salmuera cada uno

En un inicio,

se disuelven 100 libras de sal en la solución del tanque A y otras 50 libras de sal en la solución del tanque B

El sistema es cerrado y el líquido,

sólo se bombea entre los tanques,

a) Use la información dada en la figura para construir un modelo matemático para la cantidad de libras de sal x1(t) y x2(t) presente en el tiempo t en los tanques A y B,

b) Encuentre una relación entre las variables x1(t) y x2(t) que se mantenga en el tiempo t

Explique por qué esta relación es lógica,

y úsela para encontrar la cantidad de sal presente en el tanque B en t = 30 minutos

Gestión Curricular Asignatura: Cálculo III 3

Tres tanques grandes contienen salmuera,

Use la información de esa figura para construir un modelo matemático de la cantidad de libras de sal x1(t),

Sin resolver el sistema,

pronostique los valores limitantes de x1(t),

Bibliografía básica:  

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Unidad III TRANSFORMADA DE LAPLACE

RESULTADO DE APRENDIZ