PDF -CÁLCULO UNA VARIABLE - Cursos UNAL - Calculo Con Trascendentes Tempranas - 7ma Edición - C. Henry Edwards, David E. Penney
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Calculo Con Trascendentes Tempranas - 7ma Edición - C. Henry Edwards, David E. Penney

CÁLCULO UNA VARIABLE - Cursos UNAL

chehadifeldgod firebaseapp B01FWLYYIK pdf Hiszpański Miękka 2016 752 str Calculo Integral Con Funciones Trascendentes Tempranas Ph D Jorge Saenz 9789806588073 Editorial Hipotenusa 5 Nov 2016 En esta nueva edición de Calculo Diferencial con Funciones Trascendentes

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Con Trascendentes Tempranas

Henry Edwards,

David E

Description

Edwards

3/18/08

1:39 PM

EDWARDS PENNEY

Entre las ayudas adicionales de aprendizaje se incluyen: • Preguntas de análisis conceptual,

preguntas y análisis que se utilizan en la discusión del salón de clase

Más de 340 gráficas nuevas generadas por computadora,

cuyo estudio tiene un importante componente visual

• Investigaciones de estudiantes

La página Web www

net/edwards ofrece apoyos importantes al profesor

ISBN 978-970-26-1197-4

Visítenos en: www

CÁLCULO CON TRASCENDENTES TEMPRANAS

En esta obra se incluyen recursos de aprendizaje para el estudiante con las siguientes secciones: • Guía de estudio,

ayuda al usuario a verificar la precisión en su lectura y retención

lo guía de manera sistemática para resolver los problemas

las fórmulas y los resultados de cada apartado

los localiza y describe brevemente

identifica los problemas muestra de cada apartado recomendados para su repaso

(Se presenta una lista de los métodos y las técnicas que se han estudiado y seleccionado

CÁLCULO CON TRASCENDENTES TEMPRANAS E D'WA R D'S

En la actualidad,

los profesores y los estudiantes de cálculo enfrentan retos tanto tradicionales como nuevos ante los cambios en los conocimientos y la aplicación de las matemáticas

El libro que el lector tiene en sus manos se diseñó para incluir trascendentes tempranas,

lo que representa correcciones en casi todas las secciones e importantes mejoras didácticas

Las nuevas características de la obra se dirigen al logro de experiencias de aprendizaje del estudiante,

para que sean más activas y más concretas

SÉPTIMA EDICIÓN

SÉPTIMA EDICIÓN

P E N N E Y

Edwards

3/28/08

12:48 PM

ÁLGEBRA Fórmula cuadrática Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c'= 0 se dan por

(n1 ) x y + ( n2 ) x y n n y +…+( xy +y ,

! donde el coeficiente binomial ( ) es el entero

a ra s'= a r + s'ar = ar − s'as

Factorización Si n es un entero positivo,

entonces x n − y n = (x − y)(x n − 1 + x n − 2 y + x n − 3y 2 + … + x n − k − 1 y k + … + xy n − 2 + y n − 1)

Exponentes (ab)r = a r b r

Radicales n

FORMAS HIPERBÓLICAS

Fórmula binomial (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3 y + 6 x 2 y 2 + 4xy3 + y 4

FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS

Si n es un entero positivo impar,

entonces x n + y n = (x + y)(x n − 1 − x n − 2 y + x n − 3y 2 − … ± ± x n − k − 1 y k … − xy n − 2 + y n − 1)

GEOMETRÍA

Área del triángulo:

Fórmulas de distancia Distancia sobre la recta numérica real: d'= |a − b|

A = 12 bh

Área del rectángulo: A = bh h b

Distancia en el plano coordenado: d

d = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Área de la circunferencia: A = πr 2 Circunferencia: r C = 2πr

Área del trapezoide: b2 b + b2 A= 1 h 2 h

Ecuación de la intersección de la pendiente: y = mx + b

Pendiente: m (0,

b) Volumen del cilindro: V = πr 2h

Volumen de la esfera: x

Ecuación de punto pendiente: y − y1 = m (x − x1)

Pendiente: m (x1,

4 πr 3 3

Área de la superficie: A = 4πr 2

Área de la superficie curvada: A = 2πrh

Circunferencia con centro (h,

k) y radio r : (x − h)2 + (y − k)2 = r 2

Volumen del cono: V = 13 πr 2h

TRIGONOMETRÍA + =1 tan2A + 1 = sec2A

Superficie del área curvada:

cos 2A = cos2A − sen2A = 1 − 2 sen2A = 2cos2A − 1 sen 2A = 2 sen A cosA

A = πr r 2 + h2

cos(A + B) = cos Acos B − sen Asen B cos(A − B) = cos Acos B + sen Asen B sen(A + B) = sen Acos B + cos Asen B sen(A − B) = sen Acos B − cos Asen B cos2A =

INTEGRALES DEFINIDAS

Véase los apéndices para más fórmulas de referencia

si n es un entero par y n si n es un entero impar y n

C00_Edwards_GUAR

C00_Edwards_GUAR

CÁLCULO con trascendentes tempranas

C ÁLCULO

con trascendentes tempranas Séptima edición

Henry Edwards The University of Georgia,

David E

Penney The University of Georgia,

Athens TRADUCCIÓN Marcia Aída González Osuna Javier Enríquez Brito Traductores profesionales REVISIÓN TÉCNICA Dr

Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnología Avanzadas Instituto Politécnico Nacional (México)

-»8)#/s

Edwards,

David E

Cálculo con trascendentes tempranas Séptima edición PEARSON EDUCACIÓN,

México,

Páginas: 1336

Authorized translation from the English Language edition,

entitled Calculus: early transcendentals,

Henry Edwards and David E

Penney,

published by Pearson Education Inc

publishing as PRENTICE HALL INC

Copyright ©2008

All rights reserved

ISBN 0-13-156989-9 Traducción autorizada de la obra titulada Calculus: early transcendentals,

7ª edición,

Henry Edwards y David E,

Penney,

publicada originalmente en inglés por Pearson Education Inc

publicada como PRENTICE HALL INC

Copyright ©2008

Todos los derechos reservados

Esta edición en español es la única autorizada

Edición en español Editor:

Rubén Fuerte Rivera e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Juan José García Guzmán Edición en inglés Acquisitions Editor: Adam Jaworski Vice President and Editorial Director,

Mathematics: Christine Hoag Project Manager: Dawn Murrin Production Editor: Barbara Mack Senior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manufacturing Buyer: Maura Zaldivar Associate Director of Operations: Alexis Heydt-Long Director of Marketing: Patrice Jones Marketing Assistant: Kathleen DeChavez Editorial Assistant/Print Supplements Editor: Christine Whitlock Art Director: Jonathan Boylan Interior and Cover Designer: Koala Bear Design Art Editor: Thomas Benfatti Creative Director: Juan R

López Director of Creative Services: Paul Belfanti Director,

Image Resource Center: Melinda Patelli Manager,

Rights and Permissions: Zina Arabia Manager,

Visual Research: Beth Brenzel Manager,

Cover Visual Research & Permissions: Karen Sanatar Image Permission Coordinator: Frances Toepfer Cover Photo: Spain,

Vizcaya,

Bilbao,

Guggenheim Museum exterior,

Banagan/Getty Images Art Studio: Laserwords Compositor: Dennis Kletzing SÉPTIMA EDICIÓN,

© 2008 por Pearson Educación de México,

Atlacomulco 500,

Industrial Atoto 53519,

Naucalpan de Juárez,

de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México,

Reservados todos los derechos

Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse,

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El préstamo,

alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes

ISBN 10: 970-26-1197-0 ISBN 13: 978-970-26-1197-4

Impreso en México

Printed in Mexico

Contenido ACERCA DE LOS AUTORES

CAPÍTULO 1

PREFACIO

FUNCIONES,

GRÁFICAS Y MODELOS

CAPÍTULO 2

Funciones y modelado matemático 2 Gráficas de ecuaciones y funciones 12 Polinomios y funciones algebraicas 24 Funciones trascendentales 34 Vista preliminar: ¿qué es cálculo

? 45 REPASO: Comprensión: conceptos y definiciones 50 Objetivos: métodos y técnicas 50 PROBLEMAS DIVERSOS 51

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO 2

CAPÍTULO 3

Rectas tangentes y el pronosticador de pendientes 54 Concepto de límite 64 Más consideraciones respecto a los límites 76 Concepto de continuidad 90 REPASO: Comprensión: conceptos y definiciones 102 Objetivos: métodos y técnicas 102 PROBLEMAS DIVERSOS 103

LA DERIVADA 3

Contenido

CAPÍTULO 4

APLICACIONES ADICIONALES DE LA DERIVADA 4

CAPÍTULO 5

CAPÍTULO 6

Introducción 226 Incrementos,

diferenciales y aproximación lineal 226 Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio 235 Prueba de la primera derivada y sus aplicaciones 246 Trazo de curvas sencillas 256 Derivadas de orden superior y concavidad 266 Bosquejo de curvas y asíntotas 280 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 293 Más formas indeterminadas 301 REPASO: Comprensión: conceptos y definiciones,

resultados 308 Objetivos: métodos y técnicas 309 PROBLEMAS DIVERSOS 309

LA INTEGRAL 5

resultados 409 Objetivos: métodos y técnicas 410 PROBLEMAS DIVERSOS 410

APLICACIONES DE LA INTEGRAL 6

Aproximaciones por sumas de Riemann 414 Volúmenes con el método de secciones transversales 425 Volúmenes por el método de capas cilíndricas 437 Longitud de arco y área de la superficie de revolución 446 Fuerza y trabajo 457 Centroides de regiones planas y curvas 468 El logaritmo natural como una integral 476 Funciones trigonométricas inversas 488 Funciones hiperbólicas 499 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y fórmulas 508 Objetivos: métodos y técnicas 509 PROBLEMAS DIVERSOS 510

Contenido

CAPÍTULO 7

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 7

CAPÍTULO 8

CAPÍTULO 9

Introducción 516 Tablas de integrales y sustituciones sencillas 516 Integración por partes 521 Integrales trigonométricas 528 Funciones racionales y fracciones parciales 535 Sustitución trigonométrica 543 Integrales que contienen polinomios cuadráticos 549 Integrales impropias 554 REPASO: Comprensión: conceptos y técnicas 570 Objetivos: métodos y técnicas 570 PROBLEMAS DIVERSOS 571

Ecuaciones y modelos sencillos 576 Campos de pendientes y el método de Euler 588 Ecuaciones separables y aplicaciones 599 Ecuaciones lineales y aplicaciones 607 Modelos de población 619 Ecuaciones lineales de segundo orden 631 Vibraciones mecánicas 641 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y métodos 653 Objetivos: métodos y técnicas 654 PROBLEMAS DIVERSOS 654

COORDENADAS POLARES Y CURVAS PARAMÉTRICAS 9

CAPÍTULO 10

ECUACIONES DIFERENCIALES 8

Geometría analítica y las secciones cónicas 660 Coordenadas polares 665 Cálculo de áreas en coordenadas polares 674 Curvas paramétricas 680 Cálculo de integrales con curvas paramétricas 690 Secciones cónicas y aplicaciones 698 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y fórmulas Objetivos: métodos y técnicas 718 PROBLEMAS DIVERSOS 718

SERIES INFINITAS 10

Introducción 722 Sucesiones infinitas 722 Series infinitas y convergencia 732 Series de Taylor y polinomios de Taylor

Contenido

CAPÍTULO 11

VECTORES,

CURVAS Y SUPERFICIES 11

CAPÍTULO 12

Introducción 900 Funciones de varias variables 900 Límites y continuidad 910 Derivadas parciales 919 Problemas de optimización con variables múltiples 931 Incrementos y aproximación lineal 942 Regla de la cadena para varias variables 951 Derivadas direccionales y vector gradiente 962 Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida 973 Puntos críticos de funciones de dos variables 984 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y resultados 993 Objetivos: métodos y técnicas 994 PROBLEMAS DIVERSOS 994

INTEGRALES MÚLTIPLES 13

Vectores en el plano 818 Vectores en tres dimensiones 824 El producto cruz de vectores 835 Líneas y planos en el espacio 843 Curvas y movimiento en el espacio 851 Curvatura y aceleración 865 Cilindros y superficies cuadráticas 879 Coordenadas cilíndricas y esféricas 887 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y resultados 895 Objetivos: métodos y técnicas 896 PROBLEMAS DIVERSOS 896

DIFERENCIACIÓN PARCIAL 12

CAPÍTULO 13

Prueba de la integral 757 Pruebas de comparación para series de términos positivos 765 Series alternas y convergencia absoluta 771 Series de potencias 780 Cálculos con series de potencias 794 Solución de ecuaciones diferenciales con series 803 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y resultados 812 Objetivos: métodos y técnicas 813 PROBLEMAS DIVERSOS 813

Integrales dobles 998 Integrales dobles sobre regiones más generales 1006 Área y volumen por integración doble 1013 Integrales dobles en coordenadas polares 1020

Contenido

CAPÍTULO 14

Aplicaciones de las integrales dobles 1028 Integrales triples 1039 Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas 1049 Área de una superficie 1057 Cambio de variables en las integrales múltiples 1064 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y resultados 1073 Objetivos: métodos y técnicas 1074 PROBLEMAS DIVERSOS 1075

CÁLCULO VECTORIAL 14

Campos vectoriales 1080 Integrales de línea 1086 El teorema fundamental y la independencia de la trayectoria 1097 Teorema de Green 1105 Integrales de superficie 1116 Teorema de la divergencia 1127 Teorema de Stokes 1136 REPASO: Comprensión: conceptos,

definiciones y resultados 1143 Objetivos: métodos y técnicas 1145 PROBLEMAS DIVERSOS 1145

APÉNDICES

A-1 A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N:

Números reales y desigualdades A-1 El plano coordenado y líneas rectas A-6 Revisión de trigonometría A-13 Demostraciones de las leyes de los límites A-19 La completez del sistema de los números reales A-23 Existencia de la integral A-27 Aproximaciones y sumas de Riemann A-33 La regla de L’Hôpital y el teorema del valor medio de Cauchy A-35 Demostración de la fórmula de Taylor A-38 Las secciones cónicas como secciones de un cono A-39 Demostración del teorema de la aproximación lineal A-40 Unidades de medida y factores de conversión A-41 Fórmulas del álgebra,

geometría y trigonometría A-41 El alfabeto griego A-43

GUÍA DE ESTUDIOS FALSO/VERDADERO: SUGERENCIAS Y RESPUESTAS

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES

REFERENCIAS PARA ESTUDIO POSTERIOR

Contenido

ÍNDICES

I-1 CRÉDITOS DE FOTOGRAFÍA: p

-Hulton Archive Photos

(abajo izquierda) Cortesía de International Business Machines Corporation

No se permite su uso no autorizado

(derecha) Navy Visual News Service/U

Navy News Photo p

Ward’s Natural Science Establishment/Science Source

Edwards p

Penney p

New York p

-Hulton Archive Photos p

Penney p

/Historical Pictures Collection

(abajo derecha) Stephen Gerard/Science Service/Photo Researchers,

(abajo derecha) Image by David E

Penney p

New York

(abajo derecha) Jeff Greenberg/PhotoEdit p

(abajo derecha) Chandra X-Ray Center/A

Acerca de los autores C

Henry Edwards es profesor emérito de matemáticas en la Universidad de Georgia

Obtuvo su doctorado por la Universidad de Tennessee en 1960 y recientemente se retiró,

después de 40 años de enseñanza en aulas (donde incluía cálculo o ecuaciones diferenciales prácticamente en cada periodo) en las universidades de Tenessee,

Wisconsin y Georgia,

con un breve interludio en el Institute for Advanced Study (Princeton) como académico de Alfred P

Sloan Research Fellow

Ha recibido numerosos premios académicos,

que incluyen la medalla de honor de la Universidad de Georgia en 1983 (por su excelencia sostenida en la enseñanza),

el premio Josiah Meigs en 1991 (el más alto reconocimiento de la institución para la enseñanza) y el premio estatal Georgia Regents en 1997 por excelencia en enseñanza e investigación

Su carrera escolar abarca desde la investigación y dirección de disertaciones en topología hasta la historia de las matemáticas,

computación y tecnología en la enseñanza y aplicaciones matemáticas

Además de ser autor y coautor de libros de texto de cálculo,

cálculo avanzado,

álgebra lineal y ecuaciones diferenciales,

es conocido entre los profesores de cálculo como el autor de The Historical Development of the Calculus (Springer-Verlag,

Durante la década de 1990 sirvió como investigador principal en tres proyectos auspiciados por la National Science Foundation: 1) un proyecto de matemáticas escolares que incluyó Maple para estudiantes iniciales de álgebra,

David E

Penney,

terminó su doctorado por la Universidad de Tulane en 1965 (bajo la dirección del profesor L

Bruce Treybig) mientras enseñaba en la Universidad de Nueva Orleans

Antes había trabajado en biofísica experimental en Tulane y en el Veteran’s Administration Hospital de Nueva Orleans bajo la dirección de Robert Dixon McAfee,

donde la meta principal del equipo de investigación del Dr

McAfee era el transporte activo de iones de sodio por membranas biológicas

La contribución más importante de Penney fue el desarrollo de un modelo matemático (usando ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas) para el fenómeno metabólico de regular ese transporte,

con aplicaciones potenciales futuras a la fisiología de riñones,

la administración de la hipertensión y el tratamiento de fallas cardiacas congestivas

También diseñó y construyó servomecanismos para el monitoreo preciso del transporte de iones,

un fenómeno que incluye la medición de potenciales en microvolts a impedancias de millones de megaohms

Penney comenzó a enseñar cálculo en Tulane en 1957 e impartió ese curso casi todos los periodos con entusiasmo y distinción hasta su retiro al final del milenio pasado

Durante su trabajo en la Universidad de Georgia recibió numerosos premios de enseñanza y dirigió varias disertaciones doctorales y siete proyectos de investigación de licenciatura

Es autor de artículos de investigación en teoría de números y topología y es autor y coautor de libros de texto de cálculo,

programación de computadoras,

álgebra lineal y matemáticas para las ciencias sociales

Prefacio Los profesores y estudiantes de cálculo contemporáneos se enfrentan tanto a retos tradicionales como nuevos debido a los cambios en los papeles y la aplicación de las matemáticas por los científicos e ingenieros del mundo entero

Por lo tanto,

los cambios hechos a esta edición de nuestro libro de cálculo,

junto con los incluidos en la sexta edición,

son los más extensos y profundos desde que apareció la primera edición en 1982

En la sexta edición de 2002,

desaparecieron dos capítulos completos de la tabla de contenido de la edición precedente y apareció un capítulo totalmente nuevo

Aunque la revisión actual conserva la misma tabla de contenido general de la sexta edición,

se hicieron mejoras constructivas y correcciones en casi todas las secciones de esta séptima edición

Las nuevas características (descritas con más detalle en seguida) están dirigidas al logro de experiencias de aprendizaje del estudiante más activas y concretas

Las guías de estudio que aparecen ahora al final de cada sección incluyen más de mil rubros de falso/verdadero cuyo propósito es dirigir el repaso y la lectura de las secciones individuales del libro

Cada guía de estudio va seguida de varias preguntas de análisis conceptual que precede el problema establecido por la sección

Los nuevos repasos del capítulo de esta edición ofrecen las referencias de las páginas para repasar los temas individuales en cada sección y los problemas sugeridos para que el estudiante trabaje al repasar los métodos más importantes de cada sección

RECURSOS DE APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIANTE Nueva sección de guía de estudio Se proporcionan diez preguntas de falso/ verdadero al final de cada sección para ayudar al estudiante a verificar la precisión de su lectura y retención,

y para guiarlo de manera sistemática hacia las partes adecuadas de la sección para las que necesita repasar los hechos y conceptos requeridos antes de intentar trabajar los problemas

Las respuestas y sugerencias para estos aspectos de falso/verdadero se encuentran al final del libro (antes de la sección de respuestas impares)

Los estudiantes pueden primero marcar cada concepto como falso o verdadero y luego consultar las respuestas proporcionadas

Si tiene alguna respuesta incorrecta,

entonces puede consultar las sugerencias para los conceptos adecuados

La sugerencia para cada pregunta dirige al estudiante a la parte apropiada de la sección que ha de leer de nuevo para descubrir cuál era la dificultad

Nuevos repasos del capítulo Cada repaso del capítulo consiste en dos partes —comprensión y objetivos— que preceden al conjunto de problemas diversos del capítulo

La parte de comprensión consiste en los conceptos,

fórmulas,

etcétera (con referencias de páginas) que deben revisarse sección por sección al preparar un examen

Su premisa es que el estudiante,

que de hecho necesita esta ayuda,

es probable que no haya descrito el capítulo para sí mismo

Como lo sabe cualquier profesor experimentado,

muchos estudiantes (si no la mayor parte) necesitan ayuda para identificar,

localizar y describir brevemente los conceptos individuales en el capítulo cuya comprensión incluye el conocimiento del capítulo como un todo

Prefacio

La parte de los objetivos identifica problemas muestra en cada sección que se recomiendan para el repaso

de nuevo muchos estudiantes no pueden clasificar y reconocer los tipos de problemas que se han cubierto y las habilidades requeridas para resolverlos

No han trabajado los problemas de manera consistente en cada sección que se estudió en clase y pueden necesitar ayuda para identificar un número manejable de problemas representativos que revisar

En consecuencia,

esta parte del material de repaso del capítulo proporciona una lista,

de los métodos y técnicas que se han visto y seleccionado —para cada uno de esos tipos— varios problemas ilustrativos para proporcionar una práctica adecuada en la preparación para un examen

Ayudas de aprendizaje adicionales Preguntas de análisis conceptual El conjunto de problemas que concluye cada sección está precedido por un pequeño conjunto de Conceptos: preguntas y análisis que consisten en varias preguntas conceptuales abiertas que se pueden usar para el estudio individual o para discusión en el salón de clase

Respuestas impares La sección de respuestas al final del libro se ha ampliado mucho para esta edición,

principalmente mediante la inserción de más de 340 gráficas nuevas

Estas ilustraciones generadas por computadora intentan ayudar al estudiante a entender esos problemas,

cuya comprensión tiene un componente visual importante

El resultado es una sección de respuestas más atractiva que invita a estudiar por sí mismo

Investigaciones de estudiantes Muchas de las investigaciones (o proyectos) del libro se rescribieron para esta edición

Aparecen después de los conjuntos de problemas al final de las secciones clave en todo el libro

La mayor parte de estos proyectos (pero no todos) usan algún aspecto de la tecnología de computadoras para ilustrar las ideas centrales de la sección anterior,

y muchas contienen problemas adicionales para resolverse con una calculadora con gráficas o un sistema algebraico de computadora

Material histórico La apertura de los capítulos con hechos históricos o biográficos ofrece a los estudiantes la idea de que el tema fue desarrollado por seres humanos reales

Sin duda,

nuestra exposición de cálculo con frecuencia refleja el desarrollo histórico del tema,

desde la antigüedad a los tiempos de Newton,

Leibniz y Euler,

hasta nuestra era de la nueva tecnología y el poder de las computadoras

ORGANIZACIÓN DEL LIBRO La edición actual del libro está diseñada para incluir • Trascendentes tempranas integradas por completo en el semestre I

• Ecuaciones diferenciales y aplicaciones en el semestre II

• Cálculo de variables múltiples en el semestre III

La cobertura completa del cálculo de las funciones trascendentes está integrada en los capítulos 1 a 6

Un capítulo de ecuaciones diferenciales (capítulo 8) ahora aparece justo después del capítulo 7 de técnicas de integración

Incluye tanto campos directores como métodos de Euler junto con los métodos simbólicos más elementales (que explotan técnicas del capítulo 7) y aplicaciones interesantes de ecuaciones de primero y segundo orden

El capítulo 10 (Series infinitas) termina con una nueva sección sobre solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias,

con lo que se completa el círculo de unificar el enfoque de cálculo del segundo semestre sobre ecuaciones diferenciales elementales

Con más detalle Capítulos de introducción En lugar de una revisión rutinaria de los temas que preceden al cálculo,

el capítulo 1 se concentra específicamente en funciones

Prefacio

y gráficas que se usan en el modelado matemático

Incluye una sección que cataloga de manera informal las funciones trascendentes elementales de cálculo,

como antecedente a su tratamiento más formal usando el propio cálculo

El capítulo 1 concluye con una sección que analiza la pregunta “¿Qué es cálculo

comienza con una sección sobre rectas tangentes para motivar la introducción de los límites en la sección 2

Los límites trigonométricos se tratan en todo el capítulo 2 con el fin de lograr una introducción más rica y más visual al concepto de límite

Capítulos de derivación La secuencia de temas en los capítulos 3 y 4 difiere un poco del orden tradicional

Intentamos construir la confianza del estudiante introduciendo los temas,

La regla de la cadena aparece pronto (en la sección 3

La sección 3

La derivación implícita y las tasas relacionadas se combinan en una sola sección (sección 3

El apego de los autores al método de Newton (sección 3

El teorema del valor medio y sus aplicaciones se encuentran en el capítulo 4

Además,

un tema dominante del capítulo 4 es el uso de cálculo para construir gráficas de funciones y para explicar e interpretar las gráficas que se construyen con una calculadora o computadora

Este tema se desarrolla en la sección 4

Pero también puede ser evidente en las secciones 4

que ahora aparece claramente en el contexto de cálculo diferencial y se aplica aquí para redondear el cálculo de las funciones exponencial y logarítmica

Capítulos de integración El capítulo 5 comienza con una sección de antiderivadas,

la cual sería lógico incluir en el capítulo anterior,

pero se beneficia con el uso de la notación de integrales

Cuando se introduce la integral definida en las secciones 5

hacemos hincapié en sumas de puntos extremos y puntos medios en lugar de en las sumas de Riemann más generales

Este énfasis concreto sigue en todo el capítulo hasta la última sección de integración numérica

El capítulo 6 comienza con una sección de aproximaciones de sumas de Riemann,

con ejemplos que se centran en el flujo de fluidos y las aplicaciones médicas

La sección 6

La sección 6

El capítulo 7 (Técnicas de integración) está organizado para ajustarse a esos profesores que sienten que los métodos de integración formal ahora tienen menos importancia,

en vista de las técnicas modernas de integración numérica y simbólica

La integración por partes (sección 7

El método de fracciones parciales aparece en la sección 7

y la sustitución trigonométrica y las integrales que involucran polinomios se encuentran en las secciones 7

Las integrales impropias se desarrollan en la sección 7

con subsecciones amplias de funciones especiales y probabilidad y muestreo aleatorio

Este reacomodo del capítulo 7 facilita que el profesor se detenga donde lo desee

Ecuaciones diferenciales Este capítulo comienza con las ecuaciones diferenciales más elementales y sus aplicaciones (sección 8

Las secciones subsecuentes del capítulo tratan ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y separables y (con mayor profundidad que la usual en un curso de cálculo) aplicaciones tales como crecimiento de población (que incluyen logística y poblaciones depredador-presa) y movimiento con resistencia

Las dos últimas secciones del capítulo 8 estudian ecuaciones lineales de segundo orden y sus aplicaciones a vibraciones mecánicas

Los profesores que deseen más material de ecuaciones diferenciales pueden arreglar con la editorial el agrupamiento y uso

Prefacio

de las secciones apropiadas de Edwards y Penney,

Differencial Equations: Computing and Modeling,

Curvas paramétricas y coordenadas polares En lugar de las tres secciones separadas de parábolas,

elipses e hipérbolas que aparecen en algunos textos,

el capítulo 9 concluye con la sección 9

que proporciona un tratamiento unificado de todas las secciones cónicas

Series infinitas Después de la usual introducción a la convergencia de sucesiones y series infinitas en las secciones 10

un tratamiento combinado de polinomios de Taylor y series de Taylor aparece en la sección 10

Esto hace posible para el profesor experimentar con un manejo más breve de series infinitas,

pero incluir cierta exposición a las series de Taylor que son tan importantes para las aplicaciones

Quizá la característica más novedosa del capítulo 10 es una sección final de métodos de series de potencias y su uso para introducir nuevas funciones trascendentes,

concluyendo las dos terceras partes del libro con un regreso a las ecuaciones diferenciales

Cálculo de variables múltiples El estudio del cálculo de más de una variable es bastante tradicional,

curvas y superficies en el capítulo 11

El capítulo 12 (Diferenciación parcial) va seguido del capítulo 13 (Integrales múltiples) y el 14 (Cálculo vectorial),

y en sí contiene un tratamiento sólido de problemas de máximo-mínimo con varias variables en las secciones 12

AGRADECIMIENTOS Nuestro agradecimiento por sus consejos y críticas constructivas en la preparación de esta edición para los siguientes competentes revisores: Kenzu Abdella,

Trent University Martina Bode,

Northwestern University David Caraballo,

Georgetown University Tom Cassidy,

Bucknell University Lucille Croom,

Hunter College Yuanan Diao,

University of North Carolina at Charlotte Victor Elias,

University of Western Ontario Haitao Fan,

Georgetown University James J

The State University of New York at Buffalo K

Gowrisankaran,

McGill University Quing Han,

University of Notre Dame Melvin D

California State University,

Long Beach Robert H

Fordham University Allan B

MacIssac,

University of Western Ontario Rudolph M

California State University,

Fresno George Pletsch,

Albuquerque Technical and Vocational Institute Nancy Rallis,

Boston College Robert C

Reilly,

University of California,

Irvine James A

Reneke,

Clemson University Alexander Retakh,

Yale University Carl Riehm,

McMaster University Ira Sharenow,

University of Wisconsin,

Madison Kay Strangman,

University of Wisconsin,

Madison Sophie Tryphonas,

University of Toronto at Scarborough Kamran Vakili,

Princeton University Cathleen M

Zucco-Teveloff,

Trinity College

Prefacio

Muchas de las mejoras visibles en esta edición se deben a colegas y usuarios de las seis ediciones anteriores en Estados Unidos,

Canadá y el extranjero

Agradecemos a todos aquéllos,

en especial a los estudiantes,

que nos han escrito y esperamos que continúen haciéndolo

Para esta edición,

damos las gracias en especial a Jill McClain-Wardynski,

Kurt Norlin y Harold Whipple quienes —bajo la supervisión de Teri Lovelace de Laurel Tech— no sólo verificaron la solución de todos los ejemplos resueltos y las respuestas impares en el libro,

sino hicieron innumerables comentarios y sugerencias que mejoraron mucho la exposición en todo el libro

La apariencia y calidad del libro terminado es un claro testimonio de la habilidad,

diligencia y talento del personal excepcional de Prentice Hall

En especial agradecemos a Adam Jaworski sus sugerencias como nuestro editor de matemáticas que de manera significativa influyeron en esta edición

También agradecemos a Dawn Murrin y Christine Whitlock por sus servicios altamente variados y detallados como ayuda a los editores y autores durante todo el trabajo de revisión

Barbara Mack,

nuestro editor de producción,

manejó con experiencia y habilidad todo el proceso de producción del libro

Nuestro director de arte,

Jonathan Boylan,

supervisó y coordinó el atractivo diseño del texto y su cubierta

El editor de arte Thomas Benfatti coordinó la producción artística de esta edición

Por último,

es un placer especial dar crédito a Dennis Kletzing y su extraordinaria pericia técnica por la atractiva composición y distribución de las páginas del libro terminado

Henry Edwards [email protected]

David E

Penney [email protected]

Funciones,

l erudito francés del siglo xvii se le recuerda más como filósofo que como matemático,

pero muchos de nosotros estamos familiarizados con el “plano cartesiano” en el que la localización de un punto P se especifica por sus coordenadas (x,

Cuando era niño,

con frecuencia se le permitía levantarse tarde debido a su René Descartes (1596-1650) mala salud

Afirmaba que podía pensar con mayor claridad sobre filosofía,

ciencias y matemáticas en la cama durante las mañanas frías

Después de graduarse de la universidad,

donde estudió leyes (aparentemente con poco entusiasmo),

Descartes viajó con varios ejércitos durante algunos años,

pero como soldado aristócrata,

y no como militar de profesión

En 1637,

cuando finalmente estableció su residencia fija en Holanda,

publicó su famoso tratado Discurso sobre el método

Uno de los tres apéndices de este trabajo establece un nuevo enfoque “analítico” de la geometría

Su idea principal (publicada casi al mismo tiempo por su compatriota Pierre de Fermat) fue la correspondencia entre una ecuación y su gráfica,

generalmente una curva en el plano

La ecuación se podía usar para estudiar la curva y viceversa

Suponga que se quiere resolver la ecuación f (x) = 0

Sus soluciones son los puntos de intersección de la gráfica de y = f (x) con el eje x,

de manera que una figura exacta de la curva muestra el número y la localización aproximada de las soluciones a la ecuación

Por ejemplo,

la gráfica de Y D'X  X  C 

tiene tres intersecciones con el eje x,

que muestran que la ecuación X  X  C  D'

tiene tres soluciones reales: una entre −1 y 0,

otra entre 0 y 1 y otra más entre 2 y 3

Una calculadora moderna con función de gráficas o un programa de computadora puede aproximar estas soluciones con mayor exactitud al ampliar las regiones en las que se localizan

Por ejemplo,

la región ampliada muestra que la solución correspondiente es x ≈ 0

Gráfica de y = x 3 − 3x 2 + 1

CAPÍTULO 1

Funciones,

Esta disciplina matemática proviene básicamente de las investigaciones en el siglo xvii de Isaac Newton (1624-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716),

pero algunas ideas datan de los tiempos de Arquímedes (287-212 a

) y se originaron en culturas tan diversas como las de Grecia,

Egipto,

Babilonia,

China y Japón

Muchos descubrimientos científicos que han dado forma a nuestra civilización durante los tres últimos siglos no hubieran sido posibles sin el uso del cálculo

El objetivo principal del cálculo es el análisis de problemas de cambio (por ejemplo,

de movimiento) y contenido (como el cálculo de áreas y volúmenes)

Estos problemas son fundamentales porque vivimos en un mundo que cambia continuamente,

lleno de cuerpos en movimiento y fenómenos fluctuantes

En consecuencia,

el cálculo sigue siendo un tema lleno de vida y,

este conjunto de entendimiento conceptual y técnicas de cómputo es todavía el lenguaje cuantitativo más importante de la ciencia y la tecnología

Funciones Casi todas las aplicaciones de cálculo involucran el uso de números reales o variables para describir cantidades que cambian

La clave del análisis matemático de una situación geométrica o científica suele ser el reconocimiento de la relación entre las variables que describen la situación

Esta relación puede ser una fórmula que expresa una variable como función de otra

Por ejemplo:

FIGURA 1

• El área A de un círculo de radio r está dada por A  πr 2 (figura 1

El volumen V y el área de la superficie S de una esfera de radio r están dados por 6 H  R 

3 H R 

• Después de t segundos (s) un cuerpo que se deja caer a partir del reposo ha recorrido una distancia de S H  GT 

pies (ft) y tiene una velocidad v  gt pies por segundo (ft/s),

donde g ≈ 32 ft/s2 es la aceleración debida a la gravedad

L) de 3 gramos (g) de dióxido de carbono a 27°C está dado en términos de su presión p en atmósferas (atm) por V  1

FIGURA 1

DEFINICIÓN Función Una función f de valores reales definida en un conjunto D'de números reales es una regla que asigna a cada número x en D'exactamente un número real,

El conjunto D'de todos los números para los que f (x) está definida se llama dominio (o dominio de definición) de la función f

El número f (x),

se llama valor de la función f en el número (o punto) x

El conjunto de todos los valores y  f (x) se llama recorrido (o rango) de f

el recorrido de f es el conjunto {y : y  f (x)

En esta sección se estudiará más el dominio de una función que su recorrido

EJEMPLO 1

La función cuadrada definida por F

X/ H X 

asigna a cada número real x su cuadrado x 2

Debido a que todo número real puede elevarse al cuadrado,

el dominio de f es el conjunto R de todos los números reales,

números no negativos son cuadrados

Más aún,

SECCIÓN 1

Funciones y modelado matemático

de manera que a es un cuadrado

el recorrido de la función cuadrada f es el con≥ 0} de todos los números reales no negativos

junto {y : y − Las funciones se pueden describir de varias maneras

Una descripción simbólica de la función f la proporciona una fórmula que especifica cómo calcular el número f (x) en términos de x

El símbolo f ( ) se puede ver como una operación que debe realizarse siempre que un número o una expresión se inserta dentro del paréntesis

EJEMPLO 2

La fórmula F

X/ H X  C X 

define una función f cuyo dominio es toda la recta real R

Algunos valores típicos de f son f (−2)  −1,

Otros valores de la función f son F

C/ H C C C 

T /  H T T : x

FIGURA 1

Cuando describimos la función f escribiendo una fórmula y  f (x),

llamamos a x la variable independiente y a y la variable dependiente porque el valor de y depende —en toda la función f— del valor de x que se elija

Conforme la variable independiente x cambia,

también lo hace la variable y

La forma en que y varía está determinada por la regla de la función f

Por ejemplo,

si f es la función de la ecuación (1),

entonces y  −1 cuando x  −2,

y  −3 cuando x  0 y y  9 cuando x  3

Puede ser útil visualizar la dependencia del valor y  f (x) de x pensando en la función f como en una máquina que acepta como entrada un número x y produce como salida el número f (x),

quizás en una pantalla o impreso (figura 1

Un ejemplo de una máquina de este tipo es la tecla de raíz cuadrada en una calculadora de bolsillo sencilla

Cuando se introduce un número x no negativo y se presiona esta tecla,

la calculadora despliega el número  x (o una aproximación)

Observe que el x es el conjunto [0,

+∞) de todos dominio de esta función raíz cuadrada f (x)   los números reales no negativos,

porque ningún número negativo tiene raíz cuadrada real

El recorrido de f también es el conjunto de todos los reales no negativos,

porque el símbolo  x siempre denota la raíz cuadrada no negativa de x

La calculadora ilustra su “conocimiento” del dominio desplegando un mensaje de error si le pedimos que calcule la raíz cuadrada de un número negativo (o tal vez muestre un número complejo,

si es una calculadora más sofisticada)

EJEMPLO 3 No todas las funciones tienen una regla que se pueda expresar como parte de una fórmula sencilla como f (x)   x

Por ejemplo,

X/ H p X

SI X < 

entonces tenemos una función perfectamente definida con dominio R

Algunos de sus valores son h(−4)  2,

En contraste,

la función g del ejemplo 4 está definida inicialmente mediante una descripción verbal,

EJEMPLO 4 Para cada número real x,

g(x) denota el mayor entero que es menor o igual que x

Por ejemplo,

5)  2,

Si n es un ≤ x < n + 1

Esta función g se llama entero,

g(x)  n para todo número x tal que n − función entero mayor y con frecuencia se denota por G

X/ H TTXUU:

CAPÍTULO 1

Funciones,

De manera

que TT:UU H  TT :UU H  Y TT UU H : Observe que aunque TTXUU está definida para toda x,

el recorrido de la función del mayor entero no es todo R,

sino el conjunto Z de todos los enteros

El nombre de una función no necesita ser una sola letra,

Por ejemplo,

piense en las funciones trigonométricas sen(x) y cos(x) con nombres como sen y cos

EJEMPLO 5

Otro nombre descriptivo para la función entero mayor del ejemplo 4 es Piso

X/ H TTXUU:

(Pensamos en el entero n como el “piso” en el cual están los números reales entre n y n + 1

podemos usar Redondear(x) para nombrar a la familiar función que “redondea” el número real x al entero más cercano n,

excepto que Redondear(x)  n + 1 si x  n + 12 (de manera que redondeamos hacia el número superior en caso de confusión)

Redondee suficientes números para comprender a cabalidad que Redondear(x)  Piso(x + 12 )

Estrechamente relacionada con las funciones Piso y Redondear tenemos la “función techo”,

usada por el Servicio Postal de Estados Unidos

Techo(x) denota el menor entero,

que no es menor que el número x

En 2006 la tasa postal para una carta de primera clase era 39¢ por la primera onza y 24¢ por cada onza adicional o fracción

Para una carta que pesa w > 0 onzas,

el número de “onzas adicionales” incluidas es Techo(w) −1

Por lo tanto el timbre postal s(w) para enviar esta carta está dado por s(w)  39 + 24 · [Techo(w) − 1]  15 + 24 · Techo(w)

Dominios e intervalos La función f y el valor o expresión f (x) son diferentes tanto como una máquina y su salida

Sin embargo,

es común usar una expresión como “la función f (x)  x2” para definir una función con sólo escribir su fórmula

En esta situación,

el dominio de la función no se especifica

Por convención,

el dominio de la función f es el conjunto de números reales x para los que la expresión f (x) tiene sentido y produce un número real y

Por ejemplo,

el dominio de la función h(x)  1yx es el conjunto de todos los números reales diferentes a cero (porque 1yx está definida precisamente cuando x H 0)

)NTERVALOCERRADO

)NTERVALOSEMIABIERTO

)NTERVALOSEMIABIERTO

)NTERVALOABIERTO

)NTERVALONOACOTADO )NTERVALONOACOTADO

FIGURA 1

Los dominios de funciones a menudo se describen en términos de intervalos de números reales (figura 1

(La notación de intervalos se vuelve a tratar en el apéndice A

) Recuerde que un intervalo cerrado [a,

b] contiene los dos puntos extremos x  a y x  b,

mientras que el intervalo abierto (a,

Cada uno de los intervalos semiabiertos [a,

b] contiene exactamente uno de sus puntos extremos

El intervalo no acotado [a,

∞) contiene el punto extremo x  a,

El domino mencionado de h(x)  1yx es la unión de los intervalos no acotados (−∞,

0) y (0,

SECCIÓN 1

FIGURA 1

Funciones y modelado matemático

  X C  Solución La división entre cero no está permitida,

de manera que el valor g(x) está definido precisamente para 2x + 4 H 0

Esto se cumple cuando 2x H −4,

El dominio de g es el conjunto {x : x H −2},

que es la unión de los Z dos intervalos no acotados (−∞,

EJEMPLO 6

Encuentre el dominio de la función G

EJEMPLO 7

Encuentre el dominio de H

Solución Ahora es necesario no sólo que la cantidad 2x p+ 4 sea diferente de cero,

sino también que sea positiva,

para que la raíz cuadrada X C  esté definida,

Así el dominio de h es el interZ valo no acotado (−2,

Modelado matemático Frecuentemente,

la investigación de un problema aplicado consiste en definir una función que capte la esencia de una situación geométrica o física

Los ejemplos 8 y 9 ilustran este proceso

EJEMPLO 8 Una caja rectangular con base cuadrada tiene un volumen de 125 unidades cúbicas

Exprese su superficie total A como función de la longitud x de la arista de su base

FIGURA 1

Solución El primer paso es dibujar un bosquejo y etiquetar las dimensiones relevantes

La figura 1

Se sabe que el volumen de la caja es V  x2y  125

Tanto la tapa como la base de la caja tienen un área x y cada una de sus cuatro caras verticales tiene el área xy,

de manera que su superficie total es A  2x2 + 4xy

Pero ésta es una fórmula para A en términos de dos variables x y y,

en lugar de una función únicamente de la variable x

Para eliminar y de manera que se obtenga A en términos únicamente de x,

se resuelve la ecuación (4) para y  125yx2 y luego se sustituye el resultado en la ecuación (5) para obtener  

! H X  C X   H X  C : X X Por lo tanto,

el área de la superficie está dada como función de la longitud de la arista x por 

X/ H X  C (6) X Es necesario especificar el dominio porque los valores negativos de x tienen sentido en la fórmula (5) pero no pertenecen al dominio de la función A

Debido a que toda x > 0 determina una caja de este tipo,

el dominio en sí incluye todos los números reales Z positivos

COMENTARIO En el ejemplo 8 nuestra meta era expresar la variable dependiente A como función de la variable independiente x

Inicialmente,

la situación geométrica nos proporcionó lo siguiente:

La fórmula en la ecuación (5) que expresa A en términos de x y de la variable adicional y,

La relación en la ecuación (4) entre x y y,

que usamos para eliminar y y para expresar A como función sólo de x

Notará que éste es un patrón común en muchos distintos problemas aplicados,

CAPÍTULO 1

Funciones,

Debemos construir un corral rectangular para animales

Para ahorrar material,

usaremos un muro ya existente como uno de los cuatro lados

La barda para los otros tres lados cuesta $5yft y debemos gastar $1yft para pintar el muro que forma el cuarto lado del corral

Si podemos gastar un total de $180,

¿qué dimensiones maximizarán el área que podemos construir

junto con el costo por pie en cada uno de sus cuatro lados

Cuando tenemos un problema establecido en forma verbal,

¿por dónde empezar

? El concepto de función es la clave para descifrar la situación

Si expresamos la cantidad a maximizar —la variable dependiente— como una función de alguna variable independiente,

contamos con una base sólida: encontrar el valor máximo que alcanza la función

Geométricamente,

¿cuál es el punto más alto en la gráfica de esta función

Problema del corral

X FT

Y FT

FIGURA 1

EJEMPLO 9 En relación con el problema del corral,

exprese el área A del corral como una función de la longitud x de la pared

Solución El área A del corral rectangular con largo x y ancho y es A  xy

Cuando multiplicamos la longitud de cada lado en la figura 1

encontramos que el costo total C del corral es # H X C Y C X C Y H X C Y:

Entonces 6x + 10y  180,

Elegimos x como la variable independiente,

usamos la relación en la ecuación (8) para eliminar la variable adicional y de la fórmula del área en la ecuación (7)

Despejamos y en la ecuación (8) y sustituimos el resultado YH

X/ H 

X/ H 

que expresa el área A como función de la longitud x

Además,

debemos especificar su dominio

El rectángulo real se producirá sólo si x > 0,

pero encontramos conveniente incluir también el valor x  0

Este valor de x corresponde a un “rectángulo degenerado”,

con base de longitud cero y altura YH

que es consecuencia de la ecuación (9)

Por razones similares,

se tiene la restricción ≥ 0

Dado que y− Y H 

De este modo,

la definición completa de la función del área es se deduce que x −

X/ H 

El dominio de una función es una parte necesaria de su definición y para cada función debe especificarse el dominio de valores de la variable independiente

En las aplicaciones se usan los valores de la variable independiente que son relevantes al problema que se analiza

COMENTARIO

SECCIÓN 1

Funciones y modelado matemático

El ejemplo 9 ilustra una parte importante de la solución de un problema aplicado típico: la formulación de un modelo matemático de la situación física que se estudia

El área de la función A(x) definida en (10) proporciona un modelo matemático para el problema del corral

La forma del corral óptimo se puede determinar encontrando el valor máximo que alcanza la función A sobre su dominio de definición

A(x) 0 75 120 135← 120 75 0

FIGURA 1

Investigación numérica Con el resultado del ejemplo 9 resolveremos el problema del corral calculando una tabla de valores de la función del área A(x) en la ecuación (10)

Esta tabla se muestra en la figura 1

Los datos sugieren claramente que el área máxima es A  135 ft2,

que se logra con una longitud de lado x  15 ft,

en cuyo caso la ecuación (9) da y  9 ft

Esta conjetura se corrobora con los datos más refinados mostrados en la figura 1

el corral con área máxima (con costo de $180) tiene x  15 ft de largo y y  9 ft de ancho

Las tablas en la figuras 1

es muy posible que la longitud x del corral de área máxima no sea un entero

En consecuencia,

las tablas numéricas en sí no aseguran el resultado

Se necesita una nueva idea matemática para probar que A(15)  135 es el valor máximo de

X/ H 

120 125

Este problema se estudia en la sección 1

FIGURA 1

Tabulación de funciones Muchas calculadoras científicas con opción de graficación permiten al usuario programar una función dada para una evaluación repetida,

y con ello calcular sin esfuerzo tablas como las de las figuras 1

Por ejemplo,

El uso de una calculadora o computadora para tabular los valores de una función es una técnica sencilla con una cantidad sorprendente de aplicaciones

Aquí se ilustra un método para resolver aproximadamente una ecuación de la forma f (x)  0 mediante la tabulación repetida de los valores f (x) de la función f

Como ejemplo,

suponga que se desea el valor de x en la ecuación (10) que da un corral con área A  100

Necesitamos resolver la ecuación

X/ H 

que es equivalente a la ecuación F

X/ H 

Ésta es una ecuación cuadrática que se resuelve usando la fórmula cuadrática de álgebra básica,

pero queremos tomar un enfoque numérico más directo

La razón es que el t T

FIGURA 1

FIGURA 1

FIGURA 1

CAPÍTULO 1

Funciones,

enfoque numérico se puede aplicar aun cuando no se disponga de una fórmula sencilla (como la fórmula cuadrática)

Los datos de la figura 1

Sin duda,

la sustitución en la ecuación (11) da F

El hecho de que f (x) sea negativo en un punto extremo del intervalo [5,

Para determinar dónde tabulamos valores de f (x) en [5,

En la tabla de la figura 1

de manera que nos centramos en el intervalo [7,

Al tabular f (x) en [7,

Por lo tanto tabulamos f (x) una vez más,

En la figura 1

Como f (7

concluimos que la solución deseada de la ecuación (11) está dada aproximadamente por x ≈ 7

con una exactitud d