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Calculo4 Guia01 2014-I

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Description

—————————————————————————————– I

2 xy 2 4

e y (1 + y 0 ) = 1 Sol: ex = C (1 e 0

a2 + y 2 dx + 2x ax x2 0 y (a) = 0 r a Sol: y = a tan 1 x x+y x y 12

y 0 + sin = sin 2 2 y x Sol: ln tan = C 2 sin 4 2 dy 13

= tan2 (x + y) dx Sol: 2y 2x + sin 2 (x + y) = C 1 x y 14

y 0 = x+y 2 (x + y) Sol: =x+C 2

Sol: e y = 8 ln jyj + C

xdx + (y 2x) dy = 0 Sol: (x y) ln jx yj = y + C (x p 2

ydx + x + xy dy = 0 r x Sol: ln jyj = 2 +C y

Sol: (1 + y) e

ey 1 + x2 dy 2x (1 + ey ) dx = 0 Sol: 1 + ey = C 1 + x2 y

Sol: x + y = a tan c'+

(x + y) n p (x + y) + (x + y) n m+1 p m+1 (x + y) (x + y) Sol: x = + +C n m+1 p m+1 n m 6= 1

c'2 R Sol: b (ax + by + C) + a = cebx

y 2 + cos x + (2xy + ey ) dx =0

xy 2 y 2 + x 1 dx+ x2 y 2xy + x2 + 2y 2x + 2 dy = 0 Sol: x2 2x + 2 y 2 + 1 e2 arctan y = C

Sol: y + x = cx2 e x

Sol: ln jyj =

xy dx + x2 dy = 0 x Sol: y = +C ln jyj p dy y 2 + x x2 + y 2 8

= dx xy r y 2 Sol: 1 + = ln jxj + C x dy x2 y 2 9

(ex + xey ) dx + xey dy = 0 a) Sol: xex+y = C

1 dy = 0 y

2xydx = 0

2xy + 3y

a) Sol: ax2 + 2bxy + Cy 2 = C 6

3x + 6xy

a) Sol:x sin y + y cos x = C 5

(y + y cos xy) dx + (x + x cos xy) dy = 0

y3 =C x2

x2 y 2 dx + x3 y + y + 3 dy = 0 2

2y 3 x3

3x2 tan y

Sol: (y + 2) + 2 (x + 1) (y + 2) + 3 (x + 1) = C 2y

y (exy + y) dx + x (exy + 2y) dy = 0

x2 + y 2 dx + 2xydy = 0 Sol: x3 + 3xy 2 = C

Sol: x2

(sec x + y tan x) dx + dy = 0 2

a) Sol: y sec x + tan x = C VI

3y 2 x2

cos ydx = (x sin y + tan y) dy C cos y

y sin x + y 2 = 0 1 = sin x + c'cos x y

dy 4 sin2 y = 5 dx x + x tan y

si: y (1) = 1 a) Sol:x4 [c ln (tan y)] = tan y

2 + ce y

3 x + cx 2

2x = 3y 2

La salmuera de un primer recipiente pasa a otro a razón de 2decalitros= m n,

y la salmuera del segundo recipiente pasa al primero a razón de 1decalitro= m n

en un principio hay 1 hectolitro de salmuera,

en el primer recipiente al cabo de 5 m n : Se supone que en todo momento es homogénea la mezcla de sal y agua en cada recipiente

20=3kg:

El presidente y el primer Ministro piden café y reciben tazas a igual temperatura y al mismo tiempo

El presidente agrega inmediatamente una pequeña cantidad de crema fria

pero no se toma cafe hasta 10 m n : después

El primer ministro espera 10 m n : y luego añade la misma cantidad de crema fría y comienza a tomarse su café

¿Quién tomará el café más caliente

dy 3 + y = 2x4 y 4 dx x a) Sol: x

Una resistencia variable R = 5+t ohms,

y una ca6 pacitancia de 5 10 f arad

se conecta en serie con una f:e:m: de 100volts: ¿Cuál es la carga del condensador después de un minuto si q (0) = 0:

Un tanque originalmente contiene 100 galones de agua fresca

Se vierten agua que contiene media libra de sal por galón dentro del tanque a una velocidad de 2 galones por minuto,

y se permite que salga la mezcla con la misma rapidez

Después de diez minutos se detiene el proceso,

se vierte agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 galones por minuto,

dejando salir la mezcla a la misma velocidad

Encontrar la cantidad de sal en el tanque al …nal de los 20 minutos

Un gran depósito contiene 100 galones de salmuera en la que estan disueltas 200 libras de sal

A partir de t = 0,

se introduce agua pura a razón de 3 galones por minuto y la mezcla sale del depósito a razón de 2 galones por minuto

¿Cuánto tiempo se necesitará para reducir la cantidad de sal que hay en el depósito a 100 libras

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en un instante cualquiera con una rápidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante

Si la población se duplica en 5 años,

¿Cuánto demorará en triplicarse

?¿Cuánto demorará en cuadriplicarse

[x0 número de bacterias inicialmente] b) x (0) =

En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente

Si se duplica la cantidad en 1 hora,

¿Qué cantidad habrá después de 2

Si una sustancia se enfría desde 100 C hasta 60 C en 10 minutos en donde la temperatura del medio ambiente es de 20 C ¿Cuál será la temperatura de la sustancia después de 40 minutos

25 C 13

Agua a una temperatura de 100 C se enfría en 10 minutos a 80 C en un cuarto con temperatura de 25 C a)¿Qué temperatura tendrá el agua después de 20 minutos

? b) ¿Cuándo la tenperatura del agua será de 40 C

3 C tos

139 minu-

9 años,

10 años

La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera,

con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante,

su población inicial inicial de 500 aumenta 15 % en 10 años ¿Cuál será la población dentro de 30 años

Bacterias en un cierto cierto incrementan a una tasa proporcional al número presente

Si el número 1 original se incrementa en un 50 % en hora

¿En 2 cuánto tiempo se espera tener tres veces el número original

?¿cinco veces el número original

35 horas

98 horas 9

Si la población de un país se duplica en 50 años ¿En cuántos años será el triple suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcional al número de habitantes presentes en dicho instante

En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento es proporcional al número presente

a) Si se ha hallado que el número se duplica en 4 horas ¿Qué número se debe esperar al cabo de 12 horas

? b) Si hay 104 bacterias al cabo de 3 horas y 4 104 bacterias al cabo de 5 horas ¿Cuál será el número de bacterias inicialmente

Un termometro se saca de una habitación en donde la temperatura del aire es de 70 F ,

en 1 donde la temperatura es de 10 F

Después de 2 minuto el termometro marca 50 F ¿Cuánto marca el termometro cuando t = 1 minuto

¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el termometro marque 15 F

Si la temperatura del aire es de 20 C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100 C hasta 60 C ¿dentro de cuanto tiempo su temperatura será 30 C

Si se arroja una pelota hacia arriba,

con una velocidad inicial de 97 pies/seg ¿A qué altura sube la pelota y por cuánto tiempo permanece en el aire

144 pies,

6 segundos

Se suelta una pelota de lo alto de un edi…cio de 960 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda en llegar la pelota al piso,

y con que velocidad golpea el piso

Los frenos de un automovil se accionan cuando este se mueve a 60 millas/hora t 88 pies/seg

Los frenos proporcional una desaceleración constante de 40 pies/seg2 ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse

Un auto viaja a 88 pies/seg se desplaza 176 pies después de aplicar sus frenos

La desaceleración que proporcionan los frenos es constante ¿Cuál es el valor de ésta

Un conductor implicado en un accidente a…rma que circulaba a 25 millas/hora cuando la policía revisa su auto,

determina que si los frenos se aplicaban a 25 millas/hora,

el auto recorrería solamente 45 pies antes de detenerse

Los marcos de demape del auto en la escava del accidente miden 210 pies

Suponga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad con la que viajaba antes del accidente

A un circuito en serie,

en el cual la inductancia es de 0

A un circuito en serie,

en la cual la resistencia es de 200 y la resistencia es de 10 4 F

se le aplica una tensión de 100 vol

Calcular la carga q (t) en el capacitador si q (0) = 0 y obtenga la corriente i (t) : 1 1 1 e 50t

Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el cual se disuelven 30 gramos de sal,

una salmuera que contiene 1 gramo de sal por litro se bambea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto,

la solución adecuadamente mezclada se bambea hacia afuera con la misma rapidez

Encuentre el número de gramos A (t) de sal que hay en el tanque en un cualquiera

A (t) = 200

Un gran deposito esta lleno con 500 galones de agua fuera,

una salmuera que contiene 2 litros de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 galones por minuto,

la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez

Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera

A (t) = 100

Un gran tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de liquido en los cuales se disuelvan 10 li1 bras de sal

Una salmuera que contiene libra de 2 sal por galón se bambea al tanque con una rapidez de 6 galones por minuto,

la solución adecuadamente mezclada se bambea enseguida hacia afura del tanque con una rapidez de 4 galones por minuto

Halle el número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos Rpta

Un tanque que esta lleno con 8 galones de agua salada en el cual hay 2 libras de sal disuelta

Agua salada con 3 litros de sal por galón entra al tanque a 4 galones por minuto,

y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa

a) Establezca una ecuación diferencial para la cantidad de sal como una función del tiempo t b) Halle la cantidad de sal como una función del tiempo c) Encuentre la concentración de sal después de 8 minutos d) ¿Cuánta sal hay después de un tiempo largo

24 libras

Un tanque tiene 40 galones de agua pura

Una solución de agua salada con 1 libra de sal por galón entra a 2 galones por minuto,

y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa

a) ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier tiempo

? 1 libra de b) ¿Cuándo el agua que sale tendrá 2 sal por galón

9 minutos

Un tanque tiene 60 galones de agua salada con 2 libras de sal por galón,

una solución con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto,

y la mezcla sale a la misma tasa ¿Cuándo habrá 150 libras de sal en el tanque

Un tanque tiene 100 galones de agua salada con 40 litros de sal disuelta

Agua pura entra al tanque a 2 galones por minuto y sale con la misma tasa

¿Cuándo la concentración de sal será 0

? ¿Cuándo la concentración será menor que 0

7 minutos

5 minutos

Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta

Agua salada con 1

y la mezcla bien agitada sale a 4 galones por minuto

a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo b) Encuentre la concentración de sal después de 10 minutos

5 (10 t) 0

Un tanque tiene 60 galones de agua pura

Una solución con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto y sale a 2

a) Encuentre la concentración de sal en el tanque en cualquier tiempo

b) Encuentre la concentración de sal cuando el tanque tenga 30 galones de agua salada " # 4 t Rpta

Un tanque de 1500 galones incialmente contiene 600 galones de agua con 5 libras de sal disueltas

El aguan entra al tanque a una razon de 9 galones por hora que contiene una concentración de sal de 1 5 (1 + cos t) libras por galon

Si la solución bien mezclada sale del tanque a una razon de 6 galones por hora,

Cuanta sal hay en el tanque cuando el tanque se llena

En cierto cultivo de bacterias la razón de cremiento es proporcional al número de bacterias presentes

a) Si el número se duplica en 4 horas,

Rpta: b) Si existen 104 al …nalizar 3 horas y 4(104 ) al …nalizar 5 horas

La velocidad con que se desintegran los nucleos radiactivos es proporcional al número de nucleos presentes en una muestra dada

La mitad del nucleo original de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración en un periodo de 1500 años

a) ¿Qué porcentaje de núcleos originales radiactivos continuarán después de 4500 años

? b) ¿En cuántos años quedará solamente un décimo del número original de núcleos radiactivos

5 % de x0

4983 años

Una barra metálica a una temperatura de 100 F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0 F: Después de 20 minutos la temperatura de la barra es 50 F

a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de 25 F

? b) ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos

40 minutos

Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone a un refrigerador a una temperatura constante de 1 F

Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40 F y después de 40 minutos es de 20 F:Hallar la temperatura inicial de éste

81 F 37

Una cierta presa,

contiene 1000 millones de m3 de agua

En un instante dado,

tiene una mas de contaminantes,

distribuida en forma homogénea

Suponga que en temporadas de lluvias entra agua a la presa a una razón de 10 millones de m3

con una masa de contaminantes de 0

Determine la cantidad de contaminantes en la presa en cualquier instante

¿En cuanto tiempo se reducirá la contaminación total de la presa a 1

9 días

un tanque inicialmente 100 dl de agua,

en el cual se dusuelven 80kg de sal

Se introducen en el tanque agua pura a una velocidad de 4 dl/min y la mezcla,

conservada homogenea mediante agitación,

sale a la misma velocidad y va a parar a un segundo tanque que contiene al principio 100dl de agua pura

Agitando la mezcla que sale de este segundo tanque a la misma velocidad

Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 1 hora

El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente

Si inicialmente hay 10 gramos y después de 2 horas se ha perdido el 5 % de su masa original,

a) La cantidad restante de Uranio como función del tiempo

b) La cantidad de Uranio despues de 5 horas

Cierto material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en cada instante

En una prueba realizada con 60 mg de este material,

se observó que después de 3 horas,

solamente permanecía el 80 % de la masa original

Hallar a) La cantidad restante de masa en cualquier instante

b) ¿Qué cantidad de material hay después de 5 horas

? c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto de la cantidad inicial

Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente

Su vida media es de 1600 años

¿Qué porcentaje desparecerá en un año

En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente

Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas,

¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas

Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias

Para t = 1 hora,

el número de bacterias medido es 23 N0 : Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes,

determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique

En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al número actual de dichos animales

Si después de 5 años el ´numero se ha duplicado y después de siete años el nu’mero de animales es 576,

hallar el ´ de número de animales con que se contaba el día la inaguración

Supóngase que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t

cambia a una razóm directamente proporcional a P 2 P

Si inicialmente hay 1000 bacterias y después de 5 horas la población se redujo a 100 baterias,

determine: a) La población como función del tiempo

Un tanque de 100 litros de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos en agua

Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 litros por segundo y la mezcla,

que se mantiene uniforme mediante agitación,

Cuánto tiempo pasará antes de que queden solamente 10kg de sal en el tanque

Un tanque tiene 60 galones de agua pura

Una solución con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a 2

a) Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo t: b) Encuentre la concentración de sal en el tanque cuando contenga 30 galones de agua salada

El lago Ontario tiene un volumen de 1636 km3 y una concentración inicial de contaminantes del 0

Hay un ingreso anual de 209 km3 de agua con una concentración de contaminantes del 0

Cu’anto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el estanque se reduzca al 0

b) La población después de un tiempo grande

Al apagar un motor su temperatura es de 98 C y el medio en que se encuentra se conserva a 21 C

Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado a 88 C,

encuentre: a) La temperatura como función del tiempo

b) El instante en el cual su temperatura es de 35 C: 47

Un cuerpo a una temperatura de 50 F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100 F: Si después de 4 minutos la temperatura del cuerpo es de 60 F

Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del cuerpo sea de 75 F

? Cuál será su temperatura después de 20 minutos

Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30 F: Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0 F y después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15 F

Cuál es la temperatura inicialdel cuerpo

Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 300 galones de solución salina en la que se han disuelto 50 libras de sal

Se agrega solución salina que contiene 3 libras de sal por galón con una rapidez de 4 galones por minuto

Determine cuánta sal hay en el tanque en el momento que éste se desborda

Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100 galones de agua,

en la cual se han disuelto 50 libras de sal

Comenzando en t = 0

una salmuera que contiene una concentración de 2 libras de sal por galón entra al tanque a razón de 5 galones por segundo

La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación,

y estando bien agitada sale del tanque a una rapidez de 3 galones por segundo

Qué cantidad de sal contendrá el tanque cuando esté lleno de salmuera

Un tanque A contiene 100 litros de salmuera,

que se obtuvo al disolver 40 kg de sal en agua

Se introduce en este tanque una salmuera,

cuya concentración es de 3 kilogramos por litro,

a una rapidez de 2 litros por minuto

La mezcla se conserva homogénea,

sale con la misma rapidez a va a para a un segundo tanque B que contiene al principio 100 litros de salmuera a una concentración de 0

Agitando se mantiene homogénea la mezclada en el tanque B y sale de éste con una rapidez de 1 litro por minuto

Hallar la cantidad de sal en cada uno de los tanques en cualquier instante

A un circuito en serie,

en el cual la inductancia es de 0

se le aplica una tensión de 30 volts

Determine la corriente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo

A un circuito en serie,

en el cual la inductancia es de 0

se le aplica una tensión de 30 volts

Determine la corriente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo

hallar y en función de t: Rpta

Un inductor de L'henrys varía con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a L'= 0

Si la corriente i (t) es cero inicialmente encuentre i para todo t > 0: Cuál es la corriente máxima teórica

El aire de un teatro de dimensiones 12 8 4 metros cúbicos contiene 0

Se desea renovar en 10 minutos el aire,

de modo que llegue a contener solamente el 0

Calcular el número de metros cúbicos por minuto que deben renovarse,

suponiendo que el aire exterior contiene 0

Una resistencia de 20 ohms se conecta en serie a una condensador de 0

muestre que la carga máxima en el condensador es de 0

Si Q es la cantidad de material radiactivo presente en el instante t,

entonces la ecaución diferencial kQ

donde k es la constante de desines dQ dt = tegración

Se llama tiempo de vida media de un material radiactivo al tiempo necesario para que una cantidad Q0 se transforme en Q20 : Si T es el tiempo de vida media,

Suponga que un elemento radiactivo A se descompone en un segundo elemento radiactivo B y este a su vez se descompone en un tercer elemento radiactivo C

Si la cantidad de A presente inicialmente es

Un tanque contiene 200 litro de una solución de colorante con una concentración de 1 gramo por litro

El tanque debe enjuagarse con agua limpia que entra a razón de 2 litros por minuto y la solución bien homogenizada sale con la misma rapidez

Encuentre el tiempo que transcurrirá hasta que la concentración del colorante en el tanque alcance 1 % de su valor original

5 minutos

Un tanque contiene inicialmente agua pura

Salmuera que contiene 2 libras de sal por galón entra al tanque a una velocidad de 4 galones por minuto

Asumiendo la mezcla uniforme,

la salmuera sale a una velocidad de 3 galones por minuto

Si la concentración alcanza el 90 % de su valor máximo en 30 minutos,

calcular los galones de agua que 30 : había inicialmente en el tanque

Q = p 4 10 1