PDF -treillis - IUT Le Mans - Calcul de Structures n2 Jan 2003
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Calcul de Structures n2 Jan 2003

treillis - IUT Le Mans

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Description

Ecole Inter-Etats tf’Ing&ieurs de I’EQUIPEMENT RURAL 03 B

DE STRUCTURES Fascicule no 2

LES SOLLICITATIONS

Janvier 2003

- SOMMAXFN

DISTRIBUTION

DES CONTRAINTES

D’UN POINT

Cas d’une contrainte plane

Etude des vecteurs contraintes autour d’un point

Représentation du tenseur contrainte par le Cercle de Mohr

Cas général

Etude des contraintes autour d’un point

Représentation du tenseur contrainte

Théorème de Cauchy

Courbe intrinsèque

16 19 19

Exercices

TRACTION

COMPRESSION A-/ EFFORT

Introduction

Hypothèses b

Repère

Contraintes et déformations dues à l’effort normal

Allongement de la poutre

Déformation transversale

Travail de déformation

Action dynamique des charges

Concentration de contraintes

Equilibre des fils

Fil très tendu

Fil peu tendu

B-/ SYSTEMES

TRIANGULES

Définition

Hypothèses simplificatrices

Quelques nœuds particuliers

Notes de CO~~~/CAS-M-I

FREITAS

45 45 46

Méthodes de résolution des systemes réticulés

Méthode des noeuds

Méthode graphique ou de CREMONA

EXERCICES

Introduction

La flexion droite

Contraintes et déformations

Condition de résistance

Formes les mieux adaptées pour la flexion droite Rendement d’une section

Travail de déformation

61 62 63

La flexion déviée

Déformation de la poutre

Travail de la déformation

Forme bien adaptée pour résister

La flexion composée

Centre de pression et noyau central

Noyau central

Exemple de recherche du noyau central

FLEXION

EXERCICES

TRANCHANT

Généralités

Hypothèses

Convention de signe

Relation entre T et M

Calcul des contraintes dues à l’effort tranchant

a) Relation fondamentale pour le calcul des contraintes de 87 cisaillement

symétriques par rapport à Gy

c) Sections constituées de profils minces,

symétriques par rapport à 95 Gy

Centre de torsion

Notes de CO~~/CAS-l/H

FREITAS

f) Contraintes tangentielles longitudinales

Déformations dues à

TravaiS de déformation

Expression générale

Calcul de sections réduites

iO4 106 106 108

Poutre de hauteur rapidement variable

Cas où la section reste plane

Exercices

TORSION

Introduction

Poutres de sections circulaires

a) Contraintes et déformations

c) Cas de la section circulaire creuse

120 120

Sections de forme quelconque

Contraintes et déformations p

Energie interne y

Exercices c) Sections constituées de profils minces

Profils fermés /

Profils ouverts y

Exercices 4

Directions principales et contraintes principales

Concentration de contraintes

Tensions secondaires

Notes de CO~/CAS-1M

FREITAS

La Mécanique des Structures ou Calcul de Structures,

est une science de l’ingénieur qui a pour but,

la recherche de la forme la mieux adaptée économiquement à un élément de construction afin que celle-ci soit pius apte à mieux résister aux sollicitations (effort de traction ou compression,

-flexion,

de cisaillement ou même de torsion) auxquelles elle est soumise

Cette science qui s’applique à toutes les branches de la profession d’ingénieur (mécanique,

bâtiment,

ouvrages hydrauliques tel que barrages,

) s’appuie fortement sur les mathématiques tout en admettant des hypothèses simplificatrices et raisonnables

Elle utilise constamment les Si la statique étudie l’équilibre des forces appliquées à la construction,

la mécanique des structures s’occupe plutôt des sollicitations qu’engendrent cellesci et de leurs effets internes

Car le comportement d’un élément de structures dépend non seulement des effets internes provoqués par ces sollicitations en un point considéré mais aussi du matériau qui le compose

C’est une science qui fait appel au bon sens et à l’expérience

Le présent document qui représente le premier numéro d’une série de trois tomes,

est relatif à l’étude générale des différentes sollicitations d’un élément simple de construction (barre,

on se limite à la théorie des poutres

Dans ce volume,

on étudie les différentes sollicitations,

les applications directement liées à chacune d’elles

Notes de cours CAS-l/EERIH

FREITAS

Tenseur contrainte Conventions de signe : CT> 0 ,

si c’est une contrainte de traction

C’estàdire(v’,z’)=+

Fy >O l

Etudions le vecteur contrainte J‘ qui s’exerce sur un élément de surface passant par 0 lorsque la direction de la normale P à cet élément varie

Soient : 0 xoy un repère rectangulaire CT~et t,

les composantes normale et tangentielle de la contrainte s’exerçant sur une facette de normale ox

oY et tY les composantes normale et tangentielle de la contrainte s’exerçant sur une facette de normale oy

la longueur de BC est égale à l’unité

a longueur AB = cas a longueur AC = sin a

Notes de cours CAS-I/EIER/H

FRE[TAS

Nous allons calculer les composantes (l’ normale CTet tangentielle t de ia contrainte 7 s’exerçant sur la facette BC de normale C

Y : vecteur unitaire faisant 1x3angle cI avec 0x

w La contrainte étant 0 et au signe

- oy < 0

Remarques : l

CF~+ or est la trace de la matrice [G] =

On peut

vérifier

principales o1 et ~7~sont les valeurs extrêmes de ci

(~1 : maximum de CTet 02 minimum de CJou vice versa)

Si l’on prend les axes ox et oy précédents suivant les directions principales en o,

les relations (1) de la page 6 deviennent,

Notes de cours CAS-I/EIER/H

FREITAS

0-o L--L 2

g1 “O2

1- cos2a

Le tenseur contrainte s’écrit alors [0]=

D’où:

Z) lié à la facette,

M du vecteur contrainte T décrit un cercle,

D’où le cercle de Mohr a pour centre :

pour rayon : D’où on a la représentation géométrique ci-après : Notes de cours CAS-l/EIERM

FREITAS

ic--l----------------1 n Attention au sens dans lequel I II sur le cercle de Mohr : I

M étant le point représentatif de

? contrainte sur la facette de normale v’ telle que IF),

L’angle

Construction inverse : si on connaît non pas les contraintes principales mais les contraintes oX,

CT~et tXY sur 2 facettes perpendiculaires de normales 0x et Oy,

la construction du cercle de Mohr est alors la suivante

Nota : Ici il faut également faire attention aux signes

Soient : (x),

le point représentatif sur le cercle de Mohr de la contrainte sur la facette de normale ox (y),

le point représentatif sur le cercle de Mohr de la contrainte sur la facette de normale oy

Notes de cours CAS-l/EIER/H

FREITAS

sur ie cercie de Mohr de lb contrainte

le point représentatiC sur le cercle de MO~- de la contrainte

facette de normale o(2) Pour (x) il faut reporter t,

? ) tandis que pour (y) il faut reporter t,,

> 0 vers le bas l’angle (A(x),

A(x) : axe de référence

D’où on peut construire les directions principales : (OX,Yïj)=+a 4 axe de référence

Remarques : les points représentatifs de 2 facettes perpendiculaires diamétralement opposés sur le cercle de Mohr

la contrainte de cisaillement est maximum sur les plans faisant un angle de 45” avec les plans principaux

Cette contrainte maximale est :

Cas particuliers Traction (ou compression simple) Considérons la barre de section S soumise à un effort normal de traction N

CF~= E 3 les directions principales en 0 sont : S c2

O(1) et O(2)

Sur une facette de normale V les contraintes sont :

(Le cercle de Mohr est une représentation géométrique de ces relations)

Les composantes fx et f,,

T est vertical

Traction (ou compression) 0x

(voir figures 1 et 2 ci-dessus)

Le cercle de Mohr se réduit à un point

=VCt: t=o a toutes les directions sont principales

Notes de GOUTS CAS-UEIERM

FREITAS

Sur une facette à 45” par rapport aux directions principales (points représentatifs : B et C) on a :

Etude des contraintes autour d’un point

OA=dx OB= dy OC= dz (0,

z) : repère orthonormé Ix’ // 0x Iy’ /

Soient les contraintes s’exerçant sur les faces OBC,

OAC et OAB du tétraèdre

Les composantes de ces contraintes sont :

Composantes 1: à 0x Compos<es

OAC tyx BY

OAB Lx b (Jz

Les oi ,

tij sont positifs lorsqu’ils sont dirigés comme sur la figure ci-dessus

Sur la facette ABC s’exerce la contrainte

-dd 0x,

L’équilibre du tétraèdre OABC donne les 6 équations suivantes (on néglige ici les forces de volume : voir page 6 GT)

(les autres composantes sont ,

soit parallèles à Ix’ soit coupant Ix’)

des projections des forces suivant les 3axesox,

Les composantes des forces s’exerçant sur les faces du tétraèdre sont : Face

Composante suivant z Composante suivant oy

Composante suivant G

En effet l’aire OBC = aire de ABC

COS(angle entre les plans OBC et ABC)

CT L'‘angle de 2 plans est jgal à 1‘mgle de 2 de leurs perpendiculaires

G COS(OBC,

ABC)= COS(,G,

G1 = a d’où aire OAC = ds

Les équations (4),

t= Ces dernières relations peuvent s’écrire matriciellement

[CT]est le tenseur contrainte en 0

? est la contrainte s’exerçant sur la facette passant par 0 et de normale v’

La transformation v’

La matrice [CT]étant une matrice symétrique,

ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres forment une base orthogonale

Ici les valeurs propres sont les contraintes principales et les vecteurs propres,

En prenant pour axes les directions principales le tenseur contrainte s’écrit : cri,

(dans le plan on a obtenu directement résultats}

Dans ce repère principal l’extrémité

M de T a pour coordonnées :

Notes de cours CAS-1IEIERhI

FREITAS

D’où M décrit,

lorsque la facette de normale V tourne autour de 0,

b- Représentation plane du tenseur contrainte : Cercle de Mohr

Soient : un point 0 quelconque du solide étudié

z) un repère orthonormé lié au solide

? : contrainte s’exerçant sur l’élément ds

Appelons Q le plan passant par 0 et perpendiculaire à V et P le plan contenant TetC

Soit z’ un vecteur unitaire issu de 0 appartenant à l’intersection

Dans le repère (V ,

z’) est un repère lié à la facette ds]

Supposons principal le repère (0,

dans ce repère les composantes de

étant les contraintes principales

Notes de cours CAS-IIEIHUH

FREITAS

Supposons CJ~> n2 > ~3 (ceci n’eniève rien â

la généralité car il suffit d’appeler « 1 » l’axe correspondaIt à la contrainte principale la plus grande et « 3 » à la plus petite)

Orientation 1,

Si l’on fixe la valeur de l’un des trois paramètres : c

z’) le point M de coordonnées (0,

t) appartient à un cercle centré sur v”

Pour a constant,

l’équation de ce cercle (Cl) est : (J2+ t2

- q) (01

- 02) = 0

Cette équation est obtenue en éliminant /II et y dans (1) grâce à (2) et (3) Pour p constant,

l’équation de ce cercle (C,) est : CT*+ t*

Pour y constant l’équation de ce cercle (C,) est : CT*+ t2

01) = 0

L’extrémité M de

? appartient donc lorsqu’on suppose a,

p ou y constant aux 3 cercles CI,

Les cercles CI constituent une famille de cercles concentriques

De même pour C2 et C3

Soient : Y

02 + t*

Equation qui peut s’écrire :

Notes de cours CAS-lIElER&l

FREITAS

CT3 = 0

D’oti 151a pour centre le point

I Et pour rayon,

-031 I 2 l

Résultats analogues pour Y

t) d’un cercle Cl par rapport au cercle Y& est : PI =Of +t*

G3 =-a2 (a,

PI >o d’où les cercles CI sont extérieurs à Y$‘*

De même on trouve que la puissance d’un point de C2 par rapport à Y

- p” (01

- 02) (G2

- y2 (cf2

- Q) (03

di et ‘I5’3sont les cercles fondamentaux

M appartenant simultanknent à un Cr ) un C2 et un C3,

M se trouve dans la partie hachurée sur la figure ci-dessus ou à son contour,

M appartient à l’un des cercles 6’1,

Théorème de Cauchv Soient

? contrainte sur la facette de normale V (a,

y) f ’ contrainte sur la facette de normale v’ ‘(a’,

Soit le tenseur contrainte T=ao,

on se place dans le repère principal

c’est le théorème de Cauchy

= 0 alors les directions v’ ’ et v’ sont conjuguées

En ce point chaque état de contraintes est caractérisé par un cercle de Mohr

Augmentons progressivement les charges appliquées au solide

au début tant que les contraintes sont petites,

les déformations sont réversibles

par contre lorsque les charges sont très élevées les déformations ne sont plus réversibles

Au point considéré notons les états de contraintes déformation irréversible et leurs cercles de Mohr

L’enveloppe de ces cercles de Mohr est la courbe intrinsèque du matériau

Le matériau (R

M) étant homogène et isotrope cette courbe est symétrique par rapport à Y

Pour rester dms 1s doinaine élastique il faut qrie l'extrémité M de T se situe à l'intérieur de la courbe intrinsèque

intrinsèque facette la correspondante est soumise à

-Ume 'ntrlns8que

N Y =ES

Avec S : aire de la section (S) D’où la contrainte et la déformation toutes les sections et valent :

N S N Ex =ES

On a vu (intuitivement) que les contraintes tangentielles t,,

Toujours intuitivement,

(La théorie de l’élasticité

confirme ces résultats dans des cas simples)

Toutefois,

ceci n’est pas toujours rigoureusement exact

en effet considérons un élément dS,

de la surface extérieure de la

P Si cet élément supporte une charge,

de même la contrainte tangentielle sera égale à la composante tangentielle de cette charge donc # 0

r/ Cependant l’on ne commet pas une grosse erreur en prenant les : t

Contraintes sur une section oblique (Voir chapitre précédent sur «Distribution des contraintes autour d’un point)))

Quelques modules d’élasticité rupture 03

E et limites d’élasticité

Les valeurs ci-après ne constituent que des ordres de grandeur

Acier doux Aciers durs

CT,= 2400 CT~= jusqu’à 15 000 à 20 000 en particulier : armatures pour B

A (Te= 4 200 armatures de précontrainte = 15 000

Fonte grise

1 000 000

Cuivre (en fils) Aluminium Bois (moyen) Granite Béton Corde en chanvre

cFe= 750 ~~ = 1500 cre= 1400 cTr= 2000 cJe= 200 CT,= 500 cJr= 350 CJ~= 160

en traction en compression en traction

compression compression traction

Nota : Les contraintes admissibles sont en général égales aux 2/3 de cre

Notes de cours CAS-l/EIERiH

FREITAS

ReinarQue concernani

k’hvpo~hèse de Navier BernouiRi

Dans le cas ci-contre où i’on charge uniformément la section extrême du poteau,

cette hypothèse est exacte pour toutes sections du poteau

Contraintes dans les sections SI,

Par contre pour le poteau ci-contre chargé ponctuellement,

au voisinage du point d’application de cette charge concentrée cette hypothèse n’est pas exacte

On peut admettre (théorie de l’élasticité) qu’à partir de la section S3,

grosso modo à la distance a de S,

l’hypothèse de Navier Bernouilli est vérifiée

DE LA POUTRE

On calcule cet allongement en intégrant le long de la poutre les déformations as (= E,) + voir relation de Navier Bresse

Cas d’une poutre droite

+------

NL13LdllLG>,

N(x) étant pris avec son signe on a : A& > 0

Notes de cours CAS-l/EIEWH

FREITAS

TRANSVERSALE

DE POISSON

L’expérience montre que la déformation longitudinale aX est accompagnée d’une deformation transversale cy (= E,) proportionnelle à Ex

sont plus petits et de signe opposé à E* EY = EZ=

u est compris entre 0 et 0,5 Acier u = 0,3 Béton

u = 0 si le béton est fissuré u = 0,lS si le béton n’est pas fissuré Matériaux incompressibles (caoutchouc) u = 0,5*

Variation

de volume La variation de longueur l’élément ci-contre est :

A(dx) = sX

La variation du volume de l’élément est : Av=dy

Es dy Av=dx

*Pour u = 0,5,

AV = 0 d’où le matériau est incompressible

il apparaît des contraintes ciY(et,

Notes de cours CAS-l/EIER/H

FREITAS

-- TRAVAIL

DE DEFORMATION

Considérons un petit élément,

de surface ds et de longueur dx

à la ligne

Augmentons progressivement,

de façon (statique)* les charges appliquées à la poutre

réversible

ainsi à tout instant les contraintes internes équilibrent les charges externes appliquées

Dans la section S(x) l’effort normal R augmente de 0 à N

Soit R = a N

la contrainte normale cX augmente de 0 à CT~= z

On a F,

On a E,

Quand a augmente de da l’élément de volume dv = ds

J(dW,)=o,

élément

D’où sous l’action de l’effort normal N l’élément l’énergie (travail de déformation) :

Notes de cours CAS-IIEIERIH

FRE]TAS

dvl dwi peut s’ecrïre : dFVi = i

1 dWi =

dWi d1- est représenté par l’aire QAB ’

Pour l’ensemble de la poutre l’énergie emmagasinée est : Wi =$

est l’énergie interne de la poutre

ou encore : Si la poutre est droite

Remarque

: en vertu du principe de conservation de l’énergie on a AWi+AW,+AE,+AQ+

Wi : énergie interne du système (poutre ici) W,

: travail des forces extérieures agissant sur le système

Ec : énergie cinétique du système

= 0 car l’application des charges est réversible Q : énergie calorifique

Ici AQ = 0 car on suppose qu’il n’y a pas de dégagement de chaleur (pas de frottement) D’où :

AW,+AWi=O

Notes de cours CAS-I/EIER/H

FRE[TAS

[email protected] (ces forces étant appliquées de façon réversible)

réversible

--L-----I

Exemple

Soit le fil ci-contre auquel on applique la masse M réversiblement

Section S module E

l’effort normal dans le fil est N = Mg

l’énergie emmagasinée par le fil

le travail de la force appliquée au fil est : W,=

On constate que l’on a bien : t N=Mg

Wi = W,

- ACTION

DYNAMICU3

DES CHARGES

Reprenons l’exemple précédent a) On applique

Quand toute la masse M est appliquée on a : l

effort normal dans le fil : N = Mg

Mg 3 contrainte dans le fil : 0 = S Nl allongement du fil : A

Ak’ =

M brutalement A l’instant t quelconque repérons la position de M par z,

l’origine de z étant la position d’équilibre statique de la masse M (voir figure cicontre)

A cet instant t les forces agissant sur M sont Le poids : Mg La force de rappel du fil :

N=Mg+ES

la masse n’est pas en équilibre

Son mouvement est régi par l’équation différentielle

Mg-(Mg+ES

Notes de cours CAS-l/EIEWH

FREITAS

ES z”+

- z=o Ml

Equation qui a pour solution z(t) = A COSest

La vitesse de la masse M est z’(t) = $= En prenant l’origine

du temps au moment où on applique M on a

Iz’= 0

L’allongement

~Mfk-*l ES

= 2 fois 1‘allongement statique d’où : la contrainte statique

« dynamique » maximum dans le fil est 2 fois la contrainte

Ce qui montre l’effet néfaste des charges dynamiques

Faisons le bilan énergétique : à un instant

Notes de cours CAS-IIEIEWH

FREITAS

I +E c'=MZg2

On a bien entre instants 0 et t :

Wi + E,

= 0 (conservation de 1‘énergie)

En particulier lorsque la masse M passe à la position d’équilibre

AI0 constitue l’énergie cinétique

Remarque : En fait,

s’amortit progressivement par suite des frottements et aboutit à la position d’équilibre z = 0

La chute de la masse M a alors fourni l’énergie Mg

la moitié de cette énergie a été emmagasinée par le fil,

l’autre moitié a été dissipée en chaleur par suite des frottements

DE CONTRAINTES

Lorsque la section varie brusquement,

comme on l’a signalé en introduction,

les résultats de la théorie des poutres ne sont plus valables

En particulier les contraintes ox ne sont plus constantes sur toute la section

on a en certains points une « concentration de contraintes »

En voici quelques exemples 1N

--orna&

2°moyen

----omax=

60 moyen

Notes de cours CAS-IIEIERIH

FREITAS

épaisseur

N ’ t

! est grand par rapport à R 0 max= 3 ~moyen N avec amoyen =~ lb

Toujours si

! est grand par rapport aux dimensions du trou (ellipse)

DES FILS

-- y,/:

On tend avec une flèche f un fil,

de poids p par unité de longueur,

entre 2 points A et B distant de

! et situés sur une même horizontale

A et B sont 2 articulations

On cherche la forme que prend ce fil

Le fil n’ayant pas de raideur à la flexion il ne peut supporter que des efforts normaux,

efforts normaux de traction (pour des efforts normaux de compression l’équilibre serait instable)

D’où le fil doit être tel qu’il soit confondu avec la courbe des pressions,

la charge étant son poids propre

Notes de cours CAS-VEIERM

FREITAS

Comme on l’a vu en statique,

pour les forces paralleles reparties les ëquations d*y des courbes funiculaires sont solution de l’équat

a) Fil très tendu (la flèche f est petite par rapport à la corde

! ) On a alors q(x) E p = constante

D’où les courbes funiculaires ont pour équation y =

Ces courbes funiculaires dépendent de 3 paramètres H,

CI et C2

Ces trois paramètres sont déterminés par les conditions que l’on impose à la courbe funiculaire

on peut imposer au plus 3 conditions,

Si on impose plus de 3 conditions (par exemple ici en imposant en outre au fil sa direction en A et B A:) F*rn lkale notre problème n’a en général pas de solution,

ce qui veut dire qu’un équilibre sans flexion est alors impossible

Si on impose moins de 3 conditions indéterminée

La courbe des pressions que l’on cherche ici est la courbe funiculaire A et B (2 conditions) et ayant pour flèche f (1 condition)

D’oùl’équationdufïl

D’où on peut déterminer HI,

Cl et Cz

la courbe funiculaire la forme que prend le fil

Notes de cours CAS-UEIERIH

FREITAS

A :‘absc

isse x l’effort normal dans le fil est

t l2 8f2 Cet effort normal est maximum en A et B où il vaut N = N 1+ l2

b) Fil peu tendu : On ne peut plus ici considérer q(x) constant égal à p maintenant ds q(x)=pxdx=pd* A

D’où l’équation différentielle courbes funiculaires s’écrit Hy” =-p,/m

En posant z = y’ (1) s’écrit dz Hz’= H-=-PI,&

? dz d’où H Jl+z2 a Hlog (z+Y/=

1=-~X+C,

En prenant le repère xoy de la figure ci-contre on a y’=z=()

D’où

En isolant dl + z2 et en élevant au carré on tire : dy 1

-e H z=z=2

Notes de cours CAS-UEIERBI

FREITAS

- sh H dx

Avec le repère choisi ci-dessus,

D’où l’équation du fil : chaînette H Le paramètre H étant déterminé par la relation f = + p H A l’abscisse x l’effort dans le fil est N = ~cos~ = H

Cet effort est maximum en A et B où il vaut : p La longueur du fil entre A et B est : L= rdgdx=2

Notes de cours CAS-l/EIERfH

FREITAS

Cette partie constitue l’une des applications

système triangulé ou Treillis articulé est un des plus importants constructions métalliques en génie

Un treillis est constitué de barres droites (profilés en L,

T ou 1) articulés les unes aux autres et constituant des triangles juxtaposés

Les barres sont reliées entre elles par leurs extrémités

Les joints de liaison des barres sont appelés rtoeuds

Les noeuds sont des assemblages soudés,

Entre le nombre de barres (b) et le nombre de noeuds (n) constituant un système triangulé existe la relation suivante : b = 2 n

Exemples de treillis articules

CL- On suppose que les barres sont articulées sans frottement aux noeuds,

autrement dit chaque barre est considérée comme une bielle articulée à ses deux extrémités

p- On néglige le poids propre des barres y- Les forces extérieures (charges) sont appliqués au noeuds

S- Les forces appliquées sont situées dans le plan du système articulé

Notes de cours CAS-J/EJEJUJ-J

FREJTAS

Les treillis sont considérés comme un ensemble de noeuds articulés et de membrures soumises à des efforts axiaux seulement

Ce sont des systèmes dits réticulés

Système_Réticulé

En revanche,

si les éléments d’un système de barres travaillent principalement en flexion ou en torsion,

Géométrie

Barres alignées

Propriété

N2 ,,’

NI=0 Nz=O

Barres 1 et 2 alignées NI=N2 N3=0

Barres alignées deux à deux N1=N3

Un système réticulé peut s’étudier analytiquement ou graphiquement

Selon qu’on veuille faire un dimensionnement ou une vérzjkation de la structure,

on utilise l’une ou l’autre des méthodes suivantes

Notes de cours CAS-IiEIElUH

FREITAS

Soit à méthode dans les réticulée

déterminer par la des noeuds,

les efforts barres de la structure illustrée ci-contre

La structure ci-dessus est un système articulé

Nota : Un treillis peut être considéré comme un ensemble de barres articulées soumises à des efforts axiaux

Comme le treillis est en équilibre,

chaque noeud doit aussi se trouver en parfait équilibre

Equilibre général du système :

Trouvons d’abord les réactions d’appui en A et B En effet,

avant l’étude d’une structure,

la connaissance de toutes les forces extérieures sur elle (charges et réactions d’appui) est nécessaire

VI,) possibles sont représentées sur le schéma cicontre

On obtient :

- 4Vh = 0

Résultat auquel il fallait

s ‘y attendre : géométrie et chargement de la structure

Notes de cours CAS-IlEIERkI

FREITAS

Equilibre

Le système étant en équilibre,

chaque noeud est en parfait équilibre

alors isoler un noeud et écrire son équilibre

On peut

C’est à dire que sous l’effet d’une forte pression,

la conduite va rompre longitudinalement suivant une de ses génératrices

Ces expressions ne sont pas valables aux droits des fonds

Exercice no8 u) Etude de structures réticulées (ou treillis articulés) I- Déterminer les efforts dans les barres de la structure ci-dessous par Ia méthode des noeuds

BC et DC par la méthode de coupe (ou méthode de Maxwell)

1200 KN

l’effort dans chaque barre de la structure ci-après

Notes de cours CAS-l/EIElW

FREITAS

Exercice 4

Exercice 5

Trouver le déplacement du noeud A sous l’effet de la charge P

Longueur AB = 1

Exercice 6 Carré de côté a = 20 cm m h = 0,2 cm

Section S = 8

E=2x105MPa

Calculer l’effort x à appliquer relier B’ à B

Notes de cours CAS-l/EIER/H

FREITAS

$ et M les éléments de réduction des forces situées d’un même côté de la section (à droite dans le cas de la figure ci-contre)

Voir cours de statique pour la définition des éléments de réduction et chapitre précédent pour la définition du repère (G,

Ce chapitre est consacré à l’étude

effets des composantes My et A& de M suivant Gy et GZ

Si 1‘une de ces 2 composantes est nulle,

Si ces 2 composantes sont différentes de zéro,

Si sur la section considérée 1‘effort normal est nul,

Si sur la section considérée 1‘effort normal n’est pas nul,

Si sur la section considérée 1‘effort tranchant est nul,

la flexion est dite pure (ou circulaire)

En plus des conditions énoncées au chapitre précedent,

le rayon de courbure est grand

) on suppose dans ce chapitre que la poutre est à plan moyen c’est à dire que les axes Gy (ou Gz) successifs le long de la poutre appartiennent à un même plan

Toutefois si la poutre « ne vrille pas trop » les résultats ci-après restent bons

Exemples

fléchies : Les courbes des moments sont dessinées du côté de la fibre tendue

t-l”o

Notes de cours CAS-VEIERM

M = i)à ,/----l\

pour simplifier l’écriture on pose ici :

M,=M Dans ce chapitre on ne considère que les contraintes dues à M

en particulier on ignore les contraintes tangentes dues à l’effort tranchant qui en général accompagne M Convention de signe :

M M ( M

M 0 pour les 4 tractions)

et déformations Pour que la section (S) soit en équilibre (voir chap

Efforts normaux)

N= j-0 (y,z)ds=O SI x My=

4 ds = 0

Comme pour l’effort normal,

ces équations ne définissent pas la répartition des contraintes

Pour connaître cette répartition on doit faire une hypothèse supplémentaire,

l’hypothèse de Navier Bernouilli : sous Z’effet du moment

fléchissant toute section droite reste plane

Comme pour l’effort normal,

les contraintes sont nulles et les seules composantes non nulles du déplacement relatif des sections S,

on a la déformation cx = ay + pz + y

Notes de cours CAS-l/EIER/H

FREITAS

D’après la loi de Hooke la contrainte normale est

E(ay+y)ds=EyS

y =o des axes est le centre de gravité

Ea y2 ds A I que I’on noie I pour amplrfier

D’où,

Avec la convention de signe adoptée pour M on a CT,> 0 pour une contrainte de traction te--+ Es> 0 pour un allongement te+

M Ex =EY cTx=-

Les contraintes sont donc proportionnelles à Y L’axe neutre (point où CT~= 0) est la droite y = 0 (axe Gz)

L’axe neutre passe par le centre de gravité de la section

Comme pour l’effort normal,

toutes les contraintes tangentes t

les contraintes oY et oz sont « pratiquement » nulles

Comme pour l’effort normal la seule composante non nulle de la déformation EX’

Déplacement relatif de 2 sections voisines Considérons une petite tranche de poutre de longueur dx

Lorsqu’elle est soumise au moment M,

on a vu que la seule composante non nulle de la A4 déformation est sX avec : &x M=-&fY

Notes de cours CAS-I/EIER/H

FREITAS

L’élément se déforme donc comme indiqué ci-après

Les sections droites restent droites

pour modifier les angles il faudrait que la déformation ait une composante suivant Gy

IY\ i\+”

Une fibre située au niveau du C

G ne change pas de longueur

Une fibre située au niveau de y s’allonge ae : EI

Le déplacement relatif de 2 sections distantes de dx est donc une rotation autour M deGzde dq=EIdx

La rotation unitaire,

rotation par unité de longueur est donc

dx EI La poutre s’incurve avec un rayon de courbure de : r =

-=-=d9 M 1

r On peut donc écrire : UT Remarque : si initialement final r,

la poutre est légèrement courbe (rayon r) le rayon

Triangle 1 fi 0 Soit

Notes de cours CAS-I/EIERiH

d O s'‘il tend le côté y>0 M,

>O s’il tend le côté z>O A4,

sont les composantes de 2 suivant

- GZ et Gy

D’après ce qui a été dit plus haut (page 61),

en adoptant « la convention de signe mathématique » on aurait : ox (y,z)=--2 MI Y+Ï

zMY z Y L’axe neutre est la droite d’équation:

Z = (),

il passe par le centre de gravité de la section

La pente de l’axe neutre : dz

Notes de cours CAS- 1/EIER/H

FREITAS

Avec les conventions de signes adoptées le centre de pression c'est le point de coordonnées :

La pente de la droite GC est :

m’=tga’=---MY MZ En particulier si N

le centre de pression C s’éloigne à l’infini dans la direction

avec pY et pz : rayons principaux

D’où GC et l’axe neutre sont 2 diamètres conjugués de l’ellipse d’inertie 3 l’axe neutre n’est pas confondu avec l’axe autour duquel se fait la flexion (axe I à GC)

Les contraintes 0x (y,

MY z = constante c’est à z Iy dire sur des parallèles à l’axe neutre

à la distance par rapport à l’axe neutre

Sous l’action de M,

le déplacement relatif de 2 sections distantes de dx est une M rotation de dpz =

Notes de cours CAS-liEIER/H

FREITAS

Sous l’action de M,

te dkglacement relatif de ces 2 sections est une rotation de My =

résultante

M,= 500 si&

M,=-500cos6=400kgm

IneTties : Iy = 8 x

2) = 144 2

: On peut trouver directement ce résultat :

La direction du centre de pression est la verticale AB

On sait que l’axe neutre est,

pour l’ellipse centrale d’inertie,

Or d’après les propriétés de l’ellipse d’inertie énoncées est le diamètre conjugué de AB

les distances étant évaluées suivant A3 et CD

La contrainte est maximum en A et B

Pour B (y = 4,

oA = + 1250 kg/cm2 La courbure

-‘-JGZ r

D’où

Autre calcul de Q :

Notes de cours CAS-IlEIERfH

FREITAS

Cette panne est inclinée de 22” par rapport à la verticale (voir dessin)

Les différents poids (verticaux) Mf horizontal

sollicitent cette panne par un moment fléchissant

(moment autour d’un axe horizontal)

(M7/ = 500 kg

moment tend la partie inférieure du UAP

Calculer la contrainte maximum du UAP

C: centre de pression

Inerties :

Rayons de giration : p,=2cm Pz = 5,9 cm

Avec les conventions de signe du cours : M,

-464 kg m

MY>O M,l) Y,,

Pour une section donnée on détermine x en écrivant la conservation de l’énergie s'(voir paragraphe 4)

On appelle S,

relative au calcul des x déformations (à ne pas confondre avec celle relative au calcul des contraintes S*

Relation entres les coefficients

E et v Considérons un petit élément carré soumis aux contraintes tangentes t

Les points C et D'viennent en C’ et D’

Les contraintes principales (voir chap

sur contraintes) sont dirigées suivant les diagonales du carré et valent k t (traction suivant AD’ et compression suivant C’B

Compte tenu du coefficient de Poisson v,

la fibre AD s’allonge de : E=-$+vt)dx,h

Considérons le triangle AKD’

V=O,5 4

- TRAVAIL

DE DEFORMATION (Energie interne) a-l Un petit élément cisaillé de volume dV = dx

lorsque le cisaillement croît (réversiblement),

dWi =‘(t

Une tranche de poutre de longueur L

!Xreçoit,

-dV=dx 6

Pour les sections massives (voir dessin page 87) l

En négligeant txz,

=T-m(yl xy Lb($)

dAS=b(yl

D’où W,

On peut tenir compte de t,,en hypothèses faites en 2ba

On a alors : Notes de cours CAS-II

FREITAYEIER

4 8 1 ‘3

dS = dy

T2 dx 2 GS,

Pour les sections constituées de profils minces s'__N abscisse

Remarque :

dS=e(s)

T2 dx ,

écriture FJ(= ~ 2GS,

analogue à celles trouvées pour l’effort normal et le moment fléchissant

Ainsi la tranche de poutre de longueur dx reqoit l’énergie

L’énergie poutre

reçue par la poutre s’obtient

T2 di le long de la 2GS,

Considérons à nouveau la tranche de peutre de longueur dx,

soumise aux efforts tranchant T

T est pour cette tranche un-e face extérieure Le travail externe fourni par l’effort tranchant quand il passe réversiblement de 0 à T est :

Le travail

Conservation de l’énergie

Wi = W,

T2 soit

T2 s'dx=C

D’où la section réduite qui intervient dans le calcul des déformations est la même que celle qui intervient dans le calcul de l’énergie interne

On a noté ces 2 sections réduites S1

Notes de cours CAS-11 H

FREITASIEIER

Posons Onaalors

Au passage calculons S* :

Remarque trouvé

4T =- 4T 3jzab 3-S

pour T dirigé suivant Gz on aurait Valeur peu différente de celle que l’on vient de calculer

Notes de cours CAS-I/

FREITAYEIER

Par exemple pour le cercle : (a = b = R)

On a vu qu’approximativement t est constante sur la hauteur de l’âme et T vaut Asâme z pour l’âme la distorsion est sensiblement constante et vaut T Y = G

VARIABLE

(Effet Résal)

Soit (S) la section d’une hauteur variable Supposons simple

(S) sollicitée