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Cahier3e

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Description

Sommaire

C • Grandeurs et mesures A3 Nombres rationnels

C Grandeurs et mesures

Série 1 Opérations en écriture fractionnaire

Série 1 Volume d'une pyramide ou d'un cône

Série 2 Aire d'une sphère,

Série 3 Calcul d'aire et de volume de figures réduites

Série 4 Conversions

Série 5 Mesurer avec des grandeurs

A5 Nombres entiers

Série 2 Effectuer une décomposition en facteurs premiers

Série 3 Rendre une fraction irréductible

Série 4 Le point sur les nombres

14 15 17

Série 1 Factoriser

A8 Équation,

29 1 2 3 4

Tester une (in)égalité

Résoudre une équation

Résoudre une inéquation

Résoudre un problème

78 80 81

A7 Calcul littéral

Série Série Série Série

D2 Transformations et parallélogramme

D3 Triangle rectangle

D4 Triangle et proportionnalité

B2 Statistiques et probabilités

B3 Fonctions

un antécédent à partir d'une courbe

Série 1 Calculer une longueur avec Thalès

Série 2 Justifier que deux droites ne sont pas parallèles

Série 3 Justifier que deux droites sont parallèles

Série 4 Reconnaître une réduction ou un agrandissement

Série 5 Calculer des longueurs réduites ou agrandies

Série 6 Construire des images par homothétie

D5 Repérage

ISBN : 978-2-210-10784-7 Dépôt légal : mars 2017 – N° éditeur : Achevé d'imprimer :

Nombres rationnels

Série 1 • Opérations en écriture fractionnaire

Opérations en écriture fractionnaire

Série 1

trois réponses sont proposées et une seule est exacte

Entoure la bonne réponse

(−2) 3 est égal à : (−3)

6 1 7

5 2 (−5)

G  1−

H  1−

NOMBRES RATIONNELS • A3

Opérations en écriture fractionnaire

Série 1

Les résultats devront être exprimés à chaque fois sous forme de fractions irréductibles

4 Calcule

5 Calcule

48 27 56

15 15 20

14 35 25

15 5 14 21

NOMBRES RATIONNELS • A3

Diviser deux nombres en écriture fractionnaire

Série 2

Correction

C 8÷5 7 3

C  −8 ÷ 5 7 −3

C 8×3 7 5

C  8×3 7×5

D  − 32 × 35 21 48

C  24 35

On multiplie par l’inverse de la fraction qui divise

0,4 × …

B −

1 = 6,2

7 − 12

E  −0,7

F  1,4

1 = −19

D  0,7

A−

entoure ceux dont 10 est l'inverse

D  −8 × 2 × 2 × 7 × 5 7× 3 × 3 × 2× 8 On simplifie

D' − 10 9

Inverse de x

Opposé de x

Inverse

1 × …

13 × …

Inverse

NOMBRES RATIONNELS • A3

1 −17

L’inverse du quart de l’opposé de 5 :

L’opposé du tiers de l’inverse de 5 : c

L’opposé de l’inverse de

13 : 15

L’inverse du quart de l’opposé de −

12 : 10

Série 2

Diviser deux nombres en écriture fractionnaire

A  5÷3

3 ÷4 4

5 7 ÷ 3 9

−7 −5 3 5 ÷ ÷ D A 7 4 −3 2

5 7 ÷ 3 2

K−

F−

NOMBRES RATIONNELS • A3

Série 2

Diviser deux nombres en écriture fractionnaire

−24 −32 −17 −34 ÷ ÷ C A 21 14 27 −21

N Que remarques-tu

1 1 1 1 5

NOMBRES RATIONNELS • A3

Synthèse

Série 3

trois réponses sont proposées et une seule est exacte

Entoure la bonne réponse

−3 3 5 × est égal à : − 4 2 2

N  

P  

NOMBRES RATIONNELS • A3

Synthèse

Série 3

On considère un rectangle EFGH de longueur les

cinq huitièmes de celle de ABCD et de largeur le tiers de celle de ABCD

Exemple de calcul : 1

Calcule et écris le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible

A  1−

Exprime l'aire de ABCD en fonction de L'et l

Exprime l'aire de EFGH en fonction de celle de ABCD

L’aire de EFGH étant de 4 800 cm²,

calcule l’aire du rectangle ABCD

B 1

NOMBRES RATIONNELS • A3

Nombres entiers

Série 1 • Effectuer une division euclidienne

Effectuer une division euclidienne

Série 1

Effectue la division euclidienne de 183 par 12

écris l'égalité qui correspond

Le quotient de 154 par

Le quotient de 884 par

25 est …

4 De tête

Complète les colonnes sans poser les divisions

Quotient

Le reste est 1

Le quotient est 190

Diviseur

Dividende

en noir le diviseur et en rouge le quotient entier puis complète

On peut donc écrire : 183 = 12 × 15  3 avec 3  12

On a 116 = (16 × 7)  4

Quels sont le quotient entier et le reste dans la division euclidienne de 116 par 16

Quels sont le quotient entier et le reste dans la division euclidienne de 116 par 7

On a 120 = (16 × 7)  8

Quels sont le quotient entier et le reste dans la division euclidienne de 120 par 16

Quels sont le quotient entier et le reste dans la division euclidienne de 120 par 7

NOMBRES ENTIERS • A5

Série 1

Effectuer une division euclidienne

Sans effectuer la division,

détermine le reste

J'obtiens 59,8453… Le quotient entier est donc 59 et 0,8453… est le quotient du reste par 2 548

Je tape : « ─59(entrée)*2548(entrée) » j'obtiens alors le reste

Avec cette méthode,

détermine

indique ceux qui sont divisibles :

Quelles sont les valeurs possibles de u pour obtenir : a

le quotient est 18 et le reste est 5

Quel est le dividende

Explique pourquoi le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair

13 Pair

Sans faire de division,

détermine le quotient et le reste de la division euclidienne de 325 par 78

NOMBRES ENTIERS • A5

Série 2

Effectuer une décomposition en facteurs premiers

rrigé Exercice co Décompose en produit de facteurs premiers le nombre 4 680

Correction 4 680 est pair,

divisible par 2 2 340 ÷ 2 = 1 170 à nombre pair,

divisible par 2 1 170 ÷ 2 = 585 à fini par 5,

divisible par 5 585 ÷ 5 = 117 à 1  1  7 = 9,

divisible par 3 117 ÷ 3 = 39 à 3  9 = 12,

divisible par 3 39 ÷ 3 = 13 à nombre premier La décomposition de 4 680 est donc : 4 680 = 23 × 32 × 5 × 13

Donne tous les nombres premiers strictement compris entre 880 et 900

Pourquoi

À la calculatrice,

donne les résultats arrondis au dixième de la division de 607 par les autres nombres premiers

Donne tous les nombres premiers strictement inférieurs à 30

On essaye de diviser par les nombres premiers des plus petits au plus grands

Ou bien par les plus faciles à identifier (2 ou 5)

Donc : 4 680 = 23 × 32 × 5 × 13

À partir de quel nombre stopper la recherche

Détermine la décomposition en produit de facteurs premiers de : a

308 

252 

3 780 

puis donne une décomposition en produit de facteurs premiers des nombres que tu n’as pas entourés

3 780 

1 470 

3 780 

NOMBRES ENTIERS • A5

Rendre une fraction irréductible

Série 3

Sachant que 225 et 375 sont divisibles par 75,

Sachant que 1 139 et 140 sont divisibles par 2 278 irréductible

Écris 504 et 540 sous forme de produits de facteurs premiers

Rends alors la fraction

385 

153 

120 

2² × 3 × 5³ 

6 Rends

NOMBRES ENTIERS • A5

Série 3

Rendre une fraction irréductible

Quel est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres

1 080 288

On peut cependant trouver des fractions qui approchent √ 2 avec une bonne précision

Une technique pour obtenir certaines de ces fractions consiste à les construire de la façon suivante

N+2D 3 On part de et on construit la fraction N+D 2 a

En utilisant cette technique,

complète le tableau suivant :

N  2D

Fraction obtenue

Simplifie la fraction irréductible

Complète les décompositions en produits de facteurs premiers des nombres 3 528 et 6 174 : 3 528  2…

× 3…

× 7…

× 3…

× 7…

Simplifie la fraction

Décompose 1 430 et 6 383 en produits de facteurs premiers

Prouve que la dernière fraction obtenue est irréductible

La fraction

Avec une calculatrice détermine l’écart de valeur entre la dernière fraction obtenue et √ 2

Obtient-on une bonne approximation de √ 2

NOMBRES ENTIERS • A5

Le point sur les nombres

Série 4

Parmi ces nombres entoure en rouge les nombres entiers naturels et raye en bleu les nombres entiers relatifs

Les nombres réels qui ne sont pas des rationnels sont des irrationnels

Complète par des croix l'appartenance d'un nombre à un ensemble

Entier Entier Décimal Rationnel naturel relatif

Que remarques-tu

25 −5

Comment peut-on nommer les nombres entiers relatifs qui ne sont pas des entiers naturels

2,3 × 10

Parmi ces nombres entoure en rouge les nombres décimaux et raye en bleu les nombres rationnels (quotient de deux entiers relatifs)

2,5 500

1 82 −6

Que remarques-tu

Écris la liste de tous les diviseurs de 220 et de 284

écris chaque fraction avec un dénominateur qui soit une puissance de 10 (1

Si cela n'est pas possible donne une valeur approchée du quotient avec le plus de décimales possible (calculatrice)

Calcule la somme des diviseurs obtenus pour chaque nombre

Que remarques-tu

25 2 

De tels nombres sont appelés « nombres amis »

Montre que 5 020 et 5 564 sont amis

NOMBRES ENTIERS • A5

Série 4

Le point sur les nombres

Un nombre entier N est « parfait » s'il est égal à la demi-somme de ses diviseurs

Exemple : 6 à pour diviseurs 1

De plus 6  (1  2  3  6) ÷ 2

Donc 6 est un nombre parfait

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10

Montre que 28 et 496 sont parfaits

Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 10

Donne décimale

Déduis-en la décomposition en produit de facteurs premiers de 10n

« Si la décomposition en produit de facteurs premiers du dénominateur ne contient que des 2 et des 5 alors une fraction peut être écrite sous forme de fraction décimale

Trouve un nombre parfait qui a au moins deux diviseurs 3 et 17

Quand le résultat de la somme est un nombre premier on le multiplie par la dernière puissance de 2 utilisée

On obtient un nombre parfait

Détermine quel sera le prochain nombre obtenu de cette façon

Prouve que ce nombre est bien parfait

NOMBRES ENTIERS • A5

Montre que cette proposition est vraie pour les fractions suivantes

Parmi les fractions suivantes certaines sont décimales

Repère-les et écris-les sous forme de fractions décimales

Fraction 7 16 2 45 3 15 25 75

Décimale

Fraction décimale

Calcul littéral

Série 1 • Factoriser

Série 1

Factoriser

Factorise : D'= (9x − 4)(5x  6) − (9x − 4)(3x  11)

Factorise les expressions suivantes

• B = 25x2 − 20x  4 • C = 64x2 − 49

Correction a

D'= (9x − 4)(5x  6) − (9x − 4)(3x  11)

D'= (9x − 4)(5x  6) − (9x − 4)(3x  11) D'= (9x − 4)[(5x  6) − (3x  11)] D'= (9x − 4)[5x  6 − 3x − 11] D'= (9x − 4)(2x − 5) b

• A = x2  6x  9 A = x2  2 × x × 3  32 A = (x  3)2 2

Factorise B par (x − 7) puis réduis

B = (5x − 3)(x − 7) − (2x  4)(x − 7)

C = (2x − 1)(x − 5)  (3x  7)(x − 5)

D'= (2x  5)(x − 3)  (2x  5)(−3x  1)

• B = 25x – 20x  4 B = (5x)2 − 2 × 5x × 2  22 B = (5x − 2)2

• C = 64x2 − 49 C = (8x)2 − 72 C = (8x  7)(8x − 7)

E = (3x  7)(2x − 9) − (3x  7)(5x − 7)

Dans les sommes et les différences suivantes,

(x  1)(2x − 5)  (x − 7)(x  1) d

Transforme les sommes et les différences suivantes de façon à faire apparaître un facteur commun

Entoure en rouge ce facteur

F = (−3x  4)(3x − 8) − (−3x  4)(7x  2)

G = (8y  3)(5y  7) − 3(8y  3)(2y − 1)

(t − 7)(2t  1)  (2t  1)² =

Factorise A par (x  2) puis réduis

A = (x  2)(2x − 1)  (x  2)(3x  2)

En factorisant,

vérifie que D'= (2x  1)(4x  8)

En factorisant 4x  8,

déduis-en une nouvelle factorisation de D

CALCUL LITTÉRAL • A7

Série 1

Factoriser

C = 2y2 − y(4y − 7)

A = (2x  1)(x − 3)  (2x  1)

A = (2x  1)(x − 3)  (2x  1) × …

A = (2x  1) ×

B = (3x  2) − (2x − 7)(3x  2)