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Caderno de apoio ao professor

Fisico Quimica Caderno Apoio Ao Professor Hjyyuwf Ebook - 25

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o ANO Matemática Aplicada às Ciências Sociais

CADERNO DE APOIO AO PROFESSOR ELISABETE LONGO • ISABEL BRANCO

∫ Proposta de planificação ∫ Sugestão de resolução de atividades ∫ Fichas de trabalho

ÍNDICE

INTRODUÇÃO

SUGESTÕES PARA UTILIZAÇÃO DO MANUAL

Conteúdos programáticos

Proposta de planificação

Tema 3 Modelos matemáticos

Capítulo 2 Modelos de grafos

Capítulo 3 Modelos populacionais

Tema 4 Modelos de probabilidade

Tema 5 Introdução à Inferência Estatística

SUGESTÕES DE RESOLUÇÃO DE ALGUMAS ATIVIDADES DO TEMA 3

FICHAS DE TRABALHO

SOLUÇÕES DAS FICHAS DE TRABALHO

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

INTRODUÇÃO

É indiscutível que um Caderno de Apoio ao Professor é um material que proporciona ao docente um importante apoio na organização e na preparação das aulas

encontram-se neste Caderno sugestões de planificação dos diversos temas,

bem como propostas de trabalho

Nestas incluem-se um conjunto de Fichas de Trabalho / Avaliação (material fotocopiável),

que poderão ser policopiadas e trabalhadas individualmente ou em grupo,

na sala de aula ou como atividade extra-aula,

para consolidação dos conteúdos (por exemplo,

como trabalho de casa) ou até mesmo como elemento de avaliação

A razão pela qual decidimos não incluir fichas globais prende-se com o facto de que cada grupo turma,

é um caso,

e os ritmos de trabalho e de aprendizagem são muito variáveis

com a variedade de exercícios/atividades propostos,

criar as suas próprias fichas globais,

incluindo apenas alguns exercícios dos diferentes temas

Por o Programa de Matemática Aplicada às Ciências Sociais ser bastante inovador,

e porque muitas das justificações das atividades têm por base raciocínios e não cálculos,

neste Caderno de Apoio ao Professor,

sugestões de resolução de algumas atividades do Manual referentes ao Capítulo 2 do Tema 3 – Modelos de grafos

Para um maior apoio ao professor,

na encontram-se 14 apresentações em Powerpoint que poderão ser usadas quer nas aulas destinadas à apresentação de conteúdos (pois incluem vários exemplos) quer nas aulas destinadas a revisões

Todos os temas do Manual são tratados através da abordagem de assuntos muito atuais e fornecem inúmeras opções de trabalhos de campo que,

incentivam a investigação e o espírito de iniciativa dos estudantes

Esperamos,

que este Caderno seja um apoio importante nas diversas tarefas de lecionação do professor

As Autoras

Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortográfico

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

A possibilita a fácil exploração do projeto MACS através da utilização das novas tecnologias em sala de aula

Esta ferramenta permite ao professor tirar o melhor partido deste projeto escolar,

simplificando o seu trabalho diário

Através da ,

o professor poderá não só projetar e explorar as páginas do manual na sala de aula,

como também aceder a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados no Manual para tornar a aula mais dinâmica: • 14 apresentações em PowerPoint que podem ser usadas quer na exposição de conteúdos,

quer como síntese dos assuntos estudados

• Resoluções de algumas atividades e de diversos exercícios do manual,

para projeção na sala de aula

• Testes Interativos – extenso banco de testes interativos,

personalizáveis e organizados pelos diversos temas do manual

• Links Internet de apoio ao estudo,

para a obtenção de mais informação

Para que o docente possa comunicar mais facilmente com os seus alunos,

a de mensagens e a partilha de recursos

Para poder avaliar facilmente os seus alunos,

o professor poderá: • Utilizar os testes pré-definidos ou criar um à medida da sua turma,

a partir de uma base de mais de 200 questões

• Imprimir os testes para distribuir,

projetá-los em sala de aula ou enviá-los aos seus alunos com correção automática

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

SUGESTÕES PARA UTILIZAÇÃO DO MANUAL Conteúdos programáticos Dando continuidade ao Manual do 10

prosseguimos com o Tema 3 – Modelos Matemáticos –,

agora com mais dois capítulos,

• TEMA 3 Modelos matemáticos Capítulo 2 Modelos de grafos Capítulo 3 Modelos populacionais

• TEMA 4 Modelos de probabilidade • TEMA 5 Introdução à Inferência Estatística

Proposta de planificação Apresentamos,

uma proposta de planificação das aulas,

conforme a distribuição feita pelo Programa,

precedida de uma referência aos objetivos específicos de cada um

Relembramos que uma aula corresponde a 90 minutos

Tema 3 Modelos matemáticos – 30 aulas Capítulo 2 Modelos de grafos – 17 aulas Objetivos:

• Desenvolver competências para determinar o essencial de uma determinada situação,

de modo a desenhar esquemas apropriados a uma boa descrição

• Procurar modelos e esquemas que descrevam situações realistas de pequenas distribuições

• Tomar conhecimento de métodos matemáticos próprios para encontrar soluções de problemas de gestão

• Encontrar estratégias passo-a-passo para obter possíveis soluções

• Descobrir resultados gerais na abordagem de uma situação

procurar esquemas combinatórios (árvores) que permitam calcular pesos totais de caminhos possíveis

• Encontrar algoritmos – decisões passo a passo para encontrar soluções satisfatórias

• Discutir sobre a utilidade e viabilidade económica (e não só) da procura das soluções ótimas

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Planificação N

Conteúdos

Sugestões

• Apresentação dos objetivos do capítulo • O que é um grafo

Depois de resolverem o Exemplo 2 da «casa» (página 9),

discutir a Atividade 1 da página 10,

as diferentes soluções obtidas por cada grupo

• Trajeto e circuitos eulerianos

Deve ser feita uma referência em termos históricos ao início da Teoria de Grafos

Poderá mesmo ser proposto aos alunos que façam um pequeno trabalho de pesquisa que os leve até Königsberg,

acompanhados por Leonard Euler

Em seguida,

os alunos poderão resolver (em grupo ou não) as atividades propostas (páginas 14 e 15) e os exercícios de aplicação indicados nas margens

Os alunos deverão escrever um pequeno texto sempre que,

na resolução de uma atividade,

esteja implícito algum raciocínio e não um cálculo

Consultar PowerPoint em

O Manual apresenta,

um exemplo bastante elucidativo do que são problemas deste tipo

Sugere-se a resolução (em grupo) das atividades propostas nas páginas 18 a 20 e a discussão das conclusões na aula

Os alunos deverão escrever um pequeno texto sempre que,

na resolução de uma atividade,

esteja implícito algum raciocínio e não um cálculo

Com a eulerização de grafos,

antes de verem o exemplo da página 21,

os alunos poderão ser confrontados com a situação,

É importante que percebam o que é uma boa eulerização

poderão analisar os exemplos resolvidos para depois passarem à resolução das atividades das páginas 23 e 24

Consultar PowerPoint em

O exemplo da página 26 é bastante elucidativo para a procura de um circuito hamiltoniano

As atividades das páginas 29 a 31 podem ser resolvidas em grupo,

devendo os alunos escrever um pequeno texto que descreva o raciocínio utilizado

O Manual apresenta,

um exemplo bastante elucidativo do que são problemas do tipo do problema do caixeiro viajante

Segue-se a resolução (em grupo) da atividade proposta na página 36 e a discussão das conclusões na aula

O exemplo da página 37 mostra muito claramente a aplicação dos dois algoritmos em estudo e deverá ser analisado antes de se passar à resolução das atividades pro

Consultar PowerPoint em

• O problema do carteiro chinês • Eulerização de grafos

• Circuitos hamiltonianos • O problema do caixeiro viajante

Continua → Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Sugestões

O conceito de árvore abrangente é simples,

bem como o de algoritmo de Kruskal e a sua aplicação

O exemplo da página 45 é muito elucidativo

Podem resolver-se em seguida as atividades das páginas 46 e 47

Consultar PowerPoint em

Pode solicitar-se aos alunos que,

elaborem um projeto para uma festa no final do ano letivo: o que é necessário,

quanto tempo será necessário para cada tarefa,

quais estarão dependentes de outras (por exemplo,

se não conseguirem contratar uma banda,

terão de providenciar música de outra forma)

De seguida,

podem seguir-se dois caminhos: analisar os exemplos resolvidos no Manual e,

cada grupo estrutura o seu projeto,

apresentando-o posteriormente em sala de aula,

ou então analisam-se num debate os projetos de cada grupo,

Só depois se partiria para a análise dos exemplos resolvidos do Manual (páginas 48 a 50)

Consultar PowerPoint em

Podem discutir-se atividades propostas pelo professor ou pelos alunos ou,

consolidarem-se os conceitos do capítulo através da resolução de exercícios,

quer dos propostos no Manual (Exercícios de Aplicação e Exercícios Globais),

quer dos das Fichas de Trabalho (Fichas 1,

3 e 4),

quer dos do Caderno de Exercícios

Conteúdos • Árvores

sempre que o professor considere oportuno dedicar uma aula,

à resolução de atividades/exercícios

Capítulo 3 Modelos populacionais – 13 aulas Objetivos:

• Familiarizar os estudantes com modelos discretos de crescimento populacional

• Comparar o crescimento linear com o crescimento exponencial através do estudo de progressões aritméticas e geométricas

• Familiarizar os estudantes com modelos contínuos de crescimento populacional

• Comparar os crescimentos linear,

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Planificação N

Conteúdos

Sugestões

• Apresentação dos objetivos do capítulos • Tipos de crescimento populacional

Os alunos poderão fazer algum trabalho de pesquisa (sobre tipos de crescimento populacional) antes desta aula,

nela expondo as suas conclusões

Com isto,

poderá ser mais simples introduzir os conceitos que se pretende expor

O exemplo da página 65 é bastante elucidativo para a introdução do modelo linear

Sugere-se,

a resolução da atividade da página 67,

bem como dos exercícios indicados nas margens

O exemplo aborda novamente a reta de regressão (estudada no tema Estatística,

o ano) e serve de introdução ao modelo de crescimento linear contínuo

Deve seguir-se a resolução da atividade da página 70

Consultar PowerPoint em

O exemplo da página 70 é bastante elucidativo para a introdução do modelo exponencial discreto e relembra o caso dos juros compostos,

já estudados no capítulo Modelos Financeiros,

Sugere-se,

em seguida a resolução das atividades das página 72,

bem como dos exercícios indicados nas margens

O exemplo da página 72 é bastante elucidativo para a introdução do modelo exponencial contínuo

Sugere-se,

a análise e resolução do exemplo e da atividade das páginas 75 a 77,

que requerem a regressão exponencial para determinar um modelo de crescimento adequado

Consultar PowerPoint em

O exemplo da página 78 – «as renas do estreito de Bering» – é bastante elucidativo para a introdução do modelo logístico

Poder-se-á pedir aos alunos que,

tentem encontrar situações semelhantes

Podem aplicar diretamente o modelo apresentado no exemplo da página 79

Sugere-se,

em seguida a análise e resolução das atividades das páginas 81 e 84,

onde se utiliza a regressão logística para determinar um modelo de crescimento

Consultar PowerPoint em

A noção de logaritmo é importante para este modelo,

mas apenas devem ser dados aos alunos os conceitos necessários para o cálculo de valores num modelo logarítmico

Sugere-se,

a resolução do exemplo e da atividade da página 86

No exemplo e na atividade das páginas 87 e 88,

a partir de um conjunto de dados,

que se determine o modelo de crescimento logarítmico: são problemas interessantes e motivadores,

não só por se tratar de situações em contexto real mas também por proporcionar a utilização de novas tecnologias (calculadora e/ou computador)

Consultar PowerPoint em

Podem discutir-se atividades propostas pelo professor ou pelos alunos ou,

consolidar os conceitos do capítulo através da resolução de exercícios,

quer dos propostos no Manual (Exercícios de Aplicação e Exercícios Globais),

quer dos das Fichas de Trabalho (Fichas 5,

6 e 7),

quer dos do Caderno de Exercícios

sempre que o professor considere oportuno dedicar uma aula,

à resolução de atividades/exercícios

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Tema 4 Modelos de probabilidade – 35 aulas Objetivos:

• Dar a entender aos estudantes a diferença entre fenómeno determinístico e fenómeno aleatório

• Alertar para as vantagens de encontrar modelos matemáticos apropriados para este tipo de fenómenos

• Construir modelos de probabilidade para situações simples em que se admita como razoável o pressuposto de simetria ou equilíbrio

• Calcular a probabilidade de alguns acontecimentos a partir dos modelos construídos

• Construir modelos de probabilidade para situações um pouco mais complexas utilizando a regra do produto

• Apreender as propriedades básicas de uma função massa de probabilidade

• Identificar acontecimentos em espaços finitos

• Saber calcular as probabilidades de alguns acontecimentos utilizando propriedades da probabilidade

• Fazer compreender a noção de probabilidade condicional através de exemplos simples

• Mostrar a utilidade das árvores de probabilidades como instrumento de organização de informação quando se está perante uma cadeia de experiências aleatórias

• Ilustrar a forma de cálculo de probabilidades de acontecimentos utilizando uma árvore de probabilidades

• Apresentar a definição de probabilidade condicional (tomando como base uma representação em diagrama de Venn de uma população classificada de forma cruzada segundo diversas categorias)

• Utilizar a definição de probabilidade condicional para formalizar a noção intuitiva de acontecimentos independentes

• Apresentar a definição de acontecimentos independentes

• Introduzir os estudantes nas técnicas bayesianas

• Fazer a distinção entre valor médio (ou média) populacional e média amostral e também,

para a variância e outras características já referidas no estudo descritivo de amostras

• Alargar a noção de população como um conceito subjacente a um modelo de probabilidade

• Apresentar de forma justificada as fórmulas de cálculo do valor médio e da variância para modelos quantitativos de espaços de resultados finitos

• Mostrar o interesse em adotar modelos com suporte não finito em situações onde o conjunto de resultados possíveis não seja conhecido na sua totalidade ou seja demasiado extenso

• Calcular probabilidades de acontecimentos a partir de alguns modelos contínuos simples

• Salientar a importância deste modelo referindo o teorema limite central

• Referir as principais características de um modelo normal ou gaussiano

• Calcular probabilidades com base nesta família de modelos recorrendo ao uso de uma tabela da função de distribuição de uma normal standard

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Planificação Sugestões

• Apresentação dos objetivos do capítulo • Fenómenos aleatórios

Os alunos poderão fazer algum trabalho de pesquisa (sobre a Teoria das Probabilidades) antes desta aula

Com isto poderá ser mais simples introduzir os conceitos que se pretende

Na apresentação deve ser feita,

pelo professor ou pelos alunos,

uma referência em termos históricos ao início da Teoria das Probabilidades

Pedir aos alunos que deem exemplos de fenómenos aleatórios e determinísticos,

uma vez que estes termos já são conhecidos do 9

• Argumentos de simetria e regra de Laplace

A regra de Laplace já foi abordada no 9

pelo que os alunos devem recordar-se,

devendo o professor tirar proveito desta situação para que eles participem

Os exemplos 1 e 2,

serão um bom exemplo para começar a recordar esses conceitos

As atividades das páginas 117 a 123 servirão para consolidar os conhecimentos

• Modelos de probabilidade em espaços finitos • Variáveis quantitativas • Função massa de probabilidade

O Manual apresenta os exemplos 1 a 4,

páginas 124 e 128,

que elucidam bem o aluno do que é um modelo de probabilidade

As atividades seguintes servirão para consolidação dos conhecimentos

Consultar PowerPoint em

• Probabilidade condicional • Árvores de probabilidades • Acontecimentos independentes

O exemplo da página 128 é bastante elucidativo para o início do estudo da probabilidade condicional

Sugere-se a resolução (em grupo) das atividades propostas nas páginas 132 a 134 e discussão das conclusões na aula

Consultar PowerPoint em

• Teorema da probabilidade total • Regra de Bayes

O Exemplo 1 da página 135 é um bom exemplo de aplicação do teorema da probabilidade total

O Exemplo 2 da página 136 será elucidativo da aplicação da regra de Bayes

As atividades que se seguem servirão para consolidar a aplicação da regra/teorema

• Valor médio e variância populacional

Deverá ser feita uma breve revisão dos conceitos lecionados em Estatística no ano anterior,

já que serão necessários neste tema

O Exemplo 1,

página 138,

servirá como revisão desses conceitos

Deve ser feita a distinção entre valor médio e média amostral,

bem como entre variância amostral e populacional

Conteúdos

Continua → Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Conteúdos

Sugestões

• Espaços de resultados infinitos • Modelos discretos • Modelos contínuos

Os Exemplos 1 e 2 das páginas 143 e 144 são elucidativos da aplicação do modelo de Poisson

O Exemplo 3 da página 146 é um bom exemplo de aplicação do modelo geométrico

As atividades que se seguem servirão como consolidação dos conhecimentos adquiridos

O Exemplo 4,

ilustra a aplicação do modelo binomial

Os Exemplos 5 e 6,

páginas 151 e 155,

são elucidativos da aplicação dos modelos uniforme e exponencial

Algumas atividades propostas podem ser resolvidas em grupo,

devendo os alunos escrever um pequeno texto que descreva o raciocínio utilizado

A calculadora gráfica será uma ferramenta importante para a análise do comportamento das funções

Consultar PowerPoints em

Antes de iniciar o estudo do modelo normal deverá ser feita uma revisão sobre a distribuição normal lecionada no ano anterior no capítulo da Estatística

O Exemplo 1,

é elucidativo da aplicação deste modelo

Consultar PowerPoint em

Podem discutir-se atividades propostas pelo professor ou pelos alunos ou,

consolidar os conceitos do capítulo através da resolução de exercícios,

quer dos propostos no Manual (Exercícios de Aplicação e Exercícios Globais),

quer dos das Fichas de Trabalho (Fichas 8,

10 e 11),

quer dos do Caderno de Exercícios

sempre que o professor considere oportuno dedicar uma aula,

à resolução de atividades/exercícios

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Tema 5 Introdução à Inferência Estatística – 25 aulas Objetivos:

• Apresentar as ideias básicas de um tipo de raciocínio com que os estudantes são confrontados pela primeira vez,

a partir das propriedades estudadas num conjunto de dados,

se procurarão tirar conclusões para um conjunto de dados mais vasto

• Apresentar as ideias básicas de um processo de inferência estatística,

em que se usam estatísticas para tomar decisões acerca de parâmetros

• Mostrar toda a potencialidade da Estatística,

que nos permite tirar conclusões e tomar decisões,

indo do particular para o geral,

quantificando o erro cometido nessa tomada de decisões

Planificação Sugestões

• Apresentação dos objetivos do tema • Métodos de amostragem

O professor poderá fazer uma breve introdução a este tema,

relembrando alguns conceitos de anos anteriores e mostrando a necessidade da escolha de uma amostra para fazer determinado estudo

Os Exemplos 1 a 3,

página 185,

mostram a inviabilidade da utilização de uma população para o estudo considerado

Após terem sido referidos os métodos de amostragem,

seguem-se algumas atividades de investigação que podem ser resolvidas em grupo e em que os alunos têm de elaborar um pequeno texto que descreva o raciocínio utilizado

• Parâmetro e estatística • Estimativa pontual

Apresentar as ideias básicas de um processo de Inferência Estatística,

em que se usam estatísticas para tomar decisões acerca de parâmetros

O Exemplo 1,

página 189,

é elucidativo da diferença entre as duas medidas

Os exercícios das margens também podem ser resolvidos para melhor consolidação

• Distribuição de amostragem de uma estatística • Estimação do valor médio

O Exemplo 1 das páginas 192 a 195 é um bom exercício para iniciar a distribuição do valor médio

A utilização da folha de cálculo na seleção de amostras é uma ferramenta importante

Conteúdos

Continua → Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Conteúdos

Sugestões

Mostrar aos alunos a importância do teorema do limite central na distribuição de amostragem para grandes amostras

Os Exemplos 1,

páginas 201 a 204,

são importantes para que os alunos percebam a aplicação do teorema referido

• Intervalos de confiança para o valor médio de uma variável

Mostrar aos alunos que nem sempre é possível ou oportuno fazermos uma estimativa pontual

o estudo dos intervalos de confiança

Após o estudo das formas dos intervalos de confiança para os níveis de confiança mais usados,

existem muitos exercícios que o aluno pode resolver para consolidar esta matéria

• Estimativa pontual da proporção

Seguir o mesmo raciocínio da estimativa pontual do valor médio

Mais uma vez,

a utilização da folha de cálculo na seleção de amostras é uma ferramenta importante

• Intervalos de confiança para a proporção

Seguir um raciocínio análogo ao dos intervalos de confiança para a média

Consultar PowerPoint em

• Interpretação do conceito de intervalo de confiança

Este ponto serve como sistematização dos intervalos de confiança

Pedir aos alunos que encontrem notícias em jornais ou revistas com estimativas e intervalos de confiança para o valor médio e para a proporção,

que poderão ser apresentados e interpretados em aula

O cálculo do tamanho da amostra é um ponto importante para o estudo das estimativas

Podem discutir-se atividades propostas pelo professor ou pelos alunos ou,

consolidar os conceitos do capítulo através da resolução de exercícios,

quer dos propostos no Manual (Exercícios de Aplicação e Exercícios Globais),

quer dos das Fichas de Trabalho (Fichas 12,

13 e 14),

quer dos do Caderno de Exercícios

sempre que o professor considere oportuno dedicar uma aula,

à resolução de atividades/exercícios

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

SUGESTÕES DE RESOLUÇÃO DE ALGUMAS ATIVIDADES DO TEMA 3 Apresentamos em seguida algumas sugestões de resolução de atividades do Capítulo 2 do Tema 3 – Modelos de grafos,

por ser aquele que envolve alguns raciocínios matemáticos diferentes daqueles com que alunos e professores estão mais familiarizados

Tema 3 Modelos matemáticos Capítulo 2 Modelos de grafos 2

podendo cada um apresentar mais do que uma solução

Algumas das soluções possíveis são: Padaria

Padaria

Padaria

Atividade 2 (pág

Por exemplo,

Acrescentando sucessivamente os dados da tabela,

D E Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

uma solução para cada um dos grafos apresentados:

ATIVIDADE 2 (pág

Auditório

Arrumos

Sala de alunos Cyber-room

Bar Átrio

Papelaria

O auditório e o cyber-room têm um número ímpar de portas,

o que torna impossível o Jacinto ter passado por todas elas e acabar do lado de fora do pavilhão

é o Jacinto quem está a mentir

ATIVIDADE 3 (pág

Se considerarmos que cada cruzamento é representado por um vértice,

Ponto de partida Habitação

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Observamos que existem vários vértices de grau ímpar (são 4),

o que torna impossível a pretensão do guarda-noturno

O trajeto que repete o menor número de ruas é: 6

ATIVIDADE 4 (pág

o guarda-noturno deverá percorrer cada rua que tenha casas dos dois lados,

Uma das soluções possíveis é: 10 11 21 22 24

8 18 6 5

ATIVIDADE 5 (pág

podemos obter o seguinte grafo:

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Como cada rua com parquímetros dos dois lados deve ser percorrida duas vezes,

obtemos como solução possível o seguinte grafo: 13

I – Início do percurso F – Fim do percurso

Zona urbana 2 – De forma análoga à anterior,

sendo um dos percursos possíveis do controlador dado por: 10

Zona urbana 3 – O grafo a percorrer será:

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Um percurso possível é:

I – Início do percurso F – Fim do percurso

ATIVIDADE 7 (pág

Ponto de partida Contentor de lixo

… o que contribui para «complicar» são os sentidos impostos

O mais simples que conseguimos foi: P=F 24 34 44 19 33 43 6 12 18 32 42

35 25 1

20 23 7

27 26 36

21 22 8 14

39 15 9

10 16 40

Será possível melhorar este percurso

? Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

ATIVIDADE 9 (pág

Facilmente se verifica que as divisões S e T têm um número ímpar de portas

a Eugénia não consegue percorrer todas as divisões da mansão passando uma só vez por cada porta e regressar à divisão inicial

abrir (ou fechar) mais uma porta de S para T ,

para conseguir o que pretendia

ATIVIDADE 10 (pág

Souvenirs

Entrada

Não é possível percorrer todo o jardim começando na entrada,

passando uma única vez por cada porta e terminando na loja de souvenirs porque,

para além dos vértices F (início) e B (fim),

existem mais vértices de grau ímpar

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

B e F podem ter grau ímpar,

Construindo mais uma ponte entre A e D',

ATIVIDADE 11 (pág

é fácil obter um circuito euleriano neste tipo de grafo

Por exemplo: A

Como complemento,

poderá propor aos seus alunos que tentem encontrar mais circuitos hamiltonianos neste grafo

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

ATIVIDADE 2 (pág

Porque não fazer uma rota dos castelos ou de ruínas romanas

ATIVIDADE 3 (pág

é fácil encontrar um circuito hamiltoniano: A C D'E B A ,

No entanto,

se retirarmos a aresta AC (por causa da rotura do cano da água),

já não é possível encontrar um circuito hamiltoniano

ATIVIDADE 4 (pág

para regressar novamente à Gare do Oriente,

o metropolitano terá de repetir as estações Olaias,

Bela Vista,

Chelas,

Olivais e Cabo Ruivo

No entanto,

se começar e acabar na Alameda,

sem repetição de estações,

já será possível (Alameda,

Campo Grande,

Marquês,

Baixa-Chiado e,

Alameda)

ATIVIDADE 5 (pág

obtemos o seguinte grafo ponderado: S

142 248

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

A árvore que se obtém,

E Total: 611 km

E E 582 km 683 km

E E 611 km 683 km

E 582 km

O menor percurso,

é: Évora

Setúbal

Para saber o percurso ótimo temos de determinar todos os percursos possíveis: uma árvore para cada cidade de onde se parte

Com alguma paciência,

podemos concluir que o amigo poderia ter saído de qualquer uma das quatro cidades,

desde que tivesse feito um percurso determinado:

• Saindo de Beja: • Saindo de Faro:

Esta atividade poderá ser adaptada à região em que os alunos habitam,

com pontos de interesse a ver durante uma visita

O professor pode aumentar para cinco o número de cidades,

de modo que os alunos verifiquem que o acréscimo de uma cidade aumenta de 6 para 24 o número de percursos

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

ATIVIDADE 6 (pág

cada um correspondente a cada um dos pontos de partida:

Total: 255 km

Total: 230 km

Total: 255 km

Total: 230 km

Total: 230 km

40 50 55

40 45 30

Qualquer dos percursos

B A C D'E B ,

D E B A C D'ou E D'C A B E com um comprimento igual a 230 km,

é um percurso mínimo

Obtém-se um comprimento mínimo com este algoritmo,

igual ao já obtido pelo algoritmo por ordenação do peso das arestas

ATIVIDADE 7 (pág

Os alunos devem ser confrontados com esta situação,

de modo a sentirem necessidade de encontrar um processo menos moroso para chegar a uma boa solução

Utilizando os dois algoritmos,

podemos obter uma dessas soluções

podendo não ser a solução ótima,

é uma boa solução

Algoritmo dos mínimos sucessivos

Total: 873 km

Total: 831 km

Total: 860 km

Total: 873 km

Total: 860 km

252 201

60 60 78

306 371

333 371

O melhor percurso,

é E B L'C A E ,

Algoritmo por ordenação dos pesos das arestas Usando este algoritmo,

com uma distância total igual a 860 km

Conclusão: Obtemos um percurso melhor usando o algoritmo dos mínimos sucessivos do que usando o algoritmo por ordenação dos pesos das arestas

O armazém de distribuição deve ficar em Évora

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

ATIVIDADE 8 (pág

vamos novamente aplicar os dois algoritmos para poder tirar conclusões

Algoritmo dos mínimos sucessivos

Total: 35 dezenas de metros

Total: 35 dezenas de metros

Total: 35 dezenas de metros

Total: 36 dezenas de metros

Total: 35 dezenas de metros

Total: 35 dezenas de metros

Pelo algoritmo das arestas classificadas obtém-se também um circuito de comprimento igual a 35 dezenas de metros: A 7

Conclusão: O agente poderá deixar o automóvel junto a qualquer prédio,

e vai percorrer uma distância igual a 35 dezenas de metros

ATIVIDADE 9 (pág

→ PD → L'→ LF → RG → F → P → VF → SC → N → A 5

Total: 333 km

Pelo algoritmo das arestas classificadas,

A Total: 273 km 18

No manual encontramos um percurso menor do que qualquer um destes,

o que vem reforçar a ideia de que apenas o método exaustivo nos garante uma solução ótima

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Observando o grafo,

vamos colocar as arestas por ordem crescente do peso das arestas: B

Em seguida,

vamos ligando os vértices de acordo com os pesos das arestas (do menor para o maior) sem formar circuitos

é: B A

com um comprimento total de 111 metros

ATIVIDADE 2 (pág

É importante que os alunos se familiarizem com diversas situações em que a aplicação do algoritmo de Kruskal nos permite obter soluções ótimas

Neste caso,

o percurso mínimo para o camião é de 208 km e pode traduzir-se pela árvore: C

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

ATIVIDADE 3 (pág

mas é o ponto de partida para um trabalho de campo

O professor poderá propor aos alunos a realização de um trabalho que trate o mesmo assunto da atividade (percurso dos bombeiros),

embora aplicado à zona em que os alunos habitam

É importante que os alunos vejam a aplicação destes conceitos (grafo,

árvore) em situações concretas do dia a dia e se envolvam

Para esta atividade,

o tempo mínimo para os bombeiros será de 22 minutos e o percurso é representado pela árvore: B

ATIVIDADE 4 (pág

um acompanhamento constante e uma perfeita coordenação das tarefas inerentes à sua concretização,

não só para evitar atrasos,

mas também para evitar custos adicionais

No caso concreto desta atividade,

pretendemos esquematizar através de um grafo a informação fornecida pela tabela e que diz respeito às tarefas que ocorrem diariamente num aeroporto

tendo em conta não só os tempos necessários à concretização de cada uma das tarefas mas,

às suas dependências,

podemos traduzir os dados da tabela no grafo seguinte:

As tarefas T 1 e T 3 iniciam-se simultaneamente: ao fim de 8 minutos T 2 começa e após 14 minutos (do início) podem começar as tarefas T 4 ,

T 5 e T 7

São necessários mais 13 minutos (14 + 13 = 27 minutos após o início das operações) para dar início a T 6

Nesta altura T 2 já terminou mas T 4 e T 7 ainda não

Para concluir T 4 são necessários 14 minutos (para realizar T 3 ) mais 25 minutos,

Como as restantes tarefas ( T 2 ,

T 6 e T 7 ) não dependem da realização de T 4 ,

podemos concluir que o caminho crítico (formado pelas tarefas críticas,

pelas tarefas cujo atraso na execução se repercute automaticamente na duração total do projeto) é formado pelas tarefas T 3 e T 4 ,

com uma duração de 14 + 25 = 39 minutos

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

FICHA DE TRABALHO N

O 1 NOME: ___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N

O: ________

ASSUNTO: Grafos: trajetos,

Indique quais dos grafos que se seguem têm um trajeto e quais têm um circuito euleriano e defina-os

Caso não tenham nenhum deles,

No grafo que se encontra abaixo,

os vértices representam os cruzamentos e as arestas representam as estradas de uma cidade

Um inspetor de estradas pretende fazer a sua ronda,

passando por todas as estradas uma única vez

O ponto de partida e de chegada é B

o número de estradas que se repetem é o mesmo

? Indique qual o percurso encontrado

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

FICHA DE TRABALHO N

O 2 NOME: ___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N

O: ________

ASSUNTO: O problema do carteiro chinês e eulerização 1

Um pintor de estradas tem de pintar,

todas as ruas de uma certa localidade

O grafo seguinte,

onde os vértices representam as esquinas e as arestas representam as ruas,

serve de modelo para essa situação: A

o percurso a seguir pelo pintor

Para cada um dos grafos seguintes: I

encontre uma boa eulerização

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

A figura abaixo representa um esquema com ruas de uma cidade,

onde os pontos representam parquímetros

Desenhe um grafo orientado que possa auxiliar o funcionário que vai recolher as moedas de todos os parquímetros

Numa aldeia,

há cinco rapazes enamorados de cinco raparigas casadoiras

A tabela seguinte indica as preferências de cada rapaz em relação às raparigas: Rapaz (H)

Rapariga (M)

Nas mesmas condições do exercício anterior,

consideremos também as preferências de cada rapariga em relação aos rapazes: Rapariga (M)

Rapaz (H)

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

FICHA DE TRABALHO N

O 3 NOME: ___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N

O: ________

ASSUNTO: Circuitos hamiltonianos

O problema do caixeiro viajante 1

Considere os grafos que se seguem: A 10

determine o percurso que se obtém começando e terminando em A

Uma empresa de venda de material informático possui o seu armazém no ponto X ,

e pretende entregar materiais em H ,

passando primeiro por A para deixar algum material

A tabela que se segue representa a rede viária da região que o representante da empresa tem de visitar,

com os respetivos tempos de percurso

A B C D'E F G H X

A – 10 15 25

B 10 – 17 12 21

C 15 – 40

D 25 17 40 –

21 5 – 8

5 21 20

14 – 16

terminando em H e passando por todos os outros pontos

recorrendo ao algoritmo do vizinho mais próximo,

o percurso que deve ser seguido pelo representante de modo a minimizar o tempo decorrido desde que sai de X até que regresse

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

O Joaquim,

pretende visitar todos os estádios inaugurados em 2004 para o Euro

A tabela que se segue contém as distâncias/tempo aproximadas entre as cidades dos respetivos estádios:

Guimarães

Coimbra

Braga Guimarães

Coimbra

Faro/Loulé

encontre três circuitos hamiltonianos diferentes e calcule o comprimento de cada um

determine o percurso que se obtém partindo de Aveiro

Qual é o seu comprimento

Qual é o comprimento de cada um dos percursos assim obtidos

qual é o percurso que se obtém e qual é o seu comprimento

mas em que intervenham os tempos entre as cidades

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

FICHA DE TRABALHO N

O 4 NOME: ___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N

O: ________

ASSUNTO: Árvores e caminho crítico 1

Dos grafos seguintes,

indique os que são árvores: I

Considere o grafo seguinte:

usando o algoritmo de Kruskal,

a árvore abrangente mínima e calcule o seu peso total

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

Um antigo parque de diversões vai ser reaberto

Existe um pequeno comboio que percorre todo o parque,

visitando todos os pontos de interesse (os vértices)

Esta situação pode ser representada pelo grafo que se segue: C

onde os pesos associados às arestas correspondem aos quilómetros entre pontos de interesse

O esquema seguinte representa,

a planificação de um projeto que envolve a realização de sete tarefas e as respetivas durações (em dias):

4 T4 3 T6

bem como as suas precedências

caso contrário terá de pagar ao cliente por falta de cumprimento

Será que consegue cumprir o prazo estabelecido

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

FICHA DE TRABALHO N

O 5 NOME: ___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N

O: ________

ASSUNTO: Modelos populacionais: linear e exponencial 1

Um bidão contém 150 litros de água

Para o encher abriu-se uma torneira e,

o número de litros de água aumentou para 240 litros

Em 45 minutos,

Assumindo que o caudal da água que vai enchendo o bidão é constante:

Uma loja de fotografias pratica os seguintes preços:

• 30 cêntimos por cada fotografia

A Diana mandou revelar um rolo de fotografias que tirou durante a viagem de finalistas

supondo que o rolo era de 24 fotografias e que nenhuma ficou inutilizada

a pagar pela revelação e pela impressão de n fotografias

Sabendo que o rolo era de 36 fotografias,

Uma certa substância exposta ao ar perde 12% do seu volume por hora

Sabendo que ao fim de uma hora o volume da substância é igual a 475,2 cm3:

da substância ao fim de t horas

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

A população de uma cidade aumenta 10% por ano

Em 1999 a população era de 9745 habitantes

Supondo que esta taxa de crescimento se mantém constante:

2 No ano A

? Apresente o resultado final arredondado às unidades e nos cálculos intermédios utilize pelo menos 4 c

Uma população de bactérias diminui a uma taxa de 23% por hora

Assumindo que esta taxa de crescimento se mantém constante:

uma expressão que dê a população,

de bactérias ao fim de t horas

minutos e segundos arredondados às unidades)

Um recipiente tem uma certa quantidade de açúcar

Para o dissolver adiciona-se água

A massa,

t minutos após o início do processo de dissolução,

é dada pelo modelo:

M (t ) = 40 · e –0,02t ,

Apresente o resultado final arredondado às unidades e nos cálculos intermédios utilize pelo menos 4 c

Adaptado de Exame

A atividade,

de uma substância radioativa,

é dada,

pelo modelo: R (t ) = A · e –Bt onde A e B são constantes positivas e t é o tempo em horas (t ≥ 0)

Nota: A semivida de uma substância radioativa é o tempo que ela demora a reduzir-se a metade do seu valor inicial

Adaptado de Exame

Matemática Aplicada às Ciências Sociais,

FICHA DE TRABALHO N

O 6 NOME: ___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N

O: ________

ASSUNTO: Modelos populacionais A evolução da massa salarial de um conjunto de trabalhadores é,

explicável através de modelos matemáticos

Numa dada empresa,

fez-se um estudo comprovativo da evolução dos vencimentos (em euros) de dois trabalhadores,

• Relativamente ao trabalhador A,

o valor do vencimento mensal em cada ano,

no período compreendido entre 1998 e 2006,

é apresentado na tabela seguinte e reproduzido num diagrama de dispersão

Salário

Evolução do salário do trabalhador A Salários

• Relativamente ao trabalhador B,

recebia mensalmente 652 euros e que,

referentes ao período em estudo,

o valor do seu vencimento mensal pode ser obtido através do modelo:

vn = 652 × 1,0502n – 1 Nota: A variável n está associada aos anos relativos ao período em estudo,

indique um valor aproximado do coeficiente de correlação linear entre as variáveis descritas na tabela (anos/salário) refe