PDF -Língua Portuguesa - 5 - Caderno de Apoio 5 Ano Texto Editora
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Caderno de Apoio 5 Ano Texto Editora

Língua Portuguesa - 5

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NOVA EDIÇÃO: s'Curriculares ta e M s'a m o c'o rd o De ac a de 2013

ELZA GOUVEIA DURÃO MARIA MARGARIDA BALDAQUE

Índice Capítulo

Capítulo 3

Saber fazer 8

Ficha 1

Saber fazer 9

Ficha 18

Ficha 19

Ficha 20

Capítulo

Saber fazer 2

Problemas 4

Ficha 2

Ficha 3

Capítulo

Ficha 4

Saber fazer 10

Ficha 5

Saber fazer 11

Ficha 22

PROPORCIONALIDADE DIRETA

Ficha 23

Ficha 24

Problemas 5

Saber fazer 4

Ficha 6

Ficha 7

Saber fazer 12

Ficha 8

Ficha 25

Problemas 1

Ficha 26

Ficha 27

Problemas 6

Capítulo

PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

Ficha 21

Saber fazer 3

Capítulo

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

6 VOLUMES

Saber fazer 1

Capítulo

DO PLANO

Capítulo

Saber fazer 5

Saber fazer 13

Saber fazer 6

Ficha 28

Ficha 9

Ficha 29

Ficha 10

Soluções

Ficha 11

Ficha 12

Ficha 13

Problemas 2

Capítulo

Saber fazer 7

Ficha 14

Ficha 15

Ficha 16

Ficha 17

Problemas 3

A estudar também podes fazer amigos e divertires-te

NÚMEROS NATURAIS

Como saber se um número é primo

? Um número natural maior do que 1 é primo se tem apenas dois divisores: o 1 e o próprio número

Por outro lado,

um número natural maior do que 1 é composto se têm três ou mais divisores

Para saber se um número é primo ou composto,

dividimos esse número pelos números primos 2,

… até obter: • resto zero – dizendo,

Exemplo: 107 não é divisível por 2,

ou • quociente menor ou igual ao divisor – dizendo que o número é primo

Como se decompõe um número composto em fatores primos

Divisões sucessivas

Em árvore

Dividir o número dado por um divisor primo

Escrever o número como produto de outros dois

Proceder de igual modo com o quociente obtido até encontrar o quociente 1

Continuar a escrever cada número como produto de outros dois até encontrar apenas números primos

«Todo o número natural composto pode ser decomposto num produto de fatores primos,

sendo essa decomposição única

» – Teorema fundamental da aritmética

Para decompor um número composto num produto de fatores primos podes recorrer a um dos seguintes processos:

Exemplo:

Pratica 1

Decompõe em fatores primos: 200,

147 e 315

Será 149 um número primo

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

NÚMEROS NATURAIS

Como calcular o máximo divisor comum de dois números

Decomposição em fatores primos 120 60 30 15 5 1

Pelo algoritmo de Euclides 120 96 24 1

2 2 2 3 5

Escolhem-se os fatores primos comuns com o menor expoente e efetua-se o seu produto

96 24 00 4

24 é o m

Como calcular o mínimo múltiplo comum de dois números

Decomposição em fatores primos 16 2 10 2 8 2 5 5 4 2 1 2 2 1

Recorda: o produto de dois números naturais é igual ao produto do seu máximo divisor comum pelo seu mínimo múltiplo comum

16 = 24

Escolhem-se os fatores primos comuns e não comuns com o maior expoente e efetua-se o seu produto

Pratica 3

Calcula o m

dos seguintes pares de números,

utilizando a decomposição em fatores primos e calculando os divisores e os primeiros múltiplos naturais

48 e 80

72 e 100

270 e 36

NÚMEROS NATURAIS

10 a 21

Quais dos números seguintes são primos

? Justifica com os cálculos necessários

Manual (volume 1)

Números primos e compostos

Utilizando a decomposição em fatores primos,

determina todos os divisores de: 3

Utilizando a decomposição em fatores primos,

simplifica as frações: 144 576

1024 768

512 384

Avaliação

Decompõe os seguintes números em fatores primos

Pela decomposição em fatores primos,

A soma de   60 86

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Pela decomposição em fatores primos,

NÚMEROS NATURAIS

Observa os seguintes números e a respetiva decomposição em fatores primos

Determina o m

B) e o m

Determina o m

C) e o m

Escreve dois números tais que o seu m

A Teresa tem dois rolos de fita para fazer laços,

um com 154 cm e o outro com 374 cm

Pretende dividi-los em partes iguais,

sendo o comprimento de cada parte o maior possível

Qual deve ser o comprimento de cada parte e em quantas partes fica dividido cada rolo de fita

Dois aviões partem juntos do Funchal no mesmo dia

Determina quantos dias depois partem novamente juntos e quantas viagens faz cada um,

sabendo que o primeiro avião sai de oito em oito dias e o segundo de 12 em 12 dias

O chão de uma sala retangular tem 450 cm por 350 cm e vai ser pavimentada com mosaicos quadrados

Qual é o maior lado que pode ter cada mosaico,

sabendo que só podem ser usados mosaicos inteiros

O produto de dois números naturais é 5070

Qual é o m

Como calcular uma potência de base racional e expoente natural

• 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

• 0,13 = 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,001

Calcular a quarta potência de um meio: 4

Não confundas: O dobro de 6 é 2 × 6 = 12 O quadrado de 6 é 62 = 6 × 6 = 36

Atenção: O triplo de 4 é 3 × 4 = 12 O cubo de 4 é 43 = 4 × 4 × 4 = 64

Representar 36 como potência de base 6: 36 = 62 Atenção: 2

Como calcular uma soma ou uma diferença de potências

? Calculam-se primeiro as potências

• 24 + 72 = 2 × 2 × 2 × 2 + 7 × 7 = = 16 + 49 = = 65

• 103 – 35 = 10 × 10 × 10 – 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = = 1000 – 243 = = 757

Pratica 1

Calcula: 1

6 2,12 1

Liga cada expressão ao seu valor

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Calcula:

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

Como multiplicar potências com a mesma base

? Escrever 124 × 123 na forma de uma única potência: 124 × 123 = 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 = 124 + 3 = 127 4 vezes

3 vezes

O produto de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base e com expoente igual à soma dos expoentes

com m e n números naturais e a número racional 5 3 5 2 5 3+2 5 5 Exemplos:  ×  =  =  3 3 3 3

Como dividir potências com a mesma base

? Escrever 135 : 132 na forma de uma única potência: 13 × 13 × 13 × 13 × 13 135 : 132 =  = 135 – 2 = 133 13 × 13 O quociente de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base e com expoente igual à diferença dos expoentes

e a número racional (a ≠ 0) 3 43 – 40 3 3 3 40 Exemplo: 1,543 :  =  =  2 2 2

Pratica 4

Liga as representações do mesmo número

7 ×  2

64 × 62

63 × 64

Completa: 5

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

Como multiplicar potências com o mesmo expoente

? Escrever 24 × 34 na forma de uma única potência: 24 × 34 = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3) = = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = = (2 × 3)4 = 64 Logo: 24 × 34 = (2 × 3)4 = 64 O produto de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmo expoente e com base igual ao produto das bases

com a e b números racionais e m número natural 7 2 3 2 7 3 2 7 2 Exemplos:  ×  =  ×  =  3 2 3 2 2

Como dividir potências com o mesmo expoente

? Escrever 122 : 62 na forma de uma única potência: 12 × 12 12 12 12 2 122 : 62 =  =  ×  =  = 22 6 6 6 6×6

Logo: 122 : 62 = (12 : 6)2 = 22 O quociente de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmo expoente e com base igual ao quociente das bases

Pratica

com a e b números racionais (b ≠ 0) e m número natural

9 34 : 

6  3 1

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas,

POTÊNCIAS DE

Como calcular uma potência em que a base também é uma potência

? Trata-se de calcular uma potência de potência

Por exemplo: (52) = 52 × 52 × 52 = 52 + 2 + 2 = 53 × 2 = 56 3

Para elevar uma potência a um novo expoente mantém-se a base e o expoente é igual ao produto dos expoentes: m

com a número racional e m e n números naturais Exemplo: (1,24) = 1,24 × 2 = 1,28 2

Atenção:

potência em que o expoente é uma potência

Como calcular o valor de uma expressão que envolve + ,

• Calcularam-se as potências

• Calcularam-se as expressões dentro de parênteses

• A multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a adição e a subtração

• Entre duas operações com a mesma prioridade,

efetua-se primeiro a que aparece em primeiro lugar

Como passar de linguagem natural para linguagem simbólica

• Quadrado do triplo de sete

• Diferença entre o quadrado de três e o quadrado de dois

32 – 22

• Quadrado da diferença entre três e uma décima

• Triplo do quadrado de sete meios

Pratica 4 2

Aplica a potência de potência a ea 

Descobre os erros nas expressões seguintes e corrige-os

3 (0,12)

Calcula o valor das expressões

1 9 × 

– 52 : (2 + 32 : 3) + (0,12)

2 5 × 

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

Qual das amigas tem os cálculos corretos

34 e 35

Manual (volume 1)

Potências de base racional e expoente natural

Completa:

8 = ___ 27

Qual é menor: 57 ou 75

9 = ___ 4

Escreve em linguagem simbólica e calcula: 6

a quarta potência de dois quintos

a quinta potência de três meios

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Qual é a menor potência de 4 que é maior do que 104

Avaliação

Representa como potência de base 10:

POTÊNCIAS DE

Observa a representação de três cubos

Aresta = 1,2 cm

Comprimento total das arestas = 48 cm

Representa por uma potência com base e expoente: 7

a medida da área da base do cubo A

a medida da área lateral do cubo B

a medida da área total do cubo C

Calcula: 8

Descobre o número misterioso

1 23 + 1 =

Área de uma face = 36 cm2

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

36 e 37

Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas,

Manual (volume 1)

Multiplicação e divisão de potências com a mesma base

Completa com uma potência ou um expoente,

de forma a obteres afirmações verdadeiras

× 74 = 710

× 114 : 113 = 113

8 512 : 5

0,56 × 

× 152 = 156

8  × 8

Escreve sob a forma de uma única potência de base 10 e calcula: 4

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Escreve na forma de uma única potência

Avaliação

POTÊNCIAS DE

Observa os seguintes exemplos: • 3 × 23 = 3 × 2 × 2 × 2 = 24

Calculam-se primeiro as potências

• 24 : 23 = 24 : (2 × 2 × 2) = 3 Calcula: 5

5 × 23

3 × 42

54 : 32

3 3× 9

3 5:  2

6 23 × 9

Escreve 295 e  3

como um produto de potências com a mesma base

como um quociente de potências com a mesma base

Completa com os símbolos > ,

5 1017 7

× 5 _______ 0,5

Representa a tua idade por uma expressão numérica que inclua produtos e quocientes de potências com a mesma base

Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

43 × 23

102 × 32

4 63 × 43

38 a 41

Manual (volume 1)

Escreve na forma de uma única potência: 1

45 : 25

207 : 57

493 : 73

Multiplicação e divisão de potências com o mesmo expoente

Indica se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas

Justifica a tua resposta

1 23 × 53

representa um número com cinco algarismos

2 65 : 25

representa o mesmo que 32 × 33

Avaliação

O produto do quadrado de dois pelo quadrado de três é o quadrado de seis

6  3,22b

é o mesmo que dezoito milhões

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Completa com uma potência ou um expoente,

de forma a obteres afirmações verdadeiras

POTÊNCIAS DE

Transforma cada expressão numa única potência

Escreve 249 e  3

como um produto de potências com o mesmo expoente

como um quociente de potências com o mesmo expoente

Lê o seguinte texto

Eu tenho 45 × 35 : 124 anos

Eu tenho 217 : 215 × 22 anos

Eu tenho,

Quem é o mais novo

Escreve na forma de uma única potência com base e expoente

1 (0,12)

Escreve uma potência de potência que represente 

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

7 –1 4

5 –1 3

42 e 43

Manual (volume 1)

Calcula: 1

3 ×  2 2

11  : 

Prioridade das operações

Regras operatórias

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Coloca,

os números representados em cada cartão

A cada número faz corresponder a respetiva letra

Se as colocares corretamente,

obterás o nome de um português célebre

Quem foi e por que motivo se celebrizou

C 2 + 23 22

M 22 23 : 2

O (22 + 23) : 2

Calcula o valor da expressão

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Sabe-se que num milímetro cúbico de sangue há cerca de cinco milhões de glóbulos vermelhos

Quantos glóbulos vermelhos há em 2 litros de sangue

? Apresenta a resposta como potência de base 10

S 23 : 22 : 2

A 23 22

E 2 23 : 22

Avaliação

Que propriedades da multiplicação se aplicaram nas igualdades seguintes

POTÊNCIAS DE

Para calcular a medida da área do roseiral,

três amigos escreveram: Nuno: 35 × 15 – 152

Rui: 35 – 152

Jorge: (35 – 15) × 15

Quem se enganou

? Explica os cálculos efetuados pelos outros dois amigos

Roseiral

Verdadeiro ou falso

O produto de quatro pelo quadrado da soma de um meio com um quarto é o quadrado de quinze décimas

A figura ao lado é formada por um triângulo e por um quadrado

Para esta figura,

o que representa a expressão 82 + 82 : 2

Qual é o valor de a

Observa as figuras A e B

Os cubos são congruentes

Escreve uma expressão numérica onde uses potências e que represente: 10

a medida do volume do paralelepípedo A

Observa os cálculos: 45 cm

Em cada expressão,

o número 5 entra quatro vezes

Usando quatro vezes o número 5,

escreve três expressões com resultados diferentes

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

PROPORCIONALIDADE DIRETA

Como determinar termos,

ordens e lei de formação de uma sequência

… → é a sequência dos múltiplos naturais de 9: • 9 é o primeiro termo desta sequência ou termo de ordem 1 e 36 é o quarto termo ou termo de ordem 4

• 9 × n ou 9n é a lei de formação ou termo geral desta sequência,

Como descobrir termos de uma sequência

Admitindo que a regularidade se mantém,

deves observar e descobrir essa regularidade: neste caso,

cada termo tem mais dois quadrados do que o termo anterior

Assim: A sequência numérica correspondente é 1,

Como determinar termos de uma sequência conhecida a sua lei de formação

? 1 Exemplo: Determinar os dois primeiros termos da sequência cuja lei de formação é  + 2n2

vem  + 2 × 12 =  + 2 =  Para n = 2 ,

vem  + 2 × 22 =  + 8 =  3 3 3 3 3 3

Exemplo: 4,

o termo é 4 e cada termo é a soma do termo anterior com 3

Como formular em linguagem natural a lei de formação compatível com uma sequência parcialmente conhecida

a expressão geradora desta sequência é 3n + 1

Pratica

O primeiro termo de uma sequência é  3 rior

Escreve os quatro primeiros termos da sequência

Escreve os três primeiros termos da sequência cuja lei de formação é: 1 3

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Observa cada uma das seguintes sequências

Descobre uma regularidade e determina os três termos seguintes

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

O que é uma razão

? Exemplo: 3 A razão entre o número de círculos e o número de triângulos é 

Em  =  ,

o termos da proporção: são os extremos

o termos da proporção: são os meios

Numa proporção,

o produto dos meios é igual ao produto dos extremos

Como averiguar se duas grandezas são diretamente proporcionais

? Duas grandezas são diretamente proporcionais se é constante o quociente entre os valores correspondentes das duas grandezas,

Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade

Exemplo: ×3 Número de latas de sumo

Preço (euros)

×3 ×5

É a constante de proporcionalidade e representa o preço de uma lata de sumo

O preço é assim diretamente proporcional ao número de latas de sumo

Também o número de latas de sumo é diretamente proporcional ao preço

As duas constantes de proporcionalidade são inversas uma da outra

Qual o significado de «A escala de um mapa é 1 : 5000 »

O que é uma percentagem

? 5 É uma razão em que o consequente é 100

Exemplo:  = 5% 100

Pratica 4

Escreve a razão entre a parte colorida e a parte branca da figura ao lado

Escreve proporções cujos termos sejam 2,

Serão diretamente proporcionais as duas grandezas da tabela

Tempo de estacionamento (horas)

Preço (euros)

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

PROPORCIONALIDADE DIRETA

58 a 61

Mantendo-se a regularidade em cada uma das sequências abaixo,

descobre os dois termos seguintes

Manual (volume 1)

Sequências e regularidades

Escreve em linguagem natural a lei de formação de cada uma das sequências do exercício anterior

Qual das seguintes é a expressão geradora da sequência 7,

admitindo que a regularidade se mantém

Descobre a expressão geradora de cada uma das sequências e o respetivo décimo termo

Dada a sequência 1,

… : Averigua se 120 pode ser termo desta sequência

Justifica

Qual é a ordem do termo 343 na sequência

Supondo que há uma regularidade que se mantém,

desenha a figura seguinte da sequência

Completa a tabela

Escreve a expressão geradora desta sequência

Número de hexágonos

Perímetro

Algum termo da sequência pode ter 81 fósforos

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

A Ana construiu as figuras seguintes utilizando fósforos

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

Admitindo que a regularidade se mantém,

descobre a expressão geradora de cada sequência 7

Escreve o quarto e o décimo termo das sequências,

cujas expressões geradoras são: 8

2n   n+1

O João desenhou as figuras seguintes

Supondo que há uma regularidade que se mantém,

Prevê o número de triângulos e o número de quadrados necessários para desenhar a figura 10

Escreve uma regra que te permita obter o número total de triângulos e quadrados necessários para desenhar uma figura qualquer desta sequência

Numa sequência,

o primeiro termo é  e cada termo seguinte é metade do anterior

Supondo que há uma regularidade que se mantém,

escreve os três termos seguintes da

22 – 1

32 – 2

42 – 3

Qual das expressões: A

6 × n + 1

4 × n + 3

te permite determinar um termo qualquer da sequência 7,

? Qual é o vigésimo termo desta sequência

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

PROPORCIONALIDADE DIRETA

62 a 67

Num recreio de uma escola,

estão 11 professores e 440 alunos

Escreve a razão,

entre o número de professores e o número de alunos

Manual (volume 1)

Proporção

Propriedade fundamental das proporções

Para fazer um fato de carnaval,

o Samuel usou 1,5 m de tecido vermelho e 3 m de tecido amarelo

Escreve,

a razão entre o comprimento do tecido amarelo e o comprimento do tecido vermelho

Indica os meios e os extremos

Faz a sua leitura

Descobre dois números naturais cuja soma seja 24 e cuja razão seja 1 para 2

Escreve proporções com os números: 3

6 e 4,5

Avaliação

Observa a proporção:  =  3 6

Descobre o termo que falta em cada proporção

Escreve em linguagem simbólica: «Quinze décimas está para cinco,

assim como três está para dez

Uma receita de batido de morango leva 80 gramas de morango por cada 0,5 litros de leite

O Maciel gastou 240 gramas de morangos e 2 litros de leite

Será que usou os morangos e o leite na proporção indicada na receita

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

Sabe-se que,

dois têm tensão arterial alta

Mantendo-se a mesma proporção,

quantos adultos com tensão alta se espera que existam num grupo constituído por 25 adultos

Num grupo constituído por 120 pessoas,

Qual é a percentagem de fumadores nesse grupo

Pretende-se construir uma horta,

em que a razão entre o comprimento e a largura seja 7 : 4

Se a horta tem 8 metros de largura,

Determina a área da horta

Num infantário,

quatro em cada cinco crianças não têm olhos azuis

Qual é a percentagem de crianças que não tem olhos azuis

Qual é o melhor preço,

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

PROPORCIONALIDADE DIRETA

68 a 71

Manual (volume 1)

Observa

Haverá proporcionalidade direta entre o preço e o número de croissants

qual é a constante de proporcionalidade e o que representa

Haverá proporcionalidade direta entre o preço de cada embalagem de lápis e o número de lápis

Proporcionalidade direta

Escalas e percentagens

Completa-as

Será o perímetro do triângulo equilátero diretamente proporcional ao lado

Triângulos equiláteros Lado (cm)

Avaliação

Observa as tabelas ao lado

Perímetro (cm)

3 Será

o perímetro do quadrado diretamente proporcional ao lado

Lado (cm)

Quadrados

Perímetro (cm)

Área (cm2)

Verdadeiro ou falso

A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade

ordenado de um farmacêutico é diretamente proporcional ao número de medicamentos que vende

Um jardineiro é pago a 8 € à hora

O seu ordenado é diretamente proporcional ao número de horas que trabalha

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

Na tabela,

a distância percorrida por um automóvel,

é diretamente proporcional ao tempo,

Tempo (min

Distância (km)

E a percorrer 187,5 km

No talho Avenida,

o preço é diretamente proporcional à massa de carne

Calcula o preço de 2,5 kg de lombo de porco

Que massa tem um frango que custou 3,60 €

Quatro cedros iguais custaram 36 €

Sabendo que o preço e o número de cedros são grandezas diretamente proporcionais,

quanto custam nove cedros iguais

Com 180 €,

Observa o anúncio

32 800 €

e o restante em 12 prestações mensais iguais

Quanto tenho de dar de entrada para comprar o automóvel

E quanto tenho de pagar mensalmente

Uma avenida com 3 km de comprimento é representada por 6 cm num desenho feito à escala

Qual é a escala do desenho

quanto vou pagar por 2,5 m da mesma fita

72 e 73

1 O custo,

de uma fita de seda é diretamente proporcional ao seu comprimento,

Manual (volume 1)

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

PROPORCIONALIDADE DIRETA

para debruar com esta fita uma toalha retangular de 2 m de com-

a quantidade de açúcar que se pode comprar com uma certa quantia em Prof

dinheiro é-lhe diretamente proporcional

Açúcar

4,40 €

Avaliação

Os cincos maiores vendedores Viaturas vendidas

e o gráfico ao lado refere-se às marcas (A,

D e E) mais vendidas em 2009 e 2010,

4 Em 2010,

comercializaram-se 223 491 automóveis ligeiros,

No dia 04/01/2011,

ambos se deslocaram a um banco: o Tomás para trocar 1000 euros em libras e a Manuela para trocar 267,5 dólares em euros

Divisas Euro/Dólar

Euro/Libra

Em 04/01/2011

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Adaptado de Público,

04/01/2011

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

desenhada à escala de 1 : 200

Quarto 6

Casa de Banho

Qual foi o desconto,

Entrada Cozinha

Em 2011,

ano da crise económica em Portugal,

viu o seu ordenado diminuído em 4%

Qual passou a ser o ordenado do Francisco

este automóvel tem 4,23 m de comprimento

A que escala está construída a miniatura

onde paga 8 € de mensalidade

Por cada partida que joga acresce o valor de 2 €

referente ao que o João pagou nos meses de outubro,

de acordo com o número de partidas que jogou

Outubro

Novembro

Dezembro

Pagamento (euros)

Justifica a tua resposta

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 29

Como reconhecer um ângulo ao centro numa circunferência

? Ângulo ao centro tem o vértice no centro da circunferência

Ângulo ao centro convexo

Setor circular é a interseção de um círculo com um ângulo ao centro

Ângulo ao centro côncavo

Como reconhecer um polígono inscrito numa circunferência

? Num polígono inscrito numa circunferência,

todos os seus vértices são pontos da circunferência

O que é o apótema de um polígono regular

? É o segmento da perpendicular baixada do centro do polígono para um lado

Num polígono regular,

os apótemas são todos iguais

Qual é a posição relativa de uma reta e de uma circunferência

r A reta r é tangente à circunferência

O raio é perpendicular à reta r no ponto de tangência T

A reta r é exterior à circunferência

A reta r é secante à circunferência

Como reconhecer um polígono circunscrito a uma circunferência

Pratica 1

Desenha uma circunferência de raio 2,5 cm e constrói um ângulo ao centro de amplitude 45o

Que nome dás à região colorida da figura ao lado

? Qual é a posição relativa da reta b e da circunferência

Desenha uma circunferência de raio à tua escolha e traça dois polígonos de quatro lados: um inscrito na circunferência e o outro circunscrito a esta

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

Um polígono diz-se circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes à circunferência

Num polígono regular circunscrito a uma circunferência,

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Como calcular o perímetro do círculo por aproximação de perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência

? O perímetro do polígono regular inscrito é um valor aproximado por defeito do perímetro do círculo,

enquanto o perímetro do polígono regular circunscrito é uma aproximação por excesso do perímetro desse círculo

Como calcular o perímetro de um círculo ou o comprimento de uma circunferência usando uma fórmula

? Calcula o comprimento de uma circunferência com 2,5 m de raio

A fórmula para calcular a medida do perímetro do círculo é P䉺 = 2 × π × r ou P䉺 = π × d'Valor exato: P䉺 = 2 × π × 2,5 O valor exato do perímetro é 5 × π m

Valor aproximado: usando 3,1416 como valor aproximado de π ,

vem: P䉺 ≈ 2 × 3,1416 × 2,5 O perímetro do círculo é,

15,708 m

Como calcular o diâmetro de um círculo conhecido o seu perímetro

? É preciso desenhar um círculo com 12,5664 cm de perímetro

Que diâmetro deve ter esse círculo

? (usa π ≈ 3,1416 ) diâmetro = perímetro do círculo : π d'= 12,5664 : 3,1416 d=4

O círculo deve ter 4 cm de diâmetro

Pratica 4

Considerando π ≈ 3,1416 ,

calcula o valor exato e o valor aproximado do comprimento de uma circunferência com: 4

Desenha,

um círculo com 5,024 cm de perímetro (usa π ≈ 3,14 )

Um polígono regular com 200 lados está inscrito numa circunferência e tem de lado 2,5 mm

Determina um valor aproximado por defeito do comprimento da circunferência onde esse polígono está inscrito

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

Como calcular a área de um polígono regular

? Vamos calcular a área do pentágono regular da figura ao lado

Unindo o centro do polígono com cada vértice,

o polígono fica decomposto em cinco triângulos isósceles congruentes (tantos triângulos quanto o número de lados do polígono)

Qualquer um dos triângulos tem por base l',

Então:

× ap Apentágono = 5 × A⌬ = 5 × l᎑᎑ 2

P᎑ ×᎑ ap Mas 5 × l'é a medida do perímetro,

logo: Apentágono = ᎑ 2 De um modo geral,

podemos afirmar: A medida da área de um polígono regular é igual ao produto do semiperímetro pela medida do comprimento do apótema

P × ap A= ᎑ 2

P – medida do perímetro do polígono regular ap – medida do comprimento do apótema

Exemplo: Um pentágono regular tem 85 cm de lado e 58,48 cm de apótema

Calcula a sua área

A área é 12 427 cm2

Pratica

Decompõe o hexágono em seis triângulos geometricamente iguais e com um vértice comum

Mostra que os seis triângulos são equiláteros

Determina por dois processos a área do hexágono

O 2,598 cm

Determina a área de um octógono regular com 1,2 cm de lado e apótema aproximadamente 1,45 cm

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

O hexágono regular da figura está inscrito numa circunferência de centro O e raio 3 cm

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Como calcular a área de um círculo

? Quando o número de lados do polígono inscrito na circunferência for muito grande,

então a medida do perímetro do polígono tende a igualar a medida do perímetro do círculo e o apótema do perímetro,

tende a ser igual ao raio r do círculo

Então,

como a área do polígono regular inscrito é: P × ap A= ᎑ 2 se se substituir P pelo P䉺 = 2 × π × r e ap por r ,

obtém-se a área do círculo: A䉺 = 2 ᎑× ᎑π ᎑× ᎑r × r = π × r2 2

r – medida do raio π (pi) = 3,141592…

Concluímos,

que a medida da área do círculo é igual ao produto de π pelo quadrado da medida do seu raio

Exemplo: Calcular a área do círculo da figura

Valor exato: A䉺 = π × r2 A = π × 1,5 × 1,5 ,

A䉺 ≈ 3,1416 × r2 ≈ 3,1416 × 1,52 A área é,

7,0686 cm2

Pratica 3

Calcula o valor exato e o valor aproximado da área de cada círculo

Apresenta os resultados em cm2 e usa 3,1416 para valor aproximado de π

Calcula a área e o perímetro de cada figura (usa π ≈ 3,1 )

0,5 cm C

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 33

Um polígono inscrito na circunferência de centro O

Um polígono circunscrito à circunferência de centro O

Um ângulo ao centro convexo

Um apótema do polígono inscrito na circunferência e um apótema do polígono circunscrito à circunferência

92 a 95

Manual (volume 1)

Observa a figura ao lado

Usando letras da figura,

Ângulo ao centro

Setor circular

Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência

Que nome tem a região colorida da figura do exercício 1

os apótemas são todos iguais

• Num polígono regular circunscrito a uma circunferência,

o apótema do polígono é maior do que o raio

Verdadeiro ou falso

• A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência

Avaliação

• O lado do hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio

Observa a figura ao lado

Qual a posição das retas a ,

b e c'relativamente à circunferência

Usa a régua e indica a distância do ponto O a cada uma das retas a ,

Na figura,

[AC] e [BD] são diâmetros da circunferência de cen5

Determina,

as amplitudes dos ângulos ao centro desconhecidos

A 60° 37'

Os triângulos [OAD] e [BOC] são iguais

Supõe que o triângulo [OBC] tem 27 cm de perímetro,

sendo as medidas dos lados três números naturais consecutivos

Qual seria o comprimento de cada lado do triângulo

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Desenha uma circunferência de centro O e de raio 3 cm

Por um ponto A ,

cuja distância ao centro O é 5 cm,

traça uma tangente à circunferência e designa o ponto de tangência por T

Classifica o triângulo [TAO] quanto aos ângulos e quanto aos lados

determina a área do triângulo [TAO]

Desenha um quadrado de área 9 cm2 circunscrito a uma circunferência e explica como procedeste

Observa a figura ao lado,

onde estão inscritos na circunferência de centro O dois polígonos regulares

Sabendo que o lado do hexágono regular inscrito na circunferência é igual ao raio,

mostra que a área do hexágono é o dobro da área do triângulo

Na figura ao lado está representado um heptágono regular inscrito na circunferência de centro O

O ponto I é o pé da perpendicular tirada de O para [AB] e o ponto J é o pé da perpendicular tirada de O para [EF]

—– —– —– —– —– Justifica que OA = OB = OC = OD = OE

Justifica que os triângulos [OAB] e [OEF] são iguais

Justifica que os apótemas de um polígono regular são todos iguais