PDF -1766 HIDROLOGIA 1367 MECANICA DE FLUIDOS 1765 0255 4 19UC 5 - CALCULO III (0253).pdf
Wait Loading...


PDF :1 PDF :2 PDF :3 PDF :4 PDF :5 PDF :6 PDF :7 PDF :8 PDF :9 PDF :10


Like and share and download

CALCULO III (0253).pdf

1766 HIDROLOGIA 1367 MECANICA DE FLUIDOS 1765 0255 4 19UC 5

joseluisquintero Calculo III Semestre 3 CÁLCULO III (0253) Tema 1 Funciones vectoriales de variable real – Marzo 2018 1 Calcule el dominio de las siguientes funciones a f 2 2 2t (t) ln(t), 1 t , efiucv weebly 1 2

Related PDF

CÁLCULO III (0253) - joseluisquinterocom

joseluisquintero Calculo III Semestre 3 CÁLCULO III (0253) Tema 1 Funciones vectoriales de variable real – Marzo 2018 1 Calcule el dominio de las siguientes funciones a f 2 2 2t (t) ln(t), 1 t ,
PDF

TEMA 3 - efiucvweeblycom

efiucv weebly 1 2 48129169 calculo iii (tema 3) pdf U C V F I U C V CÁLCULO III (0253) TEMA 3 José Luis Quintero Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de integrales dobles y triples y sus aplicaciones La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
PDF

C LCULO III (0253) - Jos Luis Quintero D vila

joseluisquintero Calculo III Semestre 3 CÁLCULO III (0253) Prof U C V F I U C V José Luis Quintero Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en los temas de funciones vectoriales de una variable
PDF

Tema 2 - efiucvweeblycom

efiucv weebly 1 2 48129169 calculo iii (tema 2) pdf U C V F I U C V CÁLCULO III (0253) TEMA 2 José Luis Quintero Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de funciones reales de variable vectorial haciendo énfasis en las funciones de dos variables independientes
PDF

ASIGNATURA: CÁLCULO III OBLIGATORIA CODIGO: UNIDADES

mwikicpd ing ucv ve cpd programas programas Programas materia de Cálculo III, forma parte de los programas anteriormente correspondientes a los Análisis Matemáticos III y IV Básicamente, la estructura global propuesta para Cálculo III consta de tres temas principales Tema 1 Funciones Vectoriales de Variable Real, contemplándose el estudio de curvas en 2 R y 3 R
PDF

LENGUAJE Y COMUNICACIÓN TOTAL 19 Código MATERIA T P L U

ingeniafiucv files wordpress 2013 05 pensum CUARTO SEMESTRE Código MATERIA T P L U REQUISITOS 0419 FISICOQUÍMICA 4 2 0 5 Calculo III (0253), Física II (0332) y Química II (0442)
PDF

Física Gen Introducc Geometría Lengua y Cálculo I I Ingen

geocities ws Archivos Diagramaasignaturas pdf Cálculo III 0253 Química Gen I 0441 Introd a la Geofísica 3384 Sismol 3310 Seminario de TEG 3313 Petrofís Aplicada 3314 Metodol Investig 0188 150 U TEG 3315 Topic Físic Gen 0333 Proy Axon y Acotada 0555
PDF

Uni PENSUM DE INGENIERÍA HIDROMETEOROLÓGICA TOTALES 198

cideeic weebly pensum hidrometeorologia pdf 0254 cÁlculo vectorial 0250 0253 2 0255 ecuaciones diferenciales ordinarias 0250 0252 5 0441 quÍmica general i 5 1725 instrumentos y observaciones 1723 4 1765 estadÍstica para ingenieros 0253 3 electiva socio humanistica 2 21 r1 r2 r3 0442 quÍmica general ii 0441 4 1367 mecanica de fluidos 0602 0254 0255 4 1766 hidrologia 1765 0255 4 3110
PDF

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA

ingeniafiucv files wordpress 2013 05 pensum 0254 Calculo Vectorial 0250 0253 1 2 2 0256 Ecuaciones Diferenciales 0250 0253 3 3 5 0448 Química III 0442 2 0 2 0601 Mecánica 0250 0253 0331 6 0 6 3110 Geología Física 50 U 4 3 5 7501 Introd a la Ingeniería de Petróleo 0012 0253 0555 50 U 2 0 2 QUINTO SEMESTRE Código Asignatura Prelaciones Hts Hps HLs UC
PDF

1766 HIDROLOGIA 1367 MECANICA DE FLUIDOS 1765 0255 4 19UC 5


PDF

PDF Cálculo III A – Módulo 8 Sites dos Professores da Universidade professores uff br mjoao wp content 78 M08 aluno pdf PDF Cálculo II (Cursão) Aula 13 – Integral de Linha Imecc

  1. integral de linha exercicios resolvidos
  2. integral de linha campo vetorial
  3. integral de superficie
  4. teorema de green

Calculo III

Batería III Woodcock-Muñoz - iapsychcom

ocw uc3m es matematicas calculo iii ProblemasCIIIocwsol Problemas C alculo III 13 3 Transformada de Laplace 3 1 Propiedades de la transformada de Laplace Problema 3 1 1 a) (1) = Z 1 0 e tdt = 1; integrando por partes, (2) = Z 1 0 te tdt

calculo imd

SOMMARIO Art 13 DL 6122011, n 201, conv in L 2212

wrps faculty BarberAR 2008 Multiple AP Calculus 2008 Multiple Choice 10 The graph of function f is shown above for 0 3 ≤ ≤x Of the following, which has the least value? (A) () 3 1 ∫ f x dx (B) Left Riemann sum approximation of () 3

CALCULO IMPEDANCIAS DE SECUENCIA.pdf

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario

3 fi mdp edu ar impedancias y redes de secuencia pdf Impedancias y Redes de Secuencia Ingeniero Gustavo Luis Ferro – Prof Adjunto Electrotecnia Página 1 Índice 1 Introducción a las redes de secuencia 2 Impedancias y redes de secuencia 3 Impedancias de

deeea urv cat public PROPOSTES pub pdf 2331pub pdf Diseño y cálculo de las instalaciones eléctricas para alimentar el polígono industrial Plan Parcial 9 de Tarragona Razón social de la persona que ha encargado el proyecto Dotar la zona industrial “Plan Parcial nº 9” para

Calculo integral vestorial.pdf

Capítulo 1 Curvas, integrales de línea y campos vectoriales

PDF Cálculo Integral OCW Unican Universidad de Cantabria ocw unican es pluginfile php 426 Calculo 20Integral 20 pdf PDF Cálculo Integral en Varias Variables Escuela de Matemáticas UCV matematica ciens ucv ve labfg an2 calintvv

  1. calculo integral pdf
  2. que es calculo integral
  3. calculo integral definicion
  4. calculo diferencial
  5. calculo integral ejercicios
  6. calculo vectorial marsden pdf
  7. calculo integral en ingles

Cálculo integral y aplicaciones matlab

apuntes de matlab - Universidad de Sevilla

PDF DERIVADAS E INTEGRALES EN R APLICACIONES POLINOMIOS pfortuny sdf eu practicas sesion4 pdf PDF Cálculo Integral con MatLab Curso 2010 2011 QueGrande orgquegrande apuntes grado practica 3 calculo integral pdf PDF Cálculo con MatLab

Calculo Integral y Sus Aplicaciones - Moisés Lázaro Carrión

MA-1003 - Escuela de Matemática - Universidad de Costa Rica

PDF Descargar Solucionario Del Libro Calculo Integral Moises Lazarolobsfragoc yolasite descargar solucionario del libro calculo integral moises lazaro pdf PDF cálculo diferencial e integral tese tese edu mx documentos2004 5429 SMBCTAH pdf PDF 4 1 áreas de regiones planas

Calculo.larson

Los Libros de Texto de Cálculo y el Fenómeno de la - Dialnet

Editor de desarrollo Sergio Campos Peláez Supervisor de producción Zeferino García García CÁLCULO con geometría analítica VOLUMEN I Octava edición Ron Larson Robert P Hosteller The Pennsyhciuia State University The Belireiul College Bruce H Edwards University

  1. calculo-larsson
  2. Bibliografía Para el alumno Larson
  3. Cálculo
  4. Introducción al cálculo Cálculo 1 y 2
  5. Compare Larson with Stewart
  6. cálculo diferencial e integral de funciones de una variable
  7. comparando textos de cálculo
  8. Cálculo Diferencial
  9. CÁLCULO INTEGRAL CLAVE
  10. cálculo ii
Home back Next

III (0253)

Description

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Ciclo Básico Departamento de Matemática Aplicada

CÁLCULO III (0253)

Semestre 3-2009

José Luis Quintero Octubre 2009

CÁLCULO III (0253)

José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin,

el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en los temas de funciones vectoriales de una variable real,

funciones reales de variables vectorial e integrales dobles y triples y sus aplicaciones

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema

Se presentan ejercicios resueltos y propuestos,

otros se han tomado de guías redactadas por profesores,

también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos

Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en Ingeniería

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material,

las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: [email protected]

INDICE GENERAL U

CÁLCULO III (0253) Prof

José Luis Quintero

Funciones Vectoriales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Vectorial

Integrales Dobles y Triples y sus Aplicaciones

Cálculo

Semestre 3-2009

TEMA 1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Semestre 3-2009

José Luis Quintero Octubre 2009

INDICE GENERAL U

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

Funciones Vectoriales de Variable Real Prof

José Luis Quintero

Vectores

Cantidades escalares y vectoriales

Función vectorial de una variable real

Ejercicios resueltos

Parametrización de algunas curvas

Ejercicios resueltos

Gráfica de curvas paramétricas con Graphmatica

Longitud,

Producto escalar

Ángulo entre vectores

Producto vectorial

Límite de una función vectorial

Continuidad de una función vectorial

Derivada de una función vectorial

Interpretación geométrica y física de la derivada

Integral de una función vectorial

Longitud de arco

Ejercicios resueltos

Gráficas de curvas paramétricas en R2

Ejercicios resueltos

Vectores canónicos

Direcciones

Vectores ortogonales

Proyección ortogonal

Cálculo de la proyección de un vector sobre otro

Formas de la ecuación del plano

Sistema de coordenadas móvil

Ejercicios resueltos

Curvatura

Curvatura para una recta

Curvatura para una circunferencia

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Circunferencia osculatriz y centro de curvatura

Torsión

Fórmulas de Frenet

INDICE GENERAL U

Funciones Vectoriales de Variable Real

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Ejercicios resueltos

Sistema de coordenadas polares

Representaciones de una curva en polares

Ecuación polar de una recta

Ecuación polar de una circunferencia

Distancias en coordenadas polares

Ecuación polar de una cónica

Gráficas en coordenadas polares

Intersección de curvas en polares

Forma paramétrica de una curva en polares

Búsqueda de tangentes

Longitud de arco y área en polares

Resumen de fórmulas

Ejercicios resueltos

Ejercicios propuestos

VECTORES

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

VECTORES Definición 1

Un vector es un objeto de la forma x = (x1 ,

Un vector es una magnitud representada por un segmento dirigido (flecha)

Se caracteriza por poseer:

Una longitud,

la que es representada por un valor numérico al que se llama módulo,

norma o tamaño del vector (ver figura 1)

Figura 1

Cálculo del módulo,

Una dirección,

que es la recta a la que pertenece (ver figura 2)

Un sentido

La recta posee dos sentidos,

generalmente estos se indican mediante signos “+” para un lado y “-” para el otro (ver figura 2)

Figura 2

Dirección y sentido de un vector

VECTORES

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Los vectores pueden situarse en el plano,

(dos dimensiones) (ver figura 3),

en el espacio (tres dimensiones) (ver figura 4) y hasta en dimensiones mayores a tres

Los vectores que se encuentren en el plano se llamarán “pares”,

mientras los que se ubiquen en el espacio se llamarán “ternas”

Figura 3

Vector en dos dimensiones

Figura 4

Vector en tres dimensiones

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Diversas medidas como la temperatura,

se pueden representar mediante un solo número real,

estas se llaman cantidades escalares

Otras como la fuerza que actúa sobre un objeto,

velocidad y aceleración de un cuerpo,

describir una dirección y un sentido

Se estudiarán con detalle algunas características de estas últimas cantidades

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES U

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

José Luis Quintero

FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL Definición 2

Se define una función vectorial de variable real como: r : I → Rn ,

,n es una función real de variable real con dominio Ii

Las funciones ri se llaman funciones coordenadas de la función r

Definición 3

El dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de

Ejemplo 1

Dada la función r(t) = ( t − 3,

Solución

Las funciones coordenadas vienen dadas por:

∞) t + 3 ⇒ D(r2 ) = [−3,

Por lo tanto,

Definición 4

El rango o imagen de una función vectorial r es un conjunto de puntos en

Muchas funciones vectoriales con imagen en R 2 o R 3 tienen como rango lugares geométricos conocidos

Ejemplo 2

Dada la función

4sen(t)),

Solución

La imagen de la función es una circunferencia de radio 4

En efecto llamando a sus funciones coordenadas x(t) = 4 cos(t),

FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL U

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Ejemplo 3

Dada la función r(t) = (2 + t,

Solución

Se puede observar que cada función coordenada corresponde a una ecuación paramétrica de una recta,

El rango o imagen de una función vectorial es un conjunto de puntos en Rn ,

Una curva puede ser representada por una o más funciones vectoriales

Ejemplo 4

Las funciones vectoriales definidas como f(t) = (1 + 2t,

2 − t) ,

t ∈ [0,1] y g(t) = (3 − 2t,1 + t) ,

t ∈ [0,1] tienen el mismo conjunto imagen: el segmento de recta que une los puntos (1,2) y (3,1)

Observación 1

Una función vectorial r lleva implícita dos características fundamentales: la forma de la curva (imagen de la función) y la manera como se recorre ésta (sentido de recorrido y posición)

Observación 2

Si la función r es inyectiva,

t2 ∈ I,

se dirá en este caso que es una curva simple

Si r(a) = r(b) se dirá que la curva es cerrada en [a,b]

Ejemplo 5

La circunferencia f(t) = (2 cos(t),

Ejemplo 6

La curva conocida con el nombre de estrofoide (ver figura 5) imagen de la función  t2 − 1 t3 − t  ,

 t + 1 t2 + 1    no es una curva simple,

Figura 5

Representación gráfica de la estrofoide

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

EJERCICIOS RESUELTOS 1

Dada la función r(t) = (t,

Solución

El rango o imagen en este caso viene dado por la gráfica de y = x3

Encuentre los valores de t para los cuales la curva  t2 t  r(t) =  ,

 1 − t t2 − 1    se autointersecta

Solución

Sean t1 = A y t2 = B

Se tiene entonces:

A2 B2 = ⇒ A2 (1 − B) = B2 (1 − A) ⇒ A2 − A2B = B2 − B2 A ⇒ A2 − B2 + B2 A − A2B = 0 1− A 1−B ⇒ (A − B)(A + B) + AB(B − A) = 0 ⇒ AB(B − A) − (B − A)(B + A) = 0 ⇒ (AB − A − B)(B − A) = 0 ⇒ A = B o AB = A + B Por otro lado A B = 2 ⇒ A(B2 − 1) = B(A2 − 1) ⇒ AB2 − A = A2B − B ⇒ AB2 − A2B + B − A = 0 2 A −1 B −1 ⇒ AB(B − A) + (B − A) = 0 ⇒ (AB + 1)(B − A) = 0 ⇒ A = B o AB = −1 Se puede concluir que A + B = −1 ⇒ B = −(A + 1) de modo que

A2 (A + 1)2 = ⇒ A2 (A + 2) = (A + 1)2 (1 − A) ⇒ A3 + 2A2 = (A2 + 2A + 1)(1 − A) 1−A A+2 ⇒ A3 + 2A2 = A2 − A3 + 2A − 2A2 + 1 − A ⇒ 2A3 + 3A2 − A − 1 = 0 Aplicando Ruffini se tiene

A1 = −

A2 = 2 2

Buscando los puntos se tiene:

⇒B=− 2 2  1+ 5 1+ 5 1 − 5 −1 + 5 A=− ⇒ B = − 1 − = punto de autointersección  = −  2 2 2 2   A=−

Se concluye que

 1+ 5  −1 + 5  r −  = r   = (1,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

En la figura 6,

la circunferencia de radio a es fija y para todo valor del ángulo t,

P es el punto de intersección de la recta vertical que pasa por A y la recta horizontal que pasa por B

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por P sabiendo que el punto A siempre se encuentra sobre la recta y = 2a y el punto B siempre se encuentra sobre la circunferencia

Figura 6

Gráfica del ejercicio 3

Solución

Se tiene que

P(t) = (Px (t),Py (t)) = (A x (t),By (t)) Las coordenadas de la curva descrita por el punto A vienen dadas por A(t) = (A x (t),

A y (t)) = (2a

Como B siempre se encuentra sobre la circunferencia,

Bx (t) = a2 − By (t) − a = By (t) 2a − By (t)

Sustituyendo y elevando al cuadrado se tiene 2

By (t) 2a − By (t) = ctg2 (t)

By (t) ⇒ 2a − By (t) = ctg2 (t)

By (t) ⇒ By (t) = 2asen2 (t) ,

By (t) ≠ 0 Las coordenadas de la curva descrita por el punto B vienen dadas por

B(t) = (Bx (t),By (t)) = (a

P(t) = (Px (t),Py (t)) = (2a

PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS U

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

José Luis Quintero

PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS a

La imagen de la función vectorial f(t) = (x0 + (x1 − x0 )t,

t ∈ R es una recta que pasa por los puntos (x0 ,

Si se desea cambiar el sentido,

En tal caso se obtiene la función vectorial g(t) = (x0 + (x0 − x1 )t,

t ∈ R que resulta ser una recta que pasa por los puntos (x0 ,

Observación 3

Si se desea parametrizar un segmento de recta de extremos (x0 ,

Circunferencia

La imagen de la función vectorial f(t) = (h + r cos(t),k + rsen(t)),

2π] es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido antihorario

La imagen de la función vectorial g(t) = (h + r cos(t),k − rsen(t)),

2π] es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido horario

La imagen de la función vectorial f(t) = (h + a cos(t),k + bsen(t)),

2π] es una elipse de ecuación

recorrida en sentido antihorario

La imagen de la función vectorial g(t) = (h + a cos(t),k − bsen(t)),

2π] es una elipse de ecuación (x − h)2 a2 recorrida en sentido horario

PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS U

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

José Luis Quintero

Parábola

La imagen de la función vectorial

t ∈ R es una parábola de ecuación (x − h)2 = 4p(y − k) con sentido de recorrido de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según p sea positivo o negativo respectivamente

La imagen de la función vectorial

t ∈ R es una parábola de ecuación y = ax2 + bx + c'con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable x

La imagen de la función vectorial

t ∈ R es una parábola de ecuación x = ay2 + by + c'con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable y

Hipérbola

La imagen de la función vectorial f(t) = (h + a cosh(t),k + bsenh(t)),

t ∈ R es la rama derecha de la hipérbola de ecuación (x − h)2 (y − k)2 − = 1

La ecuación cartesiana (en este caso la hipérbola) contiene más puntos

de los que generan las ecuaciones paramétricas planteadas

La imagen de la función vectorial g(t) = (h + a sec(t),k + b t g(t)) ,

Solución

Parametrizando la elipse y calculando otros vectores se tiene r(t) = (a cos(t),bsen(t)),

r '(t) = (−asen(t),b cos(t)),

2π

κ(t) =

a2sen2 (t) + b2 cos2 (t)  

Si f(t) = a2sen2 (t) + b2 cos2 (t) entonces los puntos donde f(t) alcance el valor máximo (mínimo) equivalen a los puntos donde la función curvatura alcance el valor mínimo (máximo)

f '(t) = 2a2sen(t) cos(t) − 2b2sen(t) cos(t) = 2(a2 − b2 )sen(t) cos(t) = (a2 − b2 )sen(2t)

f '(t) = (a2 − b2 )sen(2t) = 0 ⇒ t = 0,

f ''(t) = 2(a2 − b2 ) cos(2t)

f ''(0) = f ''(π) > 0 (mínimo para f(t),

máximo para κ(t))

Curvatura máxima a/b

f ''( 2π ) = f ''( 32π ) < 0 (máximo para f(t),

mínimo para κ(t))

Curvatura mínima b/a

Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse se encuentran ubicados en sus vértices

Dada la curva

Calcule el punto de radio de curvatura mínimo

Solución

8(t2 + 1)t

κ '(t) = 0 ⇒ t = 0 ⇒ κ ''(0) = −8 < 0 ⇒ máximo

Por lo tanto el punto de máxima curvatura es r(0) = (0,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Encuentre las ecuaciones paramétricas de sus centros de curvatura

Solución

−2t2 − 2  × (t2 − 1,

−2t2 − 2  × (t2 − 1,

0  +

 κ(t)  3 2 2(t2 + 1)2   t3  (4t(t2 + 1),

−2(t 4 − 1))  t3 t4 − 1  = − t,

C(t) = r(t) +

Sea la curva r(t) = (3 cos(t),

Demuestre que r(t) es una curva plana y encuentre la ecuación del plano que la contiene

Solución

Cálculo de r'(t) y r''(t)

Cálculo de B(t)

r '(t) × r ''(t) (−3sen(t),

−4sen(t),5 cos(t)) × (−3 cos(t),

−5sen(t)) = r '(t) × r ''(t) (−3sen(t),

−4sen(t),5 cos(t)) × (−3 cos(t),

B(t) = =

Como B(t) es un vector constante,

entonces la curva r(t) es plana

Cálculo de la ecuación del plano osculador

Se busca un punto arbitrario de la curva,

La ecuación del plano osculador es B(t) • ((x,

z) = 0   4 3 ⇒ (x − 3) − (y − 4) = 0 ⇒ 4(x − 3) − 3(y − 4) = 0 5 5 ⇒ 4x − 12 − 3y + 12 = 0 ⇒ 4x − 3y = 0

Encuentre la componente tangencial de r'(t) y la componente binormal de r''(t)

Solución

Cálculo de T(t)

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Cálculo de la componente tangencial de r'(t)

−4sen(t),5 cos(t)) •  − ,− ,

cos(t)  5 5   = 5sen2 (t) + 5 cos2 (t) = 5 Paso 3

Cálculo de la componente binormal de r''(t)

0  = 0

Una curva C está definida por  y = sen(x) x ∈ 0,

π   2  x ∈ 0,

π 

 y = x −2 π  2  2 x + (y + 1) = 1 x ∈  −1,

Solución

Si se sustituye en la curva r(t) = (t,

se puede verificar que r(π / 2) = (π / 2,1) ,

de modo que se encontrará la circunferencia osculatriz para t = π /2

Cálculo de la curvatura en t = π / 2

f ''( 2π ) (1 + (f '( 2π ))2 )3 /2

sen( 2π ) (1 + (cos( 2π ))2 )3/2

Cálculo del vector normal en t = π / 2

r '( π ) × r ''( 2π ) × r '( 2π ) (1,

0) × (0,

0) × (0,

0) (1,

0) × (0,

0) × (0,

0) = (0,

0) Paso 3

Cálculo del radio y el centro de curvatura en t = π / 2

κ(π / 2)

Centro de curvatura: C(π / 2) = (π / 2,1) + 1

Ecuación cartesiana de la circunferencia osculatriz: (x − π / 2)2 + y2 = 1

La circunferencia osculatriz y la curva se pueden apreciar en la figura 38

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Figura 38

Circunferencia osculatriz y la curva del ejercicio 4

Una curva C está definida por

  π y = tg(x) x ∈ 0,

   4   2 2 (x − 1) + y = 1 y ∈  −1,

0

 y = 4 (x − 2) y ∈ 0,1    π−8  En el punto (1,

−1) determine las componentes tangencial y normal de la aceleración

Solución

Cálculo del valor del parámetro

De acuerdo a la parametrización obtenida en el inciso anterior,

−1) y corresponde a la circunferencia

Cálculo del vector tangente unitario

cos(t + π)) ⇒ r'(t) = 1 ⇒ T(t) = (−sen(t + π),

cos(t + π)) ⇒ T( 2π ) = (1,

Cálculo del vector normal unitario

T'(t) = (− cos(t + π),

−sen(t + π)) ⇒ T'(t) = 1 ⇒ N(t) = (− cos(t + π),

Cálculo del vector aceleración

−sen(t + π)) ⇒ r''( 2π ) = (0,1)

Cálculo de las componentes tangencial y normal

Componente tan gencial = r''( 2π ) • T( 2π ) = 0 Componente normal = r''( 2π ) • N( 2π ) = 1

Sea la curva r(t) = (3 − 2t2 ,

t2 − 4t,

2t2 − 1)

Determine en t = 1 : a

El radio y el centro de curvatura

Solución

Cálculo de r'(t) y r''(t)

2t − 4,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Cálculo del radio de curvatura

4) (−16,

−16) 16 2 24 2 κ(1) = = = = = 3 3 3 3 3 63 2 3 (−4,

4) (−4,

4) r '(1)

Cálculo del centro de curvatura

r '(1) × r ''(1) × r '(1) (−16,

3 2 (−1,

C(1) = r(1) +

N(1) 27 2(−1,

κ(1) 4 4 4  4

3 2 

La ecuación del plano osculador y del plano normal

Solución

Cálculo de T(1) y B(1)

B(1) = T(1) × N(1) =

4,1) (9,

Ecuación del plano osculador

z − 1) = 0 ⇒ x + z − 2 = 0 2 Paso 3

Ecuación del plano normal

z − 1) = 0 ⇒ 2x + y − 2z + 3 = 0 3 18

Sea r(t) = (2t,

Halle τ(t) / κ(t)

Solución

Cálculo de r'(t),

2 3t,3t2 )

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Cálculo de τ(t)

τ(t) =

(r '(t) × r ''(t)) • r '''(t) r '(t) × r ''(t)

(6 3t2 ,

Cálculo de κ(t)

κ(t) =

Cálculo de τ(t) / κ(t)

τ(t) / κ(t) = 1 ⇒ τ(t) = κ(t) ∀t ∈ D(r)

Calcule W(0) = T'(0) + N'(0) + B'(0)

Solución

De acuerdo a las fórmulas de Frenet-Serret y en concordancia con el resultado anterior se tiene que: W(0) = T'(0) + N'(0) + B'(0) = κ(0)s '(0)N(0) + τ(0)s '(0)B(0) − κ(0)s '(0)T(0) − τ(0)s '(0)N(0)

= κ(0)s '(0)N(0) + κ(0)s '(0)B(0) − κ(0)s '(0)T(0) − κ(0)s '(0)N(0) = κ(0)s '(0) B(0) − T(0) =

4 3) (2,

Sea r(t) una curva tal que r '(t) = k

Demuestre que la aceleración es proporcional a la curvatura de r(t)

Solución

r '(t) = k ⇒ r '(t) • r ''(t) = 0

κ(t) =

La espiral de Cornu viene dada por  t 2 r(t) =  cos( πα2 )dα,

 2 sen( πα2 )dα   

Calcule su longitud de arco entre t = 0 y t = a ,

su curvatura en t = a y exprese la relación existente entre la curvatura y la longitud de arco

Solución

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

dα = a

Relación entre curvatura y longitud de arco: κ(s) = sπ

Encuentre la ecuación de la circunferencia osculatriz a la hipérbola equilátera xy = 1 en los puntos donde el radio de curvatura sea mínimo

Solución

De modo que:

κ(x) =

κ(x) =

Radio de curvatura mínimo ⇒ Curvatura máxima

κ '(x) = =

κ '(x) = 0 ⇒ 6x2 (x 4 + 1)1 2 (1 − x4 ) = 0 ⇒ x = 0 ,

En x = 0,

κ(0) = 0

En x = 1,

κ(1) = 2 / 2

Como f(x) es impar se tiene en x = −1,

κ(−1) = 2 / 2

Una parametrización para la curva es r(t) = (t,1 / t)

− 12 ) r '(t) t = r '(t) 1 + 14 t

Ecuación de la circunferencia osculatriz para t = 1 : Radio de curvatura = a = 2

Centro de curvatura = C(1) = r(1) + 2N(1)

(1,1) 2

C(1) = r(1) + 2N(1) = (1,1) + (1,1) = (2,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Circunferencia osculatriz: (x − 2)2 + (y − 2)2 = 2

Ecuación de la circunferencia osculatriz para t = −1 : Radio de curvatura = a = 2

Centro de curvatura = C = r(−1) + 2N(−1)

T(−1) =

C = r(−1) + 2N(−1) = (−1,

Circunferencia osculatriz: (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2

La circunferencia x2 + y2 = 5 es osculatriz en el punto (1,2) a una parábola,

Halle la ecuación de esta parábola

Solución

Una parábola de eje paralelo al eje x tiene ecuación de la forma x = ay2 + by + c'

Evaluando en el punto de interés se obtiene la relación 1 = 4a + 2b + c

De modo que si se hace t = y se obtiene r(t) = (at + bt + c,

De esta forma se 2

r '(t) = (2at + b,1) y r ''(t) = (2a,

En el punto de interés (t = 2) ,

r '(2) = (4a + b,1) y r ''(2) = (2a,

Aplicando la ecuación de centro de curvatura se tiene

C(2) = (1,

Como T(2) =

entonces T(2) • N(2) = 0 ⇒ −4a − b − 2 = 0 ⇒ 4a + b = −2

Por otro lado,

κ(2) =

(4a + b)2 + 1   Al usar la relación (**) se tiene 2a 53

Usando las relaciones (*) y (**) se tienen dos parábolas: Parábola 1

c = −5 ⇒ x = − 52 y2 + 8y − 5 ⇒ (y − 85 )2 = − 25 (x − 75 )

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Parábola 2

Como se puede observar en la figura 39,

se elige la parábola 1 ya que la circunferencia osculatriz se encuentra en la parte cóncava de la curva

Figura 39

Representación gráfica de las curvas del ejercicio 11

Sea la curva

3    Obtenga la ecuación de la circunferencia osculatriz en (0,0)

Solución

T(t) = ⇒ T '(t) = 2 (2t,1 − t2 ) 2 2 t +1 (t + 1)2

Centro: (0,

Circunferencia: x2 + (y − 12 )2 = 24

Calcule la componente normal y tangencial de la aceleración en 3

un punto donde el plano normal es paralelo al plano −3x + 4z = 24

Solución

2t + 1,

2t + 1,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Para obtener paralelismo con el plano −3x + 4z = 24 se tiene

T(t) × (−3,

27 4 81 16

i j k 9 −4 0 3 cN (− 12 ) =

r'(− 12 ) × r''(− 12 ) r'(−

Sea la curva de ecuación vectorial r(t) = (t cos(t),

Calcule el cociente curvatura entre torsión en t = 0

Solución

sen(t) + t cos(t),1) ⇒ r '(0) = (1,

r '(0) × r ''(0) = 1 0 1 = (−2,

r '(0)×r ''(0) 3 r '(0) (r '(0)× r ''(0))•r '''(0) 2 r '(0)× r ''(0)

((r '(0) × r ''(0)) • r '''(0))

16 2 2 2

Halle la ecuación del plano osculador en el punto (0,0,0)

Solución

r '(0) × r ''(0) 2 2 2 2 

la ecuación es:  1 1  ,

2 2 

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Una curva plana C,

que viene parametrizada por r(t) = (x(t),

Encuentre en t0 : a

La curvatura de C

Solución

i r '(t0 ) × r ''(t0 ) = −2

0 = (−3,

r '(t0 ) × r ''(t0 ) = 9 + 36 + 9 = 3 6

3 / 2 −3

4 + 1 = 5

Se tiene entonces que:

κ(t0 ) =

r '(t0 ) × r ''(t0 ) r '(t0 )

3 6 5 5

La ecuación del plano rectificante

Solución

B(t0 ) =

N(t0 ) =

T(t0 ) =

Ecuación del plano rectificante: (−1,

z − 3) = 0 ⇒ x + 2y − 5z + 17 = 0

El vector N'

Solución

N '(t0 ) = τ(t0 )

B(t0 ) − κ(t0 )

T(t0 ) = (0,

3 6 5 5

3 6 5 5

Sea r(t) = (3t − t3 ,

3t + t3 )

Determine: a

que κ(t) = τ(t) en cualquier punto

Solución

i r '(t) × r ''(t) = 3 − 3t −6t

−36t,18t2 + 18) = 18(t2 − 1,

r '(t) × r ''(t) = 18 2(t2 + 1) ,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Se tiene entonces que:

κ(t) =

τ(t) =

(r '(t) × r ''(t)) • r '''(t) r '(t) × r ''(t)

alcance un máximo o mínimo local

Solución

= (3t − t3 )2 + 9t 4 + (3t + t3 )2 = 9t2 − 6t4 + t6 + 9t 4 + 9t2 + 6t 4 + t6 = 2t6 + 9t 4 + 18t2

 r(t) 2  ' = 0 ⇒ 12t5 + 36t3 + 36t = 0 ⇒ t = 0    r(t) 2  '' = 60t 4 + 108t2 + 36 ⇒  r(0) 2  '' = 36 > 0 mínimo local     cómo son geométricamente los vectores r '(t0 ) y r ''(t0 )

Solución

3) • (0,

0) = 0 ,

Una partícula móvil con vector de posición r(t) se mueve en el espacio

Pruebe que si r(t) × r '(t) es un vector constante,

la partícula se mueve en un plano

Solución

c) ⇒ (r(t) × r '(t)) ' = r(t) × r ''(t) = 0 ⇒ r(t) r ''(t) ⇒ r ''(t) = k1r(t)

c) ⇒ r '''(t) × r '(t) = 0 ⇒ r '(t) r '''(t) ⇒ r '''(t) = k2r '(t)

τ(t) =

(r '(t) × r ''(t)) • r '''(t) r '(t) × r ''(t)

Encuentre los puntos de máxima y mínima torsión de la curva dada por r(t) = (t − sen(t),1 − cos(t),

Solución

r '(t) × r ''(t) = 1 − cos(t) sen(t) 1 = (− cos(t),

= cos2 (t) + sen2 (t) + cos2 (t) − 2 cos(t) + 1 = cos2 (t) − 2 cos(t) + 2

τ '(t) =

−2 cos(t)sen(t) + 2sen(t) (cos2 (t) − 2 cos(t) + 2)2

= 0 ⇒ sen(t)(1 − cos(t)) = 0 ⇒ t = 0,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Mínima torsión: t = 0,

t = 2π τ(0) = τ(2π) = −1 / 2

Puntos: r(0) = (0,

2π) Máxima torsión: t = π τ(π) = −1 / 5

Puntos: r(π) = (π,2,

El movimiento de una partícula en un instante cualquiera tiene como vector aceleración

Para t = 0 se sabe que v(0) = (2,3,1) y r(0) = (0,

Encuentre la ecuación de la curva r(t) que describe la posición de la partícula

Solución

r(t) = (−sen(t) + c1t + c2 ,

c3 = 3,

c6 ) = (0,

c4 = 0,

Por tanto r(t) = (−sen(t) + 3t,

t2 + t)

Calcule para t = 0 ,

la torsión y el plano osculador

Solución

τ(0) =

(r '(0) × r ''(0)) • r '''(0) r '(0) × r ''(0)

0) • (1,

Plano osculador:

0) 13 c

z − 0) = 0 ⇒ 3x − 2y = 0

Encuentre las componentes tangencial y normal del vector aceleración en t = 0

Solución

Determine y grafique la función φ(α) > 0 tal que la curva  r(t) =   

φ(α)sen(α)dα,

φ(α) cos(α)dα,

tenga curvatura κ(t) = 1 + cos2 (t)

Solución

Cálculo de r'(t),

φ(t) cos(t),

φ(t) tan(t)) = φ(t)(sen(t),

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

r'(t) = φ(t) sen2 (t) + cos2 (t) + tan2 (t) = φ(t) 1 + tan2 (t) = φ(t) sec(t)

Cálculo de r'(t) × r''(t),

r'(t) × r''(t) = φ(t)(sen(t),

tan(t))   = (φ(t))2 (sen(t),

sec2 (t)) × φ(t)φ '(t) (sen(t),

tan(t))   i = (φ(t))2 sen(t)

k i j k i j k tan(t) + φ(t)φ '(t) sen(t) cos(t) tan(t) = (φ(t))2 sen(t) cos(t) tan(t) + φ(t)φ '(t)0 sen(t) cos(t) tan(t) cos(t) −sen(t) sec2 (t) cos(t) −sen(t) sec2 (t)

k  1  sen2 (t) sen(t) tan(t) = (φ(t))2  + ,

−sen2 (t) − cos2 (t)  2  cos(t) cos(t)  cos (t)   cos(t) −sen(t) sec2 (t)

 1 + sen2 (t)  sen3 (t) = (φ(t))2  ,− ,

−1  2  cos(t)  cos (t)  

Cálculo de κ(t)

κ(t) =

(φ(t))2 =

(φ(t))3 sec3 (t)

φ(t) sec(t)

cos2 (t)(1 + sen2 (t))2 + sen6 (t) + cos4 (t) φ(t) sec(t)

cos2 (t)(2 − cos2 (t))2 + (1 − cos2 (t))3 + cos4 (t) φ(t) sec(t)

cos2 (t)(4 − 4 cos2 (t) + cos4 (t)) + 1 − 3 cos2 (t) + 3 cos4 (t) − cos6 (t) + cos4 (t) φ(t) sec(t)

Búsqueda y gráfico de φ(t)

Igualando de acuerdo a lo especificado:

κ(t) = 1 + cos2 (t) ⇒

φ(t) sec(t)

Se muestra la gráfica de φ(t) = cos(t),

0 ≤ t 0

θ = π / 2 y está a la izquierda del foco se tendrá ω = 0 y r cos(θ) − r* > 0 ,

θ = 0 (eje x) y está por encima del foco se tendrá ω = π / 2 y r cos(θ) − r* < 0,

θ = 0 y está por debajo del foco se tendrá ω = π / 2 y rsen(θ) − r* > 0,

ECUACIÓN POLAR DE UNA CÓNICA U

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

José Luis Quintero

Ejemplo 36

Determine la ecuación de la cónica con foco en el polo,

directriz x = 2 y excentricidad e = 2

Solución

La directriz es x = 2 ,

está a la derecha del foco y es paralela al eje θ = π / 2 por lo tanto su ecuación general es

Sustituyendo se tiene

Ejemplo 37

La ecuación de una cónica es

Identifique la cónica,

dé la ecuación de la directriz correspondiente al foco en el polo y obtenga los vértices

Solución

4 3 2 3

Por tanto e = 2 / 3 < 1 ,

Se tiene además que 2 4 er* = r* = ⇒ r* = 2

Vértices: r(π / 2) = 4 / 5 ⇒ v1 = (4 / 5,

π / 2)

3π / 2)

GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES Dada una curva definida por la ecuación F(r,

θ) = 0 ,

se define el gráfico de ella como el conjunto de puntos P(r,

θ) que satisfacen la ecuación

Tipos de caracoles (o limacon)

Sea la ecuación r = a + b cos(θ),

GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES U

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

Figura 43

Gráfica de r=1+2cos(θ)

a / b = 1 : Cardioide (forma de corazón) (ver figura 44)

Figura 44

Gráfica de r=1+cos(θ)

Gráfica de r= 2

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

José Luis Quintero

GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES U

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Figura 46

Gráfica de r=3+cos(θ)

Tipos de rosas

La gráfica de una ecuación de la forma r = a cos(nθ) es una rosa que tiene n hojas si n es impar y 2n hojas si n es par

Cada hoja tiene una longitud a

Figura 47

Gráfica de r=2cos(2θ)

Figura 48

Gráfica de r=2cos(3θ)

INTERSECCIÓN DE CURVAS EN POLARES Dada una curva definida por la ecuación F(r,

θ) = 0 ,

se define el gráfico de ella como el conjunto de puntos P(r,

θ) que satisfacen la ecuación

INTERSECCIÓN DE CURVAS EN POLARES U

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

José Luis Quintero

Ejemplo 38

Intersecte las curvas r = 2 cos(2θ) y r = 1

Solución

Figura 49

Intersecciones de las curvas del ejemplo 38

Se observa de la figura 49 que hay ochos puntos de intersección

Para obtener todas las soluciones se debe intersectar una a una las representaciones de dichas curvas,

lo cual se traduce en resolver los siguientes dos sistemas: r =1 r =1   ,

  r = 2 cos 2θ r = −2 cos 2θ

cuyas soluciones en el intervalo [0,

2π] son: π 5π 7π 11π θ= ,

π 2π 4π 5π ,

3 3 3 3

FORMA PARAMÉTRICA DE UNA CURVA EN POLARES

BÚSQUEDA DE TANGENTES Sea r = r(θ) la ecuación de una curva en coordenadas polares,

se tiene entonces su forma paramétrica

r(θ) = (r(θ) cos(θ),r(θ)sen(θ))

BÚSQUEDA DE TANGENTES

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Tangentes horizontales: r '(θ)sen(θ) + r(θ) cos(θ) = 0 y r '(θ) cos(θ) − r(θ)sen(θ) ≠ 0

Tangentes verticales: r '(θ)sen(θ) + r(θ) cos(θ) ≠ 0 y r '(θ) cos(θ) − r(θ)sen(θ) = 0

Ejemplo 39

Encuentre las tangentes horizontales y verticales a r = 1 + 2 cos(θ)

Solución

Figura 50

Gráfica del ejemplo 39

Tangentes horizontales:

−2sen2 (θ) + (1 + 2 cos(θ)) cos(θ) = 0 ⇒ −2(1 − cos2 (θ)) + cos(θ) + 2 cos2 (θ) = 0 ⇒ −2 + 4 cos2 (θ) + cos(θ) = 0 ⇒ θ = 53

62 ,147

46 ,212

53 ,306

46 ) ,

53 ) ,

38 ) 

Tangentes verticales: −2sen(θ) cos(θ) − (1 + 2 cos(θ))sen(θ) = 0 ⇒ −2sen(θ) cos(θ) − sen(θ) − 2sen(θ) cos(θ) = 0

⇒ 4sen(θ) cos(θ) + sen(θ) = 0 ⇒ sen(θ)(4 cos(θ) + 1) = 0 ⇒ θ = 0 ,180 ,104

47 ) ,

TEOREMA 15

Si m es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de r(θ) en el punto

r '(θ)sen(θ) + r(θ) cos(θ)

r '(θ) cos(θ) − r(θ)sen(θ)

BÚSQUEDA DE TANGENTES

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Demostración

Se sabe que

dy dy / dθ r '(θ)sen(θ) + r(θ) cos(θ) = = dx dx / dθ r '(θ) cos(θ) − r(θ)sen(θ)

considerando la forma paramétrica en coordenadas polares vista en el apartado anterior

LONGITUD DE ARCO Y ÁREA EN POLARES Sea

r(θ) = (r(θ) cos(θ),r(θ)sen(θ)) la forma paramétrica de una curva dada en coordenadas polares

Se tiene:

r' (θ) = (r '(θ) cos(θ) − r(θ)sen(θ),r '(θ)sen(θ) + r(θ) cos(θ))

De modo que

(r '(θ) cos(θ) − r(θ)sen(θ))2 + (r '(θ)sen(θ) + r(θ) cos(θ))2 dθ

Ejemplo 40

Calcule la longitud de arco de de la cardioide r = 2(1 + cos(θ))

Solución

(−2sen(θ))2 + 4(1 + cos(θ))2 dθ = 16

TEOREMA 16

Sea R la región limitada por las rectas θ = α y θ = β y la curva cuya ecuación es r(θ) ,

donde r es continua y no negativa en el intervalo cerrado [α,

Entonces,

si A unidades cuadradas es el área de la región R,

Ejemplo 41

Calcule el área de la región limitada por la cardioide r = 2(1 + cos(θ))

Solución

π 1 (2 2 0

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

RESUMEN DE FÓRMULAS

T(t) = N(t) × B(t)

κ(t) =

aT (t) =

B(t) = T(t) × N(t)

κ(t) =

r '(t) • r ''(t) T(t) r '(t)

B '(t) = −τ(t)s '(t)N(t)

κ(θ) =

N(t) = B(t) × T(t)

r '(t) × r ''(t) × r '(t) N(t) =  r '(t) × r ''(t) × r '(t)

r '(t) × r ''(t) r '(t) × r ''(t)

y ''(t)x '(t) − y '(t)x ''(t)

aN (t) =

T '(t) = κ(t)s '(t)N(t)

τ(t) =

(r '(t) × r ''(t)) • r '''(t) r '(t) × r ''(t)

N '(t) = τ(t)s '(t)B(t) − κ(t)s '(t)T(t)

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

EJERCICIOS RESUELTOS 1

Sea la curva de ecuación vectorial

 1 + t3 1 + t3    Pruebe que la curva dada verifica la ecuación x3 + y3 = 3xy y escriba su ecuación polar

Solución

x3 + y3 =

(3t2 )3

(1 + t3 )3

(1 + t3 )3

3t2 1 + t3

Ecuación polar:

Calcule la longitud de arco de r = 1 + cos(θ),

Solución

r(θ) = ((1 + cos(θ)) cos(θ),(1 + cos(θ))sen(θ)) ,

dθ = 2

dθ − 2

π 2π   2  2 1 − cos(θ)  − 2 1 − cos(θ)   = 2 2 2 + 2 2  = 8       0 π  

Las espirales de MacLaurin corresponden a una familia de curvas en el plano que al ser descrita en coordenadas polares las variables r y θ satisfacen la relación 1

Pruebe que la curvatura de una espiral de MacLaurin de orden n es n −1 n+1 κ=

Cálculo de r ' y r ''

1 −n n

1 − 2n n

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Cálculo de κ

r2 + (r ')2   

2 − 2n

cos2(nθ) − a2(1 − n)(sen(nθ)) n

(sen(nθ)) n cos2(nθ)    

(sen(nθ))−2 cos2(nθ) − (1 − n)(sen(nθ))−2 cos2(nθ) + n(sen(nθ))−1sen(nθ) 1

a(sen(nθ))n 1 + (sen(nθ))−2 cos2(nθ)   =

a(sen(nθ))n 1 + (sen(nθ))−2 cos2(nθ)   n+1 n+1 n+1 = = = = 1 1 1 −1 1−n 1/2 1/2 a(sen(nθ))n 1 + (sen(nθ))−2 cos2(nθ) a(sen(nθ))n csc2(nθ) a(sen(nθ))n a(sen(nθ)) n     a(sen(nθ))n 1 + (sen(nθ))−2 cos2(nθ)   (1 + n)

Una ecuación polar r = f(θ) es de la forma

Identifique,

estudie y grafique la ecuación r = f(cos(θ))

Solución

3 2 1 2

Figura 51

Gráfica del ejercicio 4a

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Grafique la curva de ecuación

 π   r = f  cos  θ −  

Figura 52

Gráfica del ejercicio 4b

Grafique,

identifique y encuentre la ecuación de la cónica que tiene foco en el polo,

e = 4 / 3 y directriz la recta L': r cos(θ − π / 4) = 3 / 4

Solución

Sin rotación la ecuación de la cónica sería r=

Al rotar se obtiene

Figura 53

Gráfica del ejercicio 5

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág

CÁLCULO III (0253)

- TEMA 1

José Luis Quintero

Dadas las curvas de ecuaciones

en el sistema de coordenadas polares,

halle sus puntos de intersección

Solución

r = 1 + 3 cos(θ) : Caracol con lazo: Representaciones: r = 1 + 3 cos(θ) ,

Elipse rotada ángulo π sentido antihorario

Representaciones: r=

Intersecciones: Primer sistema: 2 1 + 3 cos(θ) = ⇒ (2 − cos(θ))(1 + 3 cos(θ)) = 2 ⇒ 2 + 5 cos(θ) − 3 cos2 (θ) = 2 2 − cos(θ)

⇒ 3 cos2 (θ) − 5 cos(θ) = 0 ⇒ cos(θ)(3 cos(θ) − 5) = 0 ⇒ θ = Si k = 0 ,

π 3π  π   3π 

Si k = 1 ,

Puntos :  1,

Segundo sistema: 2 −1 + 3 cos(θ) = ⇒ (2 − cos(θ))(−1 + 3 cos(θ)) = 2 ⇒ −2 + 7 cos(θ) − 3 cos2 (θ) = 2 2 − cos(θ) ⇒ 3 cos2 (θ) − 7 cos(θ) + 4 = 0 ⇒ 3(cos(θ) − 1)(cos(θ) − 43 ) = 0 ⇒ θ = 2kπ ,

Si k = 1 ,

θ = 2π

Puntos : (2,

2π) Tercer sistema:

⇒ 3 cos2 (θ) + 7 cos(θ) + 4 = 0 ⇒ 3(cos(θ) + 1)(cos(θ) + 34 ) = 0 ⇒ θ = (2k + 1)π ,

θ = π

Si k = 1 ,

θ = 3π

Puntos : (−2,

π) (−2,

3π) Cuarto sistema:

Si k = 0 ,

π 3π  π   3π 

Si k = 1 ,

Puntos : 1,

EJERCICIOS RESUELTOS

Funciones Vectoriales de Variable R