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Cálculo en Varias Variables - Mario Errol Chavez Gordillo

Manual de uso de Maxima y wxMaxima en asignaturas de cálculo

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lculo de varias variables e integracion multiple

Description

(x,y,z)7→(a,b,c) x2 +y 2 >z 2 n P

m´ax a2kl

Z ξττo s

zX }| 1 { zX }| { ≤ an + bn

n≥1 n≥1 {z } P ¿γ= n≥1 (an +bn )

´ CALCULO EN VARIAS VARIABLES Autor MARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO La Paz

W ss(s0 )

´Indice general

Espacio Euclidiano n-dimensional

Operaciones entre vectores

Producto interno y Norma

Paralelismo y Perpendicularidad

Proyecci´on y Componente

Angulo entre vectores

Producto vectorial

Geometr´ıa Anal´ıtica S´ olida

Introducci´on

Distancia entre dos puntos

La recta

El Plano

Distancias entre puntos,

Superficies Cuadr´aticas

Derivada y Recta Tangente

Longitud de Curva

Curvatura,

Normal Principal

Funciones Vectoriales de Variable Vectorial 4

Dominio y e imagen de una funci´on

R mατιo ετ o ζℏαυεz ⊛ 74076882

Operaciones con funciones

Gr´aficas de funciones

Secciones

Curvas de Nivel

Superficies de Nivel

Limites y Continuidad

Limites de funciones

Calculando l´ımites por sustituci´on directa

C´alculo de l´ımites mediante operaciones algebraicas

C´alculo de l´ımites usando el teorema de acotaci´on

Inexistencia de l´ımites

L´ımites direccionales

L´ımites parciales iterados (o reiterados)

Continuidad de funciones

Derivaci´ on de funciones reales de varias variables

Derivadas parciales

C´alculo de derivadas parciales usando reglas de derivaci´on

Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales

La Derivada Parcial como raz´on de cambio

Productividad Marginal

Continuidad y derivadas parciales

Derivadas parciales de ´ordenes superiores

Derivadas direccionales

Continuidad y derivadas direccionales

Funciones Diferenciables

La diferencial (total) de una funci´on

Regla de la Cadena

El Teorema de la Funci´on Impl´ıcita

El Gradiente de una funci´on diferenciable

F´ormula de Taylor

Plano tangente y Recta Normal

Jasmer LPC

R mατιo ετ o ζℏαυεz ⊛ 74076882

Significado geom´etrico de la tangencia

Aplicaciones

Extremos relativos

Criterio del Hessiano

Multiplicadores de Lagrange

M´etodo de los multiplicadores de Lagrange

Derivaci´ on de funciones vectoriales de varias variables

Diferenciabilidad y matriz Jacobiana

Regla de la cadena

El Teorema de la aplicaci´on inversa

Integrales M´ ultiples

Integrales Multiples

Integrales Dobles

Invirtiendo el orden de integraci´on

C´alculo de ´areas

Cambio de variables en Integrales Dobles

Integrales dobles en coordenadas polares

Integrales triples

Cambio de variables en Integrales Triples

Integrales triples en coordenadas cil´ındricas 9

Integrales triples en coordenadas esf´ericas 10

Integrales de Linea

319 326

Definici´on y Propiedades

orientaci´on en ua integral de l´ınea

Teorema de Green

329 ´ 10

Area Encerrada por una Curva

Independencia del Camino de Integraci´on

Integrales de Superficie

Definici´on

Teorema de la Divergencia

Jasmer LPC

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Teorema de Stokes

Sucesiones y Series

Sucesiones

Criterios de Convergencia

Funciones Gamma y Beta 13

Funci´on Gamma

Funci´on Beta

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Jasmer LPC

CAP´ITULO 1

Espacio Euclidiano n-dimensional

Se define el conjunto Rn de la siguiente manera: Rn = {(x1 ,

Operaciones entre vectores

En Rn se define la suma y la multiplicaci´on escalar de la siguiente forma: Suma

- Sean x,

x2 + y2 ,

x3 + y3 ,

xn + yn ) La multiplicaci´on escalar

cxn ) Se puede verificar que esta operaciones en Rn verifican las siguientes propiedades 1

Existe un elemento en Rn ,

denotado 0 y llamado vector cero,

tal que para todo x en Rn cumple que x + 0 = 0 + x = x

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Para todo x en Rn ,

tal que x+(−x) = (−x)+x = 0

1x = x,

As´ı,

Rn se dice que es un espacio vectorial real para las operaciones definidas anteriormente

Los elementos de Rn reciben el nombre de vectores

EJEMPLO 1

Mostrar que el vector que une los puntos medios de dos de los lados de un tri´angulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud

´ SOLUCION

Denotemos por A,

B y C los v´ertices de un tri´angulo

Tomemos los puntos medios A+B A+C del lado AB y Q = del lado AC

Puesto que son P = 2 2 P −Q=

A+B A+C A+B−A−C B−C − = = 2 2 2 2

entonces el vector que une los puntos medios de dos de los lados AB y AC es paralelo al lado BC ♣ y tiene la mitad de su longitud

EJEMPLO 1

Mostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan

´ SOLUCION

Consideremos el paralelogramo de vertices A,

de modo que AD y BC sean sus diagonales

Denotemos los puntos medios de estas diagonales por P =

Primero que todo,

A+D B+C entonces D'+ A = B + C,

puesto que A+D A + D'− 2A D−A −A= = 2 2 2 A+D 2D − A − D'D−A D−P = D− = = 2 2 2 P −A =

Por tanto P − A = D'− P ,

un an´alisis similar muestra que BP = P C

Por ♣ consiguiente las diagonales de un paralelogramo se bisectan

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EJEMPLO 1

Sean A,

v´ertices de un paralelogramo,

Expresar los v´ertices X,

U en funci´ on de A,

´ SOLUCION

Es claro de la figura que: El El El El

−−→ −−→ AX es paralelo al vector BC −→ −−→ AB es paralelo al vector Y D'−−→ −−→ BC es paralelo al vector DU −→ −→ AB es paralelo al vector ZU

adem´as del hecho de que se trata de un paralelogramos se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones X −A B−A C−B B−A

C −B D−Y U −D U −Z

Despejando las variables X,

U en funci´on de A,

D obtenemos X Y U Z

A+C −B A+D−B C −B+D U − B + A = A + C + D'− 2B

Producto interno y Norma

Para x = (x1 ,

yn ) en Rn definimos el proDEFINICION ducto interno por x • y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + · · · + xn yn

TEOREMA 1

El producto interno satisface: 1

x • x ≥ 0 para todo x ∈ Rn ,

x • x = 0 si y solo si x = 0,

x • y = y • x para todo x,

(cx) • y = c(x • y) para todo x,

(x + y) • z = x • y + y • z para todo x,

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Demostraci´on

EJEMPLO 1

Sean los vectores r = (x,

Demostrar que la ecuaci´on (r − a) • (r − b) = 0 representa una esfera

´ SOLUCION

Para x = (x1 ,

xn ) en Rn definimos la norma o longitud de x por DEFINICION q √ ||x|| = x • x = x21 + x22 + x23 + · · · + x2n

TEOREMA 1

La norma satisface: 1

||x|| ≥ 0 para todo x ∈ Rn ,

||cx|| = |c| ||x|| para todo x ∈ Rn ,

|x • y| ≤ ||x|| ||y|| para todo x,

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| para todo x,

Demostraci´on

EJEMPLO 1

Determine los valores de c'sabiendo que u = (−4,

−4) y ||cu|| = 5 ´ SOLUCION

Puesto que ||cu|| = |c| ||u|| = |c| de donde

p √ (−4)2 + (−1)2 + (−4)2 = |c| 33 = 6 6 |c| = √ 33

por lo tanto los posibles valores para c'son: 6 c= √ 33

EJEMPLO 1

Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmaci´on

Si u es un vector unitario en la direcci´on del vector v,

Justifique su respuesta

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Mostrar que la recta que une el v´ertice de un tri´ angulo is´ osceles con el punto medio de su base es perpendicular a su base

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´ SOLUCION

Sean los vectores A,

B y C los lados del tri´angulo is´osceles

Asumamos que ||A|| = ||B||

Si P el punto inicial de A y B,

Tomemos un punto Q en C de 1 modo que P Q = (A+ B)

Debemos demostrar que C es perpendicular a P Q,

Tomemos los vectores A y B como lados del tri´angulo is´osceles,

de modo que B − A es el tercer lado

Asumamos que ||B|| = ||B − A||,

de donde ||B||2 = ||B − A||2 ,

as´ı B • B = B • B − 2A • B + A • A,

Por otro lado la recta que une el v´ertice com´ un a B y B − A con el punto medio de A tiene vector 1 direcci´on igual a M = B − A

Ahora bien,

puesto que 2   1 1 A•M =A• B− A = A•B− A•A=A•B−A•B = 0 2 2 ♣

se sigue que A es perpendicular a M,

EJEMPLO 1

Demostrar ||A + B||2 = ||A||2 + ||B||2 si y solo si A • B = 0

´ SOLUCION

Puesto que ||A + B||2 = (A + B) • (A + B) = A • (A + B) + B • (A + B) = A•A+A•B+B•A+B•B = ||A||2 + 2A • B + ||B||2 Entonces ||A + B||2 = ||A||2 + ||B||2 si y solo si A • B = 0

EJEMPLO 1

Demostrar ||A + B||2 + ||A − B||2 = 2||A||2 + 2||B||2

´ SOLUCION

De los ejercicios anteriores tenemos ||A + B||2 + ||A − B||2 = ||A||2 + 2A • B + ||B||2 + ||A||2 − 2A • B + ||B||2 = 2||A||2 + 2||B||2

EJEMPLO 1

Demostrar ||A + B||2 − ||A − B||2 = 4 A • B

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´ SOLUCION

De los ejercicios anteriores tenemos

||A + B||2 − ||A − B||2 = ||A||2 + 2A • B + ||B||2 − ||A||2 + 2A • B − ||B||2 = 4A • B

EJEMPLO 1

Dados vectores distintos de cero A y B en R3 ,

mostrar que el vector V = ||A||B + ||B||A biseca el ´angulo entre A y B

´ SOLUCION

Es suficiente probar que V •B A•V = ||A|| ||V || ||V || ||B||

En efecto

A•V B•V − =0 ||A|| ||B|| A B − ||A|| ||B||

A B − ||A|| ||B||

A B B A • ||A||B + • ||B||A − • ||A||B − • ||B||A = 0 ||A|| ||A|| ||B|| ||B|| A•B+

||B|| ||A|| A•A− B •B −B •A= 0 ||A|| ||B|| ||B|| ||A|| ||A||2 − ||B||2 = 0 ||A|| ||B|| ||B|| ||A|| − ||A|| ||B|| = 0

Paralelismo y Perpendicularidad

Dos vectores en Rn son paralelos si uno es m´ DEFINICION ultiplo escalar del otro

Dos vectores en Rn son perpendiculares u ortogonales si el producto interno entre ellos es igual a cero

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EJEMPLO 1

Los vectores can´onicos en Rn son dos a dos perpendiculares

EJEMPLO 1

Analice si los vectores a = (2,

ortogonales o ninguna de amabas cosas

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmaci´ on

Justifique su respuesta

Si a y b son ortogonales a c,

entonces a + b es ortogonal a c

´ SOLUCION

Esta es una afirmaci´on verdadera

En efecto,

como a y b son ortogonales a c,

entonces a • c'= 0 y b • c'= 0

Ahora bien,

puesto que (a + b) • c'= a • c'+ b • c'= 0 + 0 = 0 se concluye que a + b es ortogonal a c

EJEMPLO 1

Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo se cortan en ´angulo recto

´ SOLUCION

Empecemos demostrando que si u y v son vectores tales que ||u|| = ||v||,

entonces u + v es ortogonal a u − v

En efecto,

esto se deduce inmediatamente de la igualdad: (u + v) • (u − v) = ||u||2 − u • v + v • u − ||v||2 = 0

Ahora bien sean los puntos p0 ,

Entonces,

supongamos que los vectores → u=− p− 0 p1 y

son dos de sus lados adyacentes

Por otro lado se sabe que los lados de un rombo son todos iguales

Entonces ||u|| = ||v||

Luego por lo probado anteriormente se segue que u + v es ortogonal a u − v

Pero como → −−→ −−→ u+v =− p− 0 p1 + p0 p2 = p0 p3

→ −−→ −−→ u−v =− p− 0 p1 − p0 p2 = p1 p2

→ −−→ Por tanto las diagonales del rombo − p− angulo recto

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EJEMPLO 1

Encuentre dos vectores en direcciones opuestas que sean ortogonales al vector u = (5,

El vector (x,

z) es ortogonal al vector u = (5,

1) = 0,

Para obtener un ejemplo hagamos y = −1,

z = −3 en la anterior ecuaci´on y despejando x se tiene que x = 1

Luego unos de los vectores buscado es (1,

−3) y su vector opuesto (−1,

EJEMPLO 1

Calcula los valores x,

0) y (2,

Respuesta

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Dados los vectores u = (3,

halla un vector unitario y  √6 √6 √6  ,− ,

Respuesta

EJEMPLO 1

Sabiendo que ||u|| = 3,

||v|| = 5 determinar para que valores de r los vectores u + rv y u − rv son ortogonales entre si

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Dados los vectores u,

w que satisfacen la condici´on u + v + w = 0 y sabiendo que ||u|| = 3,

Calcular u • v + v • w + u • w

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Si los vectores u y v son tales que ||u|| = ||v|| probar que los vectores u + v y u − v son ortogonales

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo se cortan en ´angulo recto

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UMSA ´ SOLUCION

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EJEMPLO 1

Si u y v son vectores no nulos,

demostrar que el vector u − rv es ortogonal a u•v v si r =

Proyecci´ on y Componente

Sean a,

La proyecci´ DEFINICION on del vector a en la direcci´ on del vector b es a•b b

La componente del vector a en la direcci´ on del vector b es definido definido por Proyb a = ||b||2 a•b por Compb a =

Se tiene que Proyb a = Compb a ortogonal al vector b

adem´ as el vector v = a − Proyb a es ||b|| ❚

Demostraci´on

EJEMPLO 1

Sean los vectores a = 3i + 5j + 2k y b = −4i + 3k tal que: a = u + v,

siendo u paralelo a b y ortogonal a v

Hallar u y v

´ SOLUCION

Del hecho de que u es paralelo a b se sigue que u = λb para alg´ un λ ∈ R,

del mismo modo u ortogonal a v implica que u • v = 0

Como v = a − u = a − λb,

(λb) • (a − λb) = 0

λb • a − λ2 b • b = 0

λ(b • a − λ||b||2) = 0 de donde λ =

Por tanto,

EJEMPLO 1

Dados los vectores u(4,

Hallar: u • v,

3u − v,

Proyv u,

Compv u

El valor que debe tener el valor m para 2 ||u + v|| que el vector (−2,

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UMSA ´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Dados los vectores u = (−1,

(ii) Halle u − Proyv u (iii) Verifique que u − Proyv u es ortogonal a v,

es decir que (u − Proyv u) • v = 0

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Observe que u = Proyv u + [u − Proyv u]

Si u = (−5,

expresar u como la suma de un vector paralelo a v y un vector ortogonal a v

Repita este ejercicio cuando u = (1,

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Hallar los vectores u,

´ SOLUCION

Es claro que Proyv u es un vector paralelo a v,

del mismo modo se tiene que u = sProyu v = s(2,

Por otro lado,

u•v como Proyv u = v obtenemos ||v||2 k(1,

3) • (1,

3)|| ||(1,

3)||2 ,

3) • (1,

3)||2 (2,

3) • (1,

Del mismo modo se tiene que k(2,

3) • (2,

3)|| ||(2,

3)||2 ,

3) • (2,

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3)||2 (2,

3) • (2,

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´ Angulo entre vectores

El ´angulo entre los vectores x y y,

es la magnitud que mide la amplitud de DEFINICION rotaci´on o giro (abertura) del vector x alrededor del origen hasta el vector y en sentido contrario a las agujas del reloj

TEOREMA 1

Si θ es el ´angulo generado por los vectores x y y,

entonces θ verifica la ecuaci´on x•y cos θ = ||x|| ||y|| ❚

Demostraci´on

EJEMPLO 1

¿Qu´e se sabe acerca del ´ angulo entre los vectores no nulos a y b,

entonces el ´angulo entre a y b esta entre 0 y π2

entonces el ´angulo entre a y b esta entre

entonces el ´angulo entre a y b es π2

EJEMPLO 1

¿Qu´e se sabe acerca del ´angulo entre los vectores no nulos a y b,

EJEMPLO 1

Halle el ´angulo θ ,

entre los vectores dados en cada caso: √ (i) u = (−1,

θ = arccos2 5/5 (ii) u = (−1,

1/2) Rta

θ = arccos0 = 90o (iii) u = (1,

14) Rta

θ = arccos1 = 0o

EJEMPLO 1

Si θ es el ´angulo entre A y B,

entonces demostrar ||A − B||2 = ||A||2 + ||B||2 − 2||A|| ||B|| cos θ

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Jasmer LPC

UMSA ´ SOLUCION

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||A − B||2 = (A − B) • (A − B) = A • (A − B) − B • (A − B) = A•A−A•B−B•A+B•B

= ||A||2 − 2A • B + ||B||2 = ||A||2 + ||B||2 − 2||A|| ||B|| cos θ EJEMPLO 1

Si θ es el ´angulo entre A y B en R3 ,

´ SOLUCION

||A×B|| ||A|| ||B|| A•B ||A|| ||B||

EJEMPLO 1

Dados los puntos P (1,

R(−1,

1) y S(2,

♣ (ii) Los cosenos directores del vector u =

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Si ||u|| = 10,

hallar el ´angulo que forman u y v

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Sabiendo que ||u|| = 8,

||v|| = 5 y el ´angulo entre u y v es

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Los vectores u y v forman un ´angulo de 60o con ||u|| = 5,

||v|| = 8 determinar ||u − v|| y ||u + v||

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Los vectores u y v forman un ´angulo de 30o con ||u|| = 1,

||v|| = el ´angulo formado por los vectores u + v y u − v

´ SOLUCION

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Calcular ♣

Jasmer LPC

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Producto vectorial

El producto vectorial “×” esta definido para vectores en R3

Es decir,

el producto vectorial de dos vectores en R3 es otro vector en R3

En efecto ´ DEFINICION 1

Si a = (a1 ,

se lee a por b se define como a × b = (a1 ,

Sean a,

λ un n´ umero real,

a × b es ortogonal tanto a a como a b El producto vectorial es anticonmutativo,

esto es a × b = −b × a (λa) × b = λ(a × b) Propiedad distributiva a × (b + c) = a × b + a × c'i j k (5) a × b = a1 a2 a3 donde i = (1,

Demostraci´on

i j k 2 2 a1 a2 a3 = i b b2 + −j 1 b2 1 c'c c'b1 b2 b3

= 1[bc2 − cb2 ] − a[1c2 − 1b2 ] + a2 [c − b]

EJEMPLO 1

Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmaci´ on

Justifique su respuesta

Es posible encontrar el producto vectorial de dos vectores en el espacio vectorial bidimensional

´ SOLUCION

El producto vectorial “×” esta definido para vectores en R3

El producto vectorial de dos vectores en R3 es otro vector en R3

Recordemos (a1 ,

En este caso tenemos (a1 ,

0) = (0,

Jasmer LPC

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En resumen NO es posible encontrar el producto vectorial de dos vectores en el espacio vectorial bidimensional

EJEMPLO 1

Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmaci´ on

Justifique su respuesta

Si se conocen a × b = d'y a × c'= d,

´ SOLUCION

La respuesta depende de que si a = 0 o a 6= 0

Primero analicemos el caso en que a = 0

En este caso la igualdades a × b = 0 y a × c'= 0 son siempre v´alidas no importando quienes sean b y c

As´ı que no podemos garantizar que sean iguales

Ahora analizamos el caso en que a 6= 0

De la hip´otesis a × b = d'y a × c'= d'concluimos que a × (b − c) = a × b − a × c'= d'− d'= 0,

lo cual implica que a es paralelo a b − c,

de esto y del hecho de que se a 6= 0 se deduce que existe λ 6= 0,

Ahora bien,

Lo cual muestra que b 6= c

En resumen la afirmaci´on es falsa

EJEMPLO 1

Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmaci´on

Si a y b son paralelos al plano XY ,

entonces a × b es paralelo al eje Z

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Sean u,

v y w vectores de R3 demostrar que (1) (u − v) × (u + v) = 2(u × v) (3) u • (b × c) = −v • (a × c)

´ SOLUCION

TEOREMA 1

Sean a,

λ un n´ umero real,

||a × b|| = ||a|| ||b|| sen θ Si a × b = 0 entonces a y b son vectores paralelos

||a × b|| es el ´ area del paralelogramo de lados a y b

Demostraci´on

Si a × b = 0 entonces a y b son vectores paralelos

En efecto,

puesto que ||a × b|| = ||a|| ||b|| sen θ,

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donde θ es el ´angulo entre a y b

Reemplazando a × b = 0 en la anterior ecuaci´on tenemos que ||a|| ||b|| sen θ = 0,

Esto quiere decir que el ´angulo entre a y b es cero,

por tanto estos vectores deben ser paralelos

Sean a y b vectores no nulos de R3 tales que a × b = 0

¿Qu´e condici´on geom´etrica deben cumplir los vectores a y b

? para que sea cierta la afirmaci´ on ´ SOLUCION

Los vectores a y b deben ser paralelos

EJEMPLO 1

Hallar el ´area del tri´ angulo de v´ertices A(1,

´ SOLUCION

Notemos que el ´area del tri´angulo dado es igual a la mitad del ´area del paralelogramo de lados B − A y C − A

Un simple calculo muestra que

B − A = (2,

2) − (1,

1) = (1,

C − A = (3,

0) − (1,

1) = (2,

−1) y adem´as i j k (B − A) × (C − A) = 1 3 1 2 3 −1

Lo cu´al implica que

54 2 ♣

EJEMPLO 1

Hallar el ´area del tri´ angulo de v´ertices A(3,

´ SOLUCION

Notemos que el ´area del tri´angulo dado es igual a la mitad del ´area del paralelogramo de lados B − A y C − A

Un simple calculo muestra que

B − A = (1,

1) − (3,

3) − (3,

0) = (0,

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y adem´as i j k (B − A) × (C − A) = −2 −3 1 0 1 3

Lo cu´al implica que

−3 1 −2 1 = i 1 3 −j 0 3

140 2 ♣

EJEMPLO 1

Calcule el ´area del tri´angulo de v´ertices P (2,

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Halle el ´area del tri´angulo de v´ertices (1,

2) y (3,

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Hallar el ´area del tri´angulo de v´ertices A(5,

1) y C(4,

EJEMPLO 1

Calcule el ´area del tri´ angulo de v´ertices (2,

5) y (2,

Nombremos a estos puntos por p0 = (2,

p1 = (4,

p1 y p2 ,

consideremos los vectores → u=− p− 0 p1 = p1 − p0 = (4,

5) − (2,

3) = (2,

→ v=− p− 0 p2 = p2 − p0 = (2,

1) − (2,

3) = (0,

Estamos ahora listos para calcular el ´area buscada,

esta esta dada por ||u × v|| ´

Area = 2 Basta con calcular ||u × v||,

i j k 4 2 2 2 2 4 −j u × v = 2 4 2 = i 0 2 + k 0 4 = (0,

4 2 0 4 2

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se donde se sigue que ||u × v|| = Finalmente

EJEMPLO 1

Calcule el ´area del tri´ angulo de v´ertices A(2,

1) y C(4,

Nombremos a estos puntos por A = (2,

B = (3,

consideremos los vectores −→ u = AB = B − A = (3,

1) − (2,

1) = (1,

3) − (2,

1) = (2,

Estamos ahora listos para calcular el ´area buscada,

esta esta dada por ||u × v|| ´

Area = 2 Basta con calcular ||u × v||,

i j k 2 0 u × v = 1 2 0 = i 0 2 2 0 2 se donde se sigue que

Finalmente

p √ 42 + (−2)2 + (−4)2 = 36 = 6

EJEMPLO 1

Calcule el ´area del tri´ angulo de v´ertices A(2,

2) y C(4,

Nombremos a estos puntos por A = (2,

B = (3,

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Luego para calcular el ´area del tri´angulo de v´ertices A,

consideremos los vectores −→ u = AB = B − A = (3,

2) − (2,

2) = (1,

4) − (2,

2) = (2,

Estamos ahora listos para calcular el ´area buscada,

esta esta dada por ||u × v|| ´ Area =

i j k 2 0 u × v = 1 2 0 = i 0 2 2 0 2 se donde se sigue que Finalmente

p √ 42 + (−2)2 + (−4)2 = 36 = 6

EJEMPLO 1

Calcule el ´area del tri´ angulo de v´ertices (3,

2) y (1,

Adem´as graficar este tri´angulo

´ SOLUCION

Nombremos a estos puntos por p0 = (3,

p1 = (2,

p1 y p2 ,

consideremos los vectores → u=− p− 0 p1 = p1 − p0 = (2,

2) − (3,

→ v=− p− 0 p2 = p2 − p0 = (1,

3) − (3,

Estamos ahora listos para calcular el ´area buscada,

esta esta dada por ||u × v|| ´ Area =

i j k u × v = −1 −1 1 −2 0 2

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UMSA se donde se sigue que

√ ||u × v|| 8 √ ´ Area = = = 2

Usando vectores analice si los puntos (2,

4) y (7,

´ SOLUCION

Nombremos a estos puntos por p0 = (2,

p1 = (6,

p2 = (3,

Luego para verificar si son o no esos puntos los v´ertices de un paralelogramo consideremos los vectores − → p− 0 p1 = p1 − p0 = (6,

1) = (4,

− → p− 0 p2 = p2 − p0 = (3,

4) − (2,

1) = (1,

− → p− 3 p1 = p1 − p0 = (6,

− → p− 3 p2 = p2 − p0 = (3,

4) − (7,

Adem´as

→ −−→ ´ Area = ||− p− 0 p1 × p0 p2 ||

EJEMPLO 1

Verificar que los puntos (1,

2) y (7,

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Use vectores para probar que los puntos (2,

1) y (3,

´ SOLUCION

EJEMPLO 1

Calcule el ´area del paralelogramo de lados a = (5,

−3) R ξρ s'email: [email protected]

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UMSA ´ SOLUCION

Empecemos i a × b = 5 6

j k 4 −2 5 −2 5 4 4 −2 = i − j + k 6 −3 6 −5 −5 −3 −5 −3

se donde se sigue que ´ Area = ||a × b|| =

(−22)2 + (−3)2 + (−49)2 =

2894 = 53,

EJEMPLO 1

Sean A y B vectores tales que ||A|| = 2,

Encuentre la norma del vector 2A + 3B y la norma del vector A × B

´ SOLUCION

||2A + 3B||2 = (2A + 3B) • (2A + 3B) = 2A • (2A + 3B) + 3B • (2A + 3B) = 4A • A + 6A • B + 6B • A + 9B • B = 4||A||2 + 12A • B + 9||B||2 = 4 · 4 + 12 · (−1) + 9 · 9 = 85 Por tanto ||2A + 3B|| =

Recordemos que ||A × B|| = ||A|| ||B|| sen θ

donde θ es el ´angulo entre A y B

Adem´as A • B = ||A|| ||B|| cos θ Por tanto ||A × B|| = ||A|| ||B||

A•B ||A|| ||B||

Reemplazando datos tenemos ||A × B|| = 2 · 3

Sean a,

el producto mixto de define DEFINICION como a • (b × c)

TEOREMA 1

Sean a,

entonces R ξρ s'email: [email protected]

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(1) (2)

Demostraci´on

EJEMPLO 1

Sean a,

b y c'vectores no nulos de R3 tales que a • (b × c) = 0

¿Qu´e condici´on geom´etrica deben cumplir los vectores a,

b y c'para que sea cierta la afirmaci´ on

El hecho de que |a • (b × c)| = 0,

implica que el vector a es perpendicular al vector b × c

Ahora como el vector b × c'es perpendicular tanto al vector b como al vector c,

se sigue que a esta en el plano que generan los vectores b y c

Esto quiere decir que los vectores a,

b y c'no generan un paralelepipedo

EJEMPLO 1

Calcule el volumen del paralelepidedo que tiene como aristas adyacentes a los vectores a = (1,

´ SOLUCION

Empecemos calculando 1 3 1 a • (b × c) = 0 6 6 −4 0 −4

= 1(−24 − 6) − 3(−4 + 24) + (0 + 24) = −30 − 60 + 24 = −66

se donde se sigue que Volumen = |a • (b × c)| = | − 66| = 66

EJEMPLO 1

Dados los vectores u = (1,

Calcular: El ´area del paralelogramo de lados u y v

El ´area del tri´angulo de lados u,

El volumen del paralelepipedo de aristas u,

El volumen del tetraedro de aristas u,

´ SOLUCION

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CAP´ITULO 2

Geometr´ıa Anal´ıtica S´ olida

Introducci´ on

Las palabras posici´on y dimensi´on (largo,

Por tanto a partir de estas palabras enunciamos,

sin definici´on los conceptos primarios o los elementos fundamentales de la geometr´ıa que son el punto,

tambi´en llamados t´erminos indefinidos de la geometr´ıa

Un punto es la unidad indivisible de la geometr´ıa

No tiene ninguna dimensi´on (largo,

El conjunto de todos los puntos se llama espacio

Luego un punto s´olo tiene posici´on en el espacio

As´ı el punto es elemento geom´etrico que tiene posici´on pero no dimensi´on

Llamaremos una figura geom´etrica a cualquier conjunto de puntos distribuidos de alguna manera en el espacio

La Geometr´ıa es la rama de la matem´atica que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las figuras geom´etricas y las relaciones entre las figuras geom´etricas

Una Recta es una figura geom´etrica,

en la cual los puntos que la forman est´an colocadas en una misma direcci´on y se prolongan indefinidamente en dos sentidos

Una recta es una sucesi´on ininterrumpida de puntos

S´olo posee una dimensi´on y contiene infinitos puntos

Tiene una sola direcci´on y dos sentidos

No se puede medir

No tiene ni primero ni u ´ ltimo elemento

No posee principio ni fin

Dados dos puntos cualesquiera existe por lo menos otro situado entre esos dos

La recta es de longitud ilimitada,

POSTULADO 2

Dados dos puntos distintos cualesquiera,

hay exactamente una recta que los contiene

TEOREMA 2

Si dos rectas diferentes se intersectan su intersecci´ on contiene un u ´nico punto

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Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor

El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayor´ıa de los casos que nos rodean que est´an en tres dimensiones

La geometr´ıa plana estudia por ejemplo los tri´angulos,

c´ırculo

POSTULADO 2

Si dos puntos de una recta est´an en un plano,

entonces la recta esta en el mismo plano

TEOREMA 2

Si una recta intersecta a un plano que no la contiene entonces la intersecci´on contiene un solo punto

POSTULADO 2

Tres puntos cualesquiera est´an en al menos un plano y tres puntos cualesquiera no alineados est´an exactamente en el plano

TEOREMA 2

Dada una recta y un punto fuera de ella hay exactamente un plano que contiene a ambos

TEOREMA 2

Dados dos rectas distintas que se intersectan,

hay exactamente un plano que las contiene

Distancia entre dos puntos

Para x = (x1 ,

yn ) en Rn definimos la distancia de x a y por d(x,

La distancia satisface: 1

Sean p ∈ Rn y r > 0:

La bola abierta con centro p y radio r es el conjunto B(p,

La bola cerrada con centro p y radio r es el conjunto B(p,

Notar que la bola abierta no incluye el borde,

la bola cerrada s´ı lo incluye

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La recta

Dados un punto p0 ∈ Rn y un vector v en Rn

DEFINICION ① La ecuaci´on vectorial de la recta que pasa por el punto p0 y tiene vector direcci´on igual a v es p = p0 + tv donde t ∈ R

② Las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto p0 (x0 ,

c) son   x = x0 + ta y = y0 + tb  z = z0 + tc donde t ∈ R

③ Las ecuaciones sim´etricas de la recta que pasa por el punto p0 (x0 ,

c) son y − y0 z − z0 x − x0 = = a b c'EJEMPLO 2

Anote la expresi´on de una recta que pase por el origen de coordenadas

´ SOLUCION

La recta que pasa por el punto p0 y tiene vector direcci´on v es el conjunto de puntos p que se expresan como p = p0 + tv,

Puesto que la recta pasa por el origen de coordenadas,

entonces su ecuaci´on es p = tv,

Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por (1,

´ SOLUCION

P0 = (1,

3) + t(4,

EJEMPLO 2

Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por (5,

´ SOLUCION

P0 = (5,

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EJEMPLO 2

Halle las ecuaciones: (a) param´etricas,

(b) sim´etricas de la recta que pasa por  2 2 los puntos (5,

´ SOLUCION

Nombremos a estos puntos por

Luego la ecuaci´on vectorial de la recta que pasa a trav´es del puntos p0 = (5,

−2) y que tiene vector direcci´on  → 2 2 u = − p− 0 p1 = p1 − p0 = − 3 ,

1 − (5,

23 + 3,

11 ,3 ,

3 3 3 3 es

las ecuaciones sim´etricas de la recta son x−5 −17 3

simplificando tenemos 3(5 − x) 3(y + 3) z+2 = =

Halle las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto (3,

´ SOLUCION

Para el inciso (a),

el vector direcci´on de la recta que buscamos es u = (1,

4) + t(1,

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Determine si las rectas x3 = y−2 −1 4 as´ı halle el punto de intersecci´on y el coseno del ´ angulo de intersecci´ on

´ SOLUCION

La ecuaci´on vectorial de la recta

y la ecuaci´on vectorial de la recta

Las dos rectas en (2

1) y (2

1) = (1,

De esta u ´ ltima ecuaci´on se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones 3t = 1 + 4s 2 − t = −2 + s

Despejando s'de la segunda ecuaci´on se tiene que s'= 4 −t

Reemplazando este valor en la primera ecuaci´on obtenemos t = 17 ,

ahora reemplazando en la tercera ecuaci´on se ve que t = 8

Como no 7 puede haber dos valores diferentes para t,

se concluye que las dos retas no se intersectan

El Plano

Dados un punto p0 ∈ Rn y vectores u,

DEFINICION ① La ecuaci´on param´etrica del plano que pasa por el punto p0 y tiene vectores direcci´on u y v es p = p0 + tu + sv donde t,

② La ecuaci´on vectorial del plano que pasa por el punto p0 y tiene vector normal igual a N es (p − p0 ) • N = 0

③ La ecuaci´on can´onica del plano que pasa por el punto p0 (x0 ,

c) es a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 ④ La ecuaci´on general del plano es ax + by + cz + d'= 0 ´ 2

Dos planos con vectores normales N1 y N2 son perpendiculares si N1 • N2 = DEFINICION 0,

son paralelos si N1 es un m´ ultiplo escalar de N2

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EJEMPLO 2

Anote la expresi´on de un plano que pase por el origen de coordenadas

´ SOLUCION

El plano que pasa por el punto p0 y tiene vector normal N es el conjunto de puntos p que se expresan como N · (p − p0 ) = 0

Puesto que el plano pasa por el origen de coordenadas,

entonces su ecuaci´on es N · p = 0

Hallar la ecuaci´on del plano perpendicular a (−2,

´ SOLUCION

2) − (1,

2) = 0 (x,

2) = (1,

Utilice el producto cruz para obtener una ecuaci´ on del plano que pasa por los puntos (−2,

6) y (3,

´ SOLUCION

Sean a = (−8,

4) b = (3,

2) = (5,

−3) i j k a × b = −6 −1 4 5 2 −3

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a × b = i(3 − 8) − j(18 − 20) + k(−12 + 5) = −5i − 2j − 7k = (−5,

−7) = 0 −5x + 2y − 7z = 10 + 4 − 14 = 0 ||a × b|| =

TEOREMA 2

El punto de intersecci´ on entre la Recta p = p0 + tu y el Plano (p − q0 ) • N = 0 (q0 −p0 )•N es dado por p0 + u•N N ´ DEMOSTRACION

Consideremos la recta que pasa por el punto p0 y tiene vector direccional

al vector u y consideremos tambi´en el plano que pasa por el punto q0 y tiene como vector normal al vector N

Esto es,

Recta p = p0 + tu Plano (p − q0 ) • N = 0 Supongamos que la recta intersecta al plano,

existe un n´ umero real t de modo que el punto p0 + tu es un punto del plano,

de donde (p0 + tu − q0 ) • N = 0 de aqu´ı p0 • N + t u • N − q0 • N = 0 de donde

u•N Luego el punto de intersecci´on entre la recta y el plano es t=

EJEMPLO 2

Halle la intersecci´on del plano 2x − 3y + 2z = 3 con la recta x − 12 =

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´ SOLUCION

Para el plano 2x − 3y + 2z = 3 tenemos que N = (2,

Para la recta x −

Finalmente el punto de intersecci´on que buscamos se obtiene reemplazando estos datos en (2

3): p =

((0,−1,0)−( 12 ,− 23 ,−1))•(2,−3,2) (1,−1,2)•(2,−3,2)

(− 21 ,−1+ 32 ,1)•(2,−3,2) (1,−1,2)•(2,−3,2)

(− 21 )2+( −2+3 )(−3)+1(2) 2 2(1)+(−3)(−1)+2(2)

2) = 12 ,

18 = 11 ,

18 18 18 +

EJEMPLO 2

Sea Q0 = (1,

P0 = (3,

Encontrar el punto de intersecci´on de la recta que pasa por P0 con direcci´ on N y el plano que pasa por Q0 y que es perpendicular a N

´ SOLUCION

El punto de intersecci´on es P = P0 +

(Q0 − P0 ) • N N ||N||2

3) − (3,

1) ||(1,

2) • (1,

1) = (3,

EJEMPLO 2

Halle las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto (−3,

−1) y es perpendicular al plano dado por −2x + 3y + z = 5

´ SOLUCION

El vector normal al plano −2x + 3y + z = 5 es N = (−2,

Como la recta que buscamos es perpendicular al plano,

entonces el vector direcci´on del plano es precisamente el R ξρ s'email: [email protected]

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por lo tanto la ecuaci´on vectorial de la recta pasa por el punto (−3,

−1) y tiene vector direcci´on N = (−2,

1) es (x,

Halle la ecuaci´on del plano que pasa por los puntos (1,

Nombremos a estos puntos por p0 = (1,

p1 = (3,

Ahora los siguientes vectores est´an sobre el plano que buscamos − p−→ p = p − p = (3,

1) − (1,

3) = (2,

− → p− 0 p2 = p2 − p0 = (−1,

2) − (1,

Puesto que los vectores − p−→ p y− p−→ p viven en el plano,

su producto vectorial − p−→ p ×− p−→ p es el vector 0 1

Calculemos − p−→ p ×− p−→ p ,

i j k 2 −2 0 −2 0 − − → − − → +k 2 −j 0 −2 = i p0 p2 × p0 p1 = 2 −2 −4 −2 −1 −4 −1 −2 −4 −1 = (0 − 8,

Ahora nos toca encontrar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto p0 = (1,

− 8(x − 1) + 6(y − 2) − 8(z − 3) = 0

−8x + 8 + 6y − 12 − 8z + 24 = 0,

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EJEMPLO 2

Halle la ecuaci´on del plano que pasa por el punto (3,

Como el plano que buscamos es perpendicular a la recta entonces su vector normal es precisamente el vector direcci´on de la recta

Por otro lado el vector direcci´on de la recta x+1 = y+2 = z−5 es (5,

Luego la ecuaci´on del 5 −4 −2 plano que pasa por el punto (3,

−2) es: (p − p0 ) • N = 0,

EJEMPLO 2

Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (1,

´ SOLUCION

El vector normal al plano x + y + z = 2 es N = (1,

Como la recta que buscamos es perpendicular al plano,

entonces el vector direcci´on del plano es precisamente el vector normal al plano,

por lo tanto la ecuaci´on vectorial de la recta pasa por el punto (1,

1) es (x,

2) + t(1,

las ecuaciones sim´etricas de la recta son y−1 z−2 x−1 = =

Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto Q(2,

−1) y contiene a la x−1 z+1 recta L': =y+2=

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x−1 z+1 = y+2 = pasa por el punto P (1,

−1) y tiene vector 3 2 direcci´on igual a u(3,

Luego los siguientes vectores est´an sobre este plano −→ P Q = Q − P = (2,

La recta

−→ −→ Puesto que los vectores P Q y u viven en el plano,

su producto vectorial P Q×u es el vector normal al plano que buscamos

i j k 3 0 1 0 1 3 −→ −j P Q × u = 1 3 0 = i 3 2 +k 3 1 1 2 3 1 2 = (6,

Ahora nos toca encontrar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto Q(2,

−1) y que tenga −→ vector normal M = P Q × u = (6,

−8) = 0 4x − 12 − 2y + 1 − 8z − 8 = 0,

EJEMPLO 2

Halle la ecuaci´on del plano que contiene a las rectas: x−2 y−1 z−2 = =

´ SOLUCION

Como el plano que contiene a las rectas: x−1 = y−4 = z1

x−2 = −2 1 −3 sigue que los vectores direcci´on de estas rectas est´an contenidas en el plano

Vemos que el vector direcci´on de la recta x−1 = y−4 = 1z es u = (−2,

Y el vector direcci´on −2 1 de la recta x−2 = y−1 = z−2 es v = (−3,

Ahora con los vectores u y v podemos obtener el −3 4 −1 vector normal al plano que es dado por N = u × v,

i j k 1 1 −2 1 −2 1 −j u × v = −2 1 1 = i −3 −1 + k −3 4 4 −1 −3 4 −1 = (−1 − 4,

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Ahora necesitamos hallar un punto p0 por donde la recta pasa

Esto es f´acil,

por que podemos tomar el punto por donde pasa la recta x−1 = y−4 = z1 ,

−5) es (p − p0 ) • N = 0,

−5) = 0 −5x + 5 − 5y + 20 − 5z = 0,

− 5(x − 1) − 5(y − 4) − 5z = 0

EJEMPLO 2

Halle la ecuaci´on del plano que contiene a las rectas: x+1 = y − 1 = z − 2

´ SOLUCION

Id´entico al anterior

EJEMPLO 2

Halle la ecuaci´on del plano que contiene a todos los puntos equidistantes a los puntos (2,

´ SOLUCION

Un punto (x,

z) es equidistante a los puntos (2,

0) y (0,

Esto es,

p p (x − 2)2 + (y − 2)2 + z 2 = x2 + (