PDF -Práctica 4: INTERPRETACIÓN DE DATOS FÍSICO-QUÍMICOS DE AGUAS - CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES. ITOP - INGENIERÍA CIVIL
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CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES. ITOP - INGENIERÍA CIVIL

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O EN VARIAS VARIABLES

Description

C´ alculo en varias variables Asignatura “An´alisis Matem´atico” de 1o I

Memoria de la segunda parte

Departamento de Matem´aticas de la Escuela Polit´ecnica

Ricardo del Campo Acosta y Ricardo Garc´ıa Gonz´alez

A mis alumnos,

por querer aprender algo nuevo

´Indice Introducci´on

Cap´ıtulo 1

TOPOLOG´IA DE RN 1

Producto escalar,

norma y distancia eucl´ıdeas 1

Convergencia de sucesiones en RN

1 1 2 5

Cap´ıtulo 2

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 7 2

L´ımite de una funci´on de varias variables 8 2

Algunas t´ecnicas y m´etodos para el c´alculo de l´ımites 9 2

L´ımites en el infinito y funciones divergentes 11 2

Continuidad de una funci´on de varias variables 11 ´ DE FUNCIONES DE VARIAS Cap´ıtulo 3

DIFERENCIACION VARIABLES 3

Derivadas parciales y derivadas direccionales 3

Diferencial y gradiente de una funci´on real de varias variables

Relaci´on e interpretaci´on geom´etrica 3

Diferencial y matriz jacobiana de una funci´on vectorial de varias variables

Regla de la cadena 3

Funciones definidas de forma impl´ıcita

El teorema de la funci´on impl´ıcita 3

Derivadas parciales y diferencial de orden superior

Matriz hessiana de una funci´on real de varias variables 3

El teorema de Taylor en varias variables 3

Extremos relativos de una funci´on real de varias variables 3

Extremos condicionados de una funci´on real de varias variables

El teorema de los multiplicadores de Lagrange 3

Extremos absolutos de una funci´on real de varias variables

Introducci´ on El estudio de las aplicaciones o funciones de varias variables es uno de los objetivos fundamentales de las matem´aticas,

ya que la mayor´ıa de los fen´omenos de cualquier tipo (f´ısicos,

) se pueden modelizar mediante una funci´on de este tipo

Cuando la aplicaci´on es lineal,

conocemos t´ecnicas algebraicas que me permiten manejarla y estudiarla f´acilmente,

pues tales aplicaciones se pueden caracterizar mediante una matriz de coeficientes y as´ı trabajar con aplicaciones lineales se reduce a trabajar con matrices:   µ ¶ x 8 1 −1   y f (x,

x + 2y + 3z) = 1 2 3 z    1 0 −1 x 6  y  f (x,

4y + 6z,

x − y − z) =  0 4 1 −1 −1 z Obviamente la cantidad de aplicaciones con las que podemos trabajar as´ı es bastante limitada,

pues cuando la aplicaci´on no es lineal ya no podemos estudiar su comportamiento global a trav´es de una matriz,

pero a menudo si vamos a poder estudiar su comportamiento local a trav´es de ciertas matrices

De hecho,

el objetivo del c´ alculo diferencial que vamos a presentar en esta memoria es ese: Estudiar una clase de funciones (las funciones diferenciables) que se parecen mucho a una aplicaci´on af´ın (esto es,

su incremento se parece mucho a una aplicaci´on lineal) en un entorno de cada punto

De este modo las t´ecnicas algebraicas que ya conocemos nos permitir´an obtener consecuencias locales sobre tales funciones a partir de las propiedades (globales) de las aplicaciones lineales a las que se parecen en cada punto

Se trata por tanto de explotar tanto como podamos las t´ecnicas algebraicas para estudiar funciones que no tienen por qu´e ser lineales

De este modo estamos ampliando enormemente la cantidad de funciones con las que podemos trabajar,

pues disponemos de herramientas matem´aticas para extraer informaci´on u ´til sobre ellas

CAP´ıTULO 1

TOPOLOG´IA DE RN En el estudio de las funciones reales de variable real los intervalos desempe˜ nan un papel crucial pues algunas propiedades de tales funciones s´olo se dan en un determinado tipo de intervalos

La importancia de los intervalos se debe a que nos permiten manejar (de un modo sencillo y riguroso) los n´ umeros reales que se encuentran entorno a un n´ umero real dado a,

los n´ umeros reales que est´an a una distancia menor (o menor o igual) que ε de a,

a + ε[= {x ∈ R : |x − a| < ε} [a − ε,

a + ε] = {x ∈ R : |x − a| ≤ ε} Si ahora pretendemos estudiar funciones de varias variables necesitaremos una noci´on que generalice la idea del valor absoluto como herramienta para medir distancias entre puntos y unos conjuntos que hagan el papel de los intervalos como conjuntos de puntos entorno a un punto dado a

Producto escalar,

norma y distancia eucl´ıdeas

Vamos a comenzar presentando de forma abstracta las nociones b´asicas con las que vamos a trabajar

Si X es un espacio vectorial sobre R se llama distancia a toda aplicaci´on d': X × X −→ R que ∀x,

z ∈ X verifica las siguientes propiedades: • d(x,

y) Se llama norma a toda aplicaci´on k · k : X −→ R que ∀x,

z ∈ X y ∀λ ∈ R cumple lo siguiente: • kxk ≥ 0 y kxk = 0 ⇔ x = 0 • kλxk = |λ|kxk • kx + yk ≤ kxk + kyk Por u ´ltimo,

se llama producto escalar a toda forma bilineal sim´etrica definida positiva de X,

esto es a toda aplicaci´on < ·,

· >: X × X −→ R tal que ∀x,

β ∈ R verifica que: 1

TOPOLOG´IA DE RN

x >= 0 ⇔ x = 0 Intuitivamente una distancia es una funci´on que mide el grado de proximidad entre los puntos,

una norma es una funci´on que mide las longitudes de los vectores y un producto escalar es una funci´on que me permite medir ´angulos y hablar de ortogonalidad entre vectores

Adem´as estas nociones no son independientes entre si,

pues todo producto escalar induce una norma,

definida mediante la expresi´on √ kxk := < x,

∀x ∈ X y toda norma induce una distancia del siguiente modo: d(x,

que “si tengo un producto escalar en un espacio vectorial puedo medir longitudes de vectores sin m´as que hacer la ra´ız cuadrada del producto escalar de cada vector consigo mismo,

y si tengo una norma puedo medir distancias entre dos puntos cualesquiera midiendo la longitud de su diferencia como vectores”

Como RN es un espacio vectorial con un producto escalar can´onicamente asociado,

el producto escalar eucl´ıdeo,

y > := x1 y1 + · · · + xN yN para todo x = (x1 ,

xN ) e y = (y1 ,

yN ) de RN ,

en particular tenemos una norma y una distancia inducidas,

que reciben el nombre de norma y distancia eucl´ıdeas y vienen dadas por q kxk = x21 + · · · + x2N p d(x,

y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xN − yN )2 ´ Estas son las nociones de producto escalar,

norma y distancia que vamos a consideras can´onicamente asociadas a RN

N´otese que para N = 1 la norma eucl´ıdea no es otra cosa que el valor absoluto de un n´ umero real

Sea a ∈ RN y ε > 0

Se define la bola (abierta) Definicio de centro a y radio ε como el siguiente conjunto: Bε (a) := {x ∈ RN : kx − ak < ε} An´alogamente,

se define la bola cerrada de centro a y radio ε como Bε (a) := {x ∈ RN : kx − ak ≤ ε}

ENTORNOS,

ABIERTOS Y CERRADOS DE RN

Obs´ervese que para N = 1 las bolas vuelven a ser intervalos,

a + ε[ y Bε (a) = [a − ε,

para N = 2 lo que quedan son c´ırculos (con o sin su circunferencia) y para N = 3 las bolas son esferas

Podemos considerar a las bolas centradas en un punto a como los entornos del punto a,

pero conviene m´as pensar en los entornos de a como cualquier conjunto que contenga una bola centrada en a

Un conjunto V de RN se dice que es un entorno Definicio del punto a si existe ε > 0 tal que Bε (a) ⊆ V

Ya tenemos unos conjuntos,

que extienden la definici´on de los intervalos a RN

Sin embargo,

dada la riqueza de conjuntos que hay en RN ,

las bolas son unos conjuntos demasiados restrictivos para nuestros fines: En R es suficiente con limitarnos a estudiar las funciones definidas en un intervalo ya que la mayor´ıa de las funciones suelen estar definidas de un modo natural sobre uno (o varios) intervalos,

pero en RN los conjuntos en los que est´an definidas las funciones pueden tener una geometr´ıa muy diversa y no ser´ıa muy interesante limitarnos s´olo a estudiar las funciones definidas en una (o varias) bolas

Por este motivo vamos a usar las bolas para introducir un par de familias de conjuntos de RN muchos m´as amplia que las propias bolas,

que ser´an la familia de los conjuntos abiertos y la de los conjuntos cerrados de RN

Sea A ⊆ RN y x ∈ RN

Se dice que Definicio • x es un punto interior de A si ∃ε > 0 tal que Bε (x) ⊆ A • x es un punto adherente de A si ∀ε > 0,

Bε (x) ∩ A 6= ∅ Al conjunto A◦ de todos los puntos interiores de A lo llamaremos interior de A y al conjunto A de todos los puntos adherentes de A lo llamaremos clausura,

Es claro que todo punto interior de un conjunto A es forzosamente un punto de A y que todo punto de A es un punto adherente de A

En s´ımbolos,

para todo A ⊆ RN se tiene que A◦ ⊆ A ⊆ A

Pongamos nombre a los conjuntos que de hecho coinciden con su interior o con su adherencia: ´ n 1

Sea A un conjunto cualquiera de RN

Definicio Se dice que A es abierto si A = A◦ (todos los puntos de A son interiores o,

A es entorno de todos sus puntos)

Se dice que A es cerrado si A = A (todos los puntos adherentes de A est´an de hecho en A)

TOPOLOG´IA DE RN

Ejemplo 1

Las bolas abiertas son conjuntos abiertos y las bolas cerradas son conjuntos cerrados de RN

Intuitivamente,

los conjuntos abiertos son aquellos que no tienen frontera o borde alguno y los conjuntos cerrados son lo que contienen a toda su frontera o borde

Esto se puede expresar de un modo riguroso definiendo la frontera de un conjunto del siguiente modo: ´ n 1

Se dice que x es un punto frontera de A si Definicio ∀ε > 0,

Bε (x) ∩ A 6= ∅ y Bε (x) ∩ (RN \A) 6= ∅ Denotaremos por F r(A) al conjunto de todos los puntos frontera de A

Como F r(A) = A \A◦ ,

es evidente que un conjunto A es abierto si y s´olo si no contiene ning´ un punto frontera y es cerrado si y s´olo si contiene a toda su frontera

En la pr´actica no se suele trabajar mucho con la frontera de un conjunto: Es mejor trabajar directamente con los conjuntos abiertos y cerrados ya que verifican unas propiedades f´aciles de formular como vemos a continuaci´on

Los abiertos de RN cumplen estas propiedades: Proposicio (i) ∅ y RN son abiertos (ii) La uni´on arbitraria de abiertos es un abierto (ii) La intersecci´ on finita de abiertos es un abierto Adem´ as,

un conjunto A es cerrado si y s´olo si RN \A es abierto

Por tanto,

los cerrados de RN verifican las siguientes propiedades: (i) ∅ y RN son cerrados (ii) La uni´on finita de cerrados es un cerrado (ii) La intersecci´ on finita de cerrados es un cerrado ´ n 1

La familia T de todos los conjuntos abiertos de Definicio R recibe el nombre de topolog´ıa (usual ) de RN

Muchas de las propiedades de los conjuntos y de las funciones de RN dependen en gran medida de la topolog´ıa de RN

Por este motivo,

la topolog´ıa de RN estar´a presente de uno u otro modo en la mayor´ıa de los resultados que vamos a obtener para funciones de varias variables

En este sentido,

hay un tipo particular de cerrados que merecen especial atenci´on,

pues (como veremos posteriormente) van a conservar alguna de las propiedades que pose´ıan los intervalos cerrados y acotados de R

Sea A un conjunto cualquiera de RN Definicio Se dice que A est´a acotado si ∃M > 0 tal que kxk ≤ M ,

Se dice que A es compacto si es cerrado y acotado

CONVERGENCIA DE SUCESIONES EN RN

Para terminar esta secci´on vamos a presentar dos tipos distintos de puntos adherentes que es interesante distinguir

Sea A ⊆ RN y x ∈ RN

Se dice que Definicio • x es un punto aislado de A si ∃ε > 0 tal que Bε (x) ∩ A = {x} • x es un punto de acumulaci´on de A si ∀ε > 0 Bε (x)∩A\{x} 6= ∅ El conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de A se llama conjunto derivado de A y se denota por A0

Convergencia de sucesiones en RN

Se dice N N que una sucesi´on {xn } ⊆ R converge a l'∈ R ,

y notaremos xn → l'si ∀ε > 0,

Pero una sucesi´on {xn } de RN est´a formada realmente por N sucesiones de n´ umeros reales,

pues cada t´ermino xn es un vector con N componentes,

xN n ),

por lo que cabe preguntarse si podemos caracterizar su convergencia mediante la convergencia tales sucesiones de n´ umeros reales xin ,

La respuesta es afirmativa: la convergencia en RN se puede calcular coordenada a coordenada,

como pone de manifiesto el siguiente resultado: ´ n 1

Proposicio Esto simplifica mucho la situaci´on ya que reduce la nueva noci´on de convergencia a la ya conocida y ampliamente estudiada convergencia de sucesiones de n´ umeros reales (luego no necesitamos introducir ninguna t´ecnica nueva para estudiar la convergencia de las sucesiones de vectores)

La principal utilidad de la noci´on de convergencia de sucesiones es que permite caracterizar la topolog´ıa de RN y por tanto todos los conceptos que se pueden definir a partir de ella

A modo de ejemplo,

veamos como podemos caracterizar (de un modo sencillo y elegante) los puntos adherentes y los puntos de acumulaci´on mediante sucesiones convergentes: ´ n 1

Dados A ⊆ RN y x ∈ RN ,

se cumple que: Proposicio (i) x ∈ A ⇔ ∃{xn } ⊆ A,

(ii) x ∈ A0 ⇔ ∃{xn } ⊆ A,

En particular,

A es cerrado si y solo si contiene el l´ımite de cualquier sucesi´ on convergente de elementos de A

CAP´ıTULO 2

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES El objetivo de los dos pr´oximos cap´ıtulos consiste en definir y estudiar las principales propiedades de las funciones f : A ⊆ RN −→ RM

Para ello,

procederemos del siguiente modo: Vamos a trabajar principalmente con funciones f : A ⊆ RN −→ R,

definiendo los distintos conceptos o propiedades para ellas,

ya que las funciones F : A ⊆ RN −→ RM est´an caracterizadas por sus M funciones coordenadas o componentes fi : A ⊆ RN −→ R,

M que verifican que F (x) = (f1 (x),

fM (x)),

por lo que notaremos F = (f1 ,

Por lo tanto,

podremos extender la mayor´ıa de los conceptos y propiedades a funciones F : A ⊆ RN −→ RM a trav´es de sus funciones coordenadas o componentes: Diremos que F presenta una cierta condici´on o propiedad si y solo si todas sus funciones coordenadas fi ,

El dominio de una funci´on f : A ⊆ RN −→ Observacio RM es el conjunto A donde est´a definida la funci´on

Siempre podremos restringirnos a un dominio B m´as peque˜ no (en el sentido de contenido en A) sin m´as que considerar que la funci´on f act´ ua tan s´olo sobre los puntos de B (en tal caso,

se suele decir que trabajamos con la restricci´ on de f a B o que f est´a restringida al conjunto B y se denota por f |B )

Ahora bien,

si no se expresa un dominio A de manera expl´ıcita,

se entiende que ´este es el m´as grande posible,

el conjunto A de RN donde la expresi´on f (x) tiene sentido ln(xy) Ejemplo 2

Calcular el dominio de f (x,

y) = p 1 − x2 − y 2 ´ n 2

El rango o la imagen de una funci´on f : A ⊆ Observacio RN −→ RM es el conjunto f (A) de los valores que toma la funci´on,

los puntos del espacio de llegada,

que son la imagen y = f (x) de alg´ un x ∈ A

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

L´ımite de una funci´ on de varias variables

Sean A ⊆ RN ,

L = (l1 ,

Definicio f : A ⊆ RN −→ R y F : A ⊆ RN −→ RM con F = (f1 ,

Se dice que f tiene l´ımite l'en el punto a,

∃δ > 0 : 0 < kx − ak < δ ⇒ |f (x) − l| < ε

Se dice que F tiene l´ımite L'en el punto a,

y notaremos igualmente l´ım F (x) = L,

si fi tiene l´ımite li en el punto a,

que el l´ımite de x→a una funci´on vectorial se calcula componente a componente: ³ ´ l´ım F (x) = l´ım f1 (x),

l´ım fM (x)

Para hablar de l´ımite de una funci´on f en un Observacio punto a no es necesario que la funci´on f est´e definida en tal punto: basta con que a sea un punto de acumulaci´on del dominio A de f (es decir que podamos acercarnos al punto mediante una sucesi´on de otros puntos de A que no sean el propio a)

De hecho se puede dar una definici´on equivalente del concepto de l´ımite de una funci´on f en a mediante sucesiones del siguiente modo: l´ım f (x) = l'⇔ ∀{xn } ⊆ A con xn 6= a,

la cual deja mucho m´as claro la necesidad de que a sea un punto de acumulaci´on de A para que la definici´on de l´ımite no sea vac´ıa

La notaci´on l´ım f (x) = l'encierra realmente Observacio x→a dos afirmaciones: que ese l´ımite realmente existe,

Para enfatizar este hecho a menudo escribiremos ∃ l´ım f (x) = l,

o s´olo ∃ l´ım f (x) si x→a x→a no sabemos o no los interesa el valor de ese l´ımite

Se puede probar Observacio f´acilmente que,

el l´ımite de una funci´on en un punto a,

En s´ımbolos: Si l´ım f (x) = l'y l´ım f (x) = l0 entonces l'= l0

Sean f y g dos funProposicio N M ciones de A ⊆ R en R y a ∈ A0

(i) l´ım (f +g)(x) = l´ım f (x)+ l´ım g(x),

si ∃ l´ım f (x) y ∃ l´ım g(x) x→a

(ii) l´ım (f g)(x) = l´ım f (x) l´ım g(x),

si ∃ l´ım f (x) y ∃ l´ım g(x) x→a

l´ım f (x)

si ∃ l´ım f (x) y ∃ l´ım g(x) 6= 0 x→a x→ a x→a g l´ım g(x)

´ ´ ´ 2

ALGUNAS TECNICAS Y METODOS PARA EL CALCULO DE L´IMITES 9

Algunas t´ ecnicas y m´ etodos para el c´ alculo de l´ımites

L´ımites por caminos y l´ımites direccionales: En R,

para acercarnos a un punto a podemos hacerlo de tres maneras: Podemos movernos s´olo por puntos situados a la izquierda de a,

hacerlo s´olo por puntos situados a la derecha de a o hacerlo por ambos lados del punto a

Cuando calculamos el l´ımite de una funci´on real de variable real,

estas distintas formas de acercarse a un punto conducen a los conceptos de l´ımite por la izquierda,

por la derecha y l´ımite (global) de la funci´on en a y sabemos que la existencia del l´ımite de la funci´on en un punto a es equivalente a que ambos l´ımites laterales existan y tomen el mismo valor real

En RN podemos acercarnos a un punto a de muchas m´as formas

En general,

si f : A ⊆ RN −→ RM y a ∈ A,

podemos acercarnos al punto a a trav´es de cualquier subconjunto B ⊆ A tal que a ∈ B 0

En estas condiciones vamos a denotar por l´ ım f (x) := l´ım f |B (x) x→a

al l´ımite de f cuando x tiende a a pero movi´endonos s´olo a trav´es de los puntos de B

Con esta notaci´on es claro que l´ım f (x) = l'⇒ l´ ım f (x) = l'x→a

que “si existe el l´ımite de f cuando x tiende a a existe entonces existe el l´ımite de f cuando x tiende a a a trav´es de cualquier subconjunto suyo y adem´as coincide con ´el”

Esta ingenua afirmaci´on es una herramienta muy u ´til para comprobar que ciertas funciones no tienen l´ımite en un punto o para obtener el u ´nico candidato a l´ımite posible

Los l´ımites a trav´es de subconjuntos se usan sobre todo tomando como conjunto B ciertos caminos en RN que conducen hacia el punto a,

como por ejemplo las rectas que pasan por a

Estos u ´ltimos reciben el nombre de l´ımites direccionales de f en a y para funciones de dos variables son especialmente f´aciles de calcular ya que se reducen a l´ımites de funciones reales de variable real

Su doble uso se resume brevemente de la siguiente manera: (1o ) Si existen los l´ımites direccionales de f en a y no son todos iguales,

entonces f no tiene l´ımite en a (2o ) Si todos los l´ımites direccionales de f en a son iguales a l,

entonces l'es el u ´nico candidato admisible a l´ımite (o sea,

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

El siguiente ejemplo muestra la utilidad de los l´ımites direccionales para probar la no existencia de l´ımite de una funci´on en un punto

Ejemplo 2

La funci´on f (x,

Sin embargo,

el que todos los l´ımites direccionales de f en un punto a sean iguales no significa que la funci´on tenga l´ımite (global) como pone de manifiesto el siguiente ejemplo Ejemplo 2

Todos los l´ımites direccionales en (0,

y) = x2x−y valen 0 y sin embargo f no tiene l´ımite en (0,

L´ımites reiterados: Se llaman l´ımites reiterados de una funci´on f de dos variables en un punto (a,

b) a los limites dobles ³ ´ ³ ´ l´ım l´ım f (x,

donde se entiende que en el l´ımite interior s´olo se mueve una variable y la otra se trata como si fuese constante

Cabe preguntarse ¿qu´e relaci´on existe entre el l´ımite (global) de la funci´on f en (a,

b) y sus l´ımites reiterados

? El siguiente resultado establece la u ´nica relaci´on general entre esos valores

Si existe Proposicio

l´ımites reiterados,

Por tanto,

podemos usar los l´ımites reiterados de este modo: (1o ) Si l´ım l´ım f (x,

y) ⇒ f no tiene l´ımite en a x→a x→b

y) = l'⇒ l'es el u ´nico candidato admisible a l´ımite Un ejemplo de uso t´ıpico del primer caso es el siguiente: Ejemplo 2

La funci´on f (x,

No obstante,

ejemplos sencillos ponen de manifiesto que la igualdad de los l´ımites reiterados no garantiza la existencia de l´ımite (global) de la funci´on: Ejemplo 2

La funci´on f (x,

y) := x2xy no tiene l´ımite en (0,

Por otra parte tambi´en es importante se˜ nalar que si no existe alguno (o ninguno) de los l´ımites reiterados tampoco podemos asegurar nada: ½ y x≥0 Ejemplo 2

La funci´on f (x,

y) := tiene l´ımite 0 −y x < 0 cuando (x,

´ DE VARIAS VARIABLES 2

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Ejemplo 2

La funci´on f (x,

y) := x sen( y1 ) + y cos( x1 ) tiene l´ımite 0 cuando (x,

L´ımites en polares: Podemos calcular el l´ımite de una funci´on f (x,

y) de dos variables en el punto (0,

2π[ r→0

luego para que ese l´ımite exista no puede depender de θ

Ejemplo 2

Calcular mediante el cambio a coordenadas polares xy x2 y l´ım y l´ ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 2

L´ımites en el infinito y funciones divergentes

Si f : RN −→ R,

a ∈ RN y l'∈ R tambi´en se pueden definir los l´ımites en el infinito y las funciones divergentes en un punto a o el infinito del siguiente modo: • l´ım f (x) = l'⇔ ∀ε > 0,

∃M > 0 : kxk > M ⇒ |f (x) − l| < ε

• l´ım f (x) = ∞ ⇔ ∀K > 0,

∃δ > 0 : kx − ak < δ ⇒ |f (x)| > K

• l´ım f (x) = ∞ ⇔ ∀K > 0,

∃M > 0 : kxk > M ⇒ |f (x)| > K

Notese que para x ∈ RN ,

la expresi´on x → Observacio ∞ significa realmente que ||x|| → ∞ (o sea que cubrimos todas las direcciones posibles de RN )

Continuidad de una funci´ on de varias variables

Sean A ⊆ RN ,

f : A ⊆ RN −→ R y Definicio N F : A ⊆ R −→ RM con F = (f1 ,

Se dice que f es continua en el punto a si verifica lo siguiente: ∀ε > 0,

∃δ > 0 : kx − ak < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε Se dice que F es continua en el punto a si fi es continua en el punto a,

M (equivalentemente: ∀ε > 0,

∃δ > 0 : kx − ak < δ ⇒ kf (x) − f (a)k < ε)

Adem´as,

diremos que f (o F ) es continua en A si y solo si lo es para todo punto a ∈ A

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

La continuidad de f (y de F ) se puede definir Observacio tambi´en equivalentemente mediante sucesiones del siguiente modo: f es continua en a ⇔ ∀{xn } ⊆ A con xn → a,

Ejemplo 2

Demuestre,

haciendo uso de la definici´on de continuidad,

que la norma es una aplicaci´on continua de RN en R (pruebe que | kxk − kyk | ≤ kx − yk,

y ∈ RN ) y que toda aplicaci´on lineal de RN en RM es continua

A la vista de esta definici´on,

la relaci´on entre los conceptos de continuidad y l´ımite es casi inmediata: ´ n 2

Sean A ⊆ RN ,

a ∈ A y f : A ⊆ RN −→ RM

Proposicio (i) Si a es un punto aislado de A entonces f es continua en a

f es continua en a si y solo si ∃ l´ım f (x) = f (a)

Puesto que ya sabemos que los l´ımites (cuando existen) se comportan bien con las operaciones algebraicas tenemos,

productos y cocientes (por funciones no nulas) de funciones continuas son funciones continuas

Adem´as la composici´on de funciones continuas es tambi´en una funci´on continua

Por tanto,

exponenciales y logaritmos de funciones polin´omicas en varias variables (por ejemplo,

El u ´nico problema que se nos puede presentar es cuando una funci´on f esta definida de distinta forma en distintas regiones del dominio

En esta situaci´on f puede coincidir con una continua en una de tales regiones,

pero eso solo nos dice que f ,

restringida a ese subconjunto del dominio,

El siguiente resultado puede sernos muy u ´til para garantizar la continuidad de f en esa situaci´on,

pues afirma que la continuidad de una funci´on en un punto es una propiedad local: la continuidad en un punto a s´ olo depende de los puntos que hay en un entorno de a

Proposicio N ◦ Sean A ⊆ R ,

a ∈ A y f : A ⊆ RN −→ RM

(i) Si f |Ba (ε) es continua en a,

B abierto,

½ x2 y (x,

´ DE VARIAS VARIABLES 2

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Recordemos que para funciones f reales de variable real sabemos que la imagen mediante una funci´on continua de un intervalo compacto es un intervalo compacto

Para funciones de varias variables la propiedad que se verifica,

es que la imagen mediante una funci´ on continua de una conjunto compacto es un compacto,

Teorema 2

Sea A ⊆ RN

Si f : A −→ RM es una funci´on continua y A es compacto,

Este resultado nos dice,

que las funciones reales de varias variables sobre compactos siguen teniendo m´aximo y m´ınimo absoluto

Corolario 2

Sea A ⊆ RN

Si f : A −→ R es continua y A es compacto,

entonces f alcanza su m´ aximo y su m´ınimo en A

Acabamos de asegurar que las funciones continuas transforman compactos en compactos

No ocurre lo mismo con los abiertos ni con los cerrados: Una funci´on continua puede trasformar abiertos en conjuntos que no sean abiertos y cerrados en conjuntos que no sean cerrados (incluso una funci´on real de variable real)

Lo que ocurre en realidad es que es la imagen inversa de una funci´on continua la que se comporta bien con los abiertos y con los cerrados

De hecho podemos caracterizar las funciones continuas mediante esa propiedad del siguiente modo: Teorema 2

Sea f : A ⊆ RN −→ RM

(i) f es continua si y solo si f −1 (E) es un abierto de RN cortado con A para todo E abierto de RM

(ii) f es continua si y solo si f −1 (F ) es un cerrado de RN cortado con A para todo F cerrado de RM

Sin embargo esta caracterizaci´on de la continuidad se suele usar m´as en el sentido contrario que para estudiar la continuidad de una funci´on dada: Se suele emplear para probar que ciertos conjuntos (definidos mediante una funci´on continua de sus coordenadas) son abiertos o cerrados

Por ejemplo,

se puede ver de este modo que las bolas abiertas son conjuntos abiertos,

pues se pueden expresar como Ba (ε) = {x ∈ RM : kx − ak < ε} = f −1 ( ] − ∞,

siendo f la funci´on f : RN −→ R dada por f (x) := kx − ak que es claramente continua

CAP´ıTULO 3

´ DE FUNCIONES DE DIFERENCIACION VARIAS VARIABLES 3

Derivadas parciales y derivadas direccionales

Pretendemos extender la noci´on de derivabilidad de una funci´on f : R −→ R a funciones de varias variables

Recordemos que f es derivable en un punto a si existe el siguiente l´ımite (expresado de cualquiera de estas dos formas equivalentes): f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = l´ım

x→a h→0 h x−a Si tenemos ahora una funci´on f : A ⊆ RN −→ R,

el modo m´as sencillo de proceder es intentar reducirnos al caso unidimensional,

considerando la funci´on f como si fuese una funci´on de una u ´nica variable,

manteniendo fijas todas las variables menos una

Esto nos conduce al concepto de derivada parcial de una funci´on de varias variables f 0 (a) = l´ım

Sea f : A ⊆ RN −→ R,

Definicio Se dice que f es derivable (parcialmente) en a con respecto a la variable xi ,

si existe el siguiente l´ımite ∂f f (a1 ,

aN ) − f (a1 ,

∂f es la Si no se expresa un punto a concreto se entiende que ∂x i ∂f funci´on de varias variables ∂xi (x) definida en todos los puntos x ∈ R en los cuales f es derivable con respecto a xi

Para N = 2,

las derivadas parciales de f en a = (a1 ,

a2 ) (a1 ,

Si definimos las funciones reales de variable Observacio real u y v como u(x) := f (x,

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

DIFERENCIACION

parciales de f no son otra cosa que las derivadas de u y v en a2 y a1 ,

pues ∂f u(a1 + h) − u(a1 ) (a1 ,

podemos calcular las derivadas parciales de f derivando las funciones reales de variable real u y v

Pero u y v no son otra cosa que f cuando se fija una de sus variables,

luego lo que estamos diciendo es que podemos calcular las parciales de f derivando f como si s´olo dependiese de una variable y la otra fuese constante

Lo bueno de este procedimiento es que nos permite usar todos las t´ecnicas que ya conocemos para derivar funciones reales de variable real a la hora de calcular derivadas parciales,

lo que facilita enormemente su c´alculo

Ejemplo 3

Para f (x,

se tiene que = 2xy + 2y 3 + 4 y ∂f (x,

El problema que presenta el concepto de derivada parcial es que la existencia de todas las derivadas parciales de una funci´on f en un punto no garantiza la continuidad de f en tal punto,

luego el concepto de derivada parcial no generaliza adecuadamente al de derivabilidad de funciones reales de variable real ya que no conserva una de sus principales propiedades

½ 1 si x = 0 ´o y = 0 Ejemplo 3

En concreto,

las derivadas parciales de f en a nos proporcionan la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en las direcciones de las variables y eso,

no nos dice nada del comportamiento global de la funci´on en un entorno del punto a

Esta idea de derivar en la direcci´on de las variables se puede generalizar a cualquier vector de RN del siguiente modo: ´ n 3

Definicio Se dice que f es derivable en a seg´ un el vector v si existe el siguiente l´ımite f (a + hv) − f (a) ∂f (a) := l´ım Dv f (a) = h→0 ∂v h que llamaremos derivada (direccional) de f en a seg´ un (la direcci´ on del vector) v

DIFERENCIAL Y GRADIENTE

Diferencial y gradiente de una funci´ on real de varias variables

Relaci´ on e interpretaci´ on geom´ etrica

Como la existencia de todas las derivadas direccionales de una funci´on en un punto no implica la continuidad de la funci´on en dicho punto,

el concepto de derivada direccional no extiende satisfactoriamente el caso real

Por ello vamos a introducir un nuevo concepto,

el de diferencial de una funci´on de varias variables,

que si extiende el concepto de derivada adecuadamente,

conservando sus principales propiedades

La noci´on de diferenciabilidad surge de manera natural a partir de la siguiente reformulaci´on de la derivabilidad de funciones de reales de variable real f : A ⊆ R −→ R: f es derivable en a ⇔ f 0 (a) = f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h l´ım ⇔ l´ım = 0 ⇔ existe h→0 h→0 h h una aplicaci´on lineal D': R −→ R,

tal que f (a + h) − f (a) − D(h) l´ım 0

Sea A ⊆ RN abierto,

Definicio Se dice que f es diferenciable en el punto a si existe una aplicaci´on lineal (necesariamente u ´nica por ser A abierto) que denotaremos por df (a) o Df (a) y llamaremos diferencial de f en a ,

tal que f (a + h) − f (a) − df (a)(h) l´ım = 0

N´otese que aqu´ı h = (h1 ,

hN ) es un Observacio incremento para cada una de las variables de f ,

que estamos moviendo todas las variables de f (a diferencia de lo que hemos estado haciendo hasta ahora,

donde la h era un n´ umero real)

En primer lugar veamos que la diferenciabilidad es un concepto m´as fuerte,

m´as restrictivo,

que el de la derivabilidad seg´ un cualquier vector y por tanto que la derivabilidad parcial

Teorema 3

3 (conds

necesarias de diferenciabilidad)

Si f es diferenciable en a entonces f es derivable en a seg´ un cualquier vector v ∈ RN con Dv f (a) = df (a)(v)

En particular,

si f es diferenciable en a entonces existen todas las derivadas parciales de f en a y ∂f (a) = df (a)(ei ),

eN } la base can´ onica de RN

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

DIFERENCIACION

El resultado anterior nos dice en particular que la existencia de derivadas parciales (y en general,

de cualquier derivada direccional) de una funci´on en un punto es una condici´ on necesaria para que la funci´on pueda ser diferenciable en ese punto

Pero a´ un podemos extraer m´as informaci´on del resultado anterior: Como la diferencial de una funci´on f sobre la base can´onica est´e dada por las parciales de de f se deduce inmediatamente que las derivadas parciales de f determinan a la diferencial de f de la siguiente manera Corolario 3

Si f es diferenciable en a entonces la diferencial de f en a es la aplicaci´ on lineal de RN en R dada por ∂f ∂f df (a)(x1 ,

xN ) = (a) x1 + · · · + (a) xN

A menudo (sobre todo,

cuando la diferencial Observacio se calcula en un punto arbitrario x de RN ) se usa como variable de df (x) el vector dx = (dx1 ,

dxN ) pues se entiende que la diferencial de f en x act´ ua sobre un incremento dx de la variable x

Con esta notaci´on la diferencial quedar´ıa expresada del siguiente modo: ∂f ∂f df (x)(dx1 ,

dxN ) = (x) dx1 + · · · + (x) dxN ∂x1 ∂xN o m´as abreviadamente (omitiendo todas las variables para simplificar la notaci´on),

∂f ∂f df = dx1 + · · · + dxN

Sea A ⊆ RN abierto,

a ∈ A0 y f : A ⊆ RN −→ R Definicio parcialmente derivable en a con respecto a xi ,

Se llama vector gradiente de f en a al siguiente vector de RN ¶ µ ∂f ∂f (a),

(a) ∇f (a) := ∂x1 ∂xN Corolario 3

El vector gradiente de una funci´on f diferenciable en un punto a es la matriz asociada a la diferencial de f en a respecto de las bases can´onicas de RN y R

Por tanto,

la diferencial de f en a act´ ua as´ı   ¶ x1 µ ∂f ∂f (a),

xN ) = ∂x1 ∂xN xN lo cual tambi´en se puede interpretar como el producto escalar del vector gradiente ∇f (a) por el vector (x1 ,

esto es df (a)(x) = ∇f (a) · x,

DIFERENCIAL Y GRADIENTE

Por tanto,

las derivadas parciales de una funci´on f me dan toda la informaci´on que necesito para poder estudiar la diferenciabilidad de tal funci´on,

ya que (1o ) Si no existe alguna derivada parcial de f en un punto a entonces f no es diferenciable en ese punto

(2o ) Si existen todas las derivadas parciales de f en a entonces tenemos la u ´nica aplicaci´on lineal D'candidata a ser la df (a): ∂f ∂f la dada por D(x1 ,

xN ) = ∂x (a) x1 + · · · + ∂x (a) xN

las derivadas direccionales permiten dar una interesante interpretaci´on geom´etrica del vector gradiente: Como Dv f (a) = df (a)(v) = ∇f (a) · v,

tenemos que Dv f (a) = k∇f (a)kkvk cos θ,

siendo θ el ´angulo entre ∇f (a) y v,

de lo que se deducen las siguientes consecuencias: Corolario 3

Sea A ⊆ RN abierto,

∀v ∈ RN con kvk = 1 se tiene que −k∇f (a)k ≤ Dv f (a) ≤ k∇f (a)k (las derivadas direccionales de la funci´on est´an acotadas por la norma del gradiente)

Adem´ as,

∇f (a) (i) Dv f (a) = k∇f (a)k ⇔ v = (La derivada direccional k∇f (a)k m´ axima se alcanza s´olo en la direcci´ on del gradiente)

∇f (a) (ii) Dv f (a) = −k∇f (a)k ⇔ v − (La derivada direck∇f (a)k cional m´ınima se alcanza s´ olo en la direcci´ on opuesta)

(iii) Dv f (a) = 0 ⇔ v ⊥ ∇f (a) (La derivada direccional se anula u ´nicamente en la direcci´ on perpendicular a la del gradiente)

Por lo tanto,

o (2 ) La direcci´on opuesta a la del gradiente es la direcci´on de m´aximo decrecimiento de la funci´on

o (3 ) La direcci´on perpendicular a la del gradiente es la de m´ınima variaci´on de la funci´on

el gradiente es un vector perpendicular a las curvas de nivel de la funci´on)

Ejemplo 3

Sea T (x,

y) = 100 − x2 − y 2 la temperatura de una placa con un foco de calor en el punto (0,

¿En que direcci´on debe

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

DIFERENCIACION

moverse la part´ıcula sobra la placa para hacerlo sobre la mayor temperatura posible

¿y la menor

¿y para que su temperatura var´ıa lo menos posible

la diferenciabilidad de una funci´on si conserva una propiedad fundamental de la derivabilidad de funciones reales de variable real,

pues la continuidad de una funci´on es tambi´en una condici´on necesaria para la diferenciabilidad de tal funci´on

Teorema 3

necesaria de diferenciabilidad)

Si una funci´on f es diferenciable en a entonces f es continua en a

De hecho,

lo u ´nico que le falta a una funci´on continua en un punto a para ser diferenciable es que se pueda aproximar en un entorno del punto a mediante una funci´on af´ın

Esto es lo que afirma el siguiente resultado,

el cual nos proporciona la interpretaci´on geom´etrica de la diferenciaci´on de funciones de varias variables

Teorema 3

Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) f es diferenciable en a

(ii) f es continua en a y existe una aplicaci´ on af´ın g : RN −→ R f (x) − f (a) tal que l´ım = 0

g es forzosamente la aplicaci´ on dada por g(x) := f (a) + ∇f (a) · (x − a),

´ n geome ´trica de la dif

Corolario 3

f : A −→ R y a ∈ A con a = (a1 ,

La gr´afica de la aplicaci´ on g del teorema anterior,

xN +1 ) : xN +1 = g(x1 ,

es el hiperplano de RN +1 dado por la ecuaci´ on xN +1 = f (a) +

∂f ∂f (a) (x1 − a1 ) + · · · + (a) (xN − aN ) ∂x1 ∂xN

Si f es diferenciable en a este hiperplano recibe el nombre de hiperplano tangente a la gr´afica de f en a,

ya que es el que mejor aproxima a la gr´afica de f en un entorno de a

Para N = 1,

se trata de la (ya conocida) recta tangente a la gr´afica y = f (x) en a: y = f (a) + f 0 (a)(x − a)

DIFERENCIAL Y MATRIZ JACOBIANA

Para N = 2,

lo que nos queda es la ecuaci´ on del plano tangente a la gr´afica z = f (x,

∂f ∂f (a) (x − a1 ) + (a) (y − a2 ) ∂x ∂y

Ejemplo 3

Determinar el plano tangente a la gr´afica de f (x,

Hasta ahora hemos estado viendo condiciones necesarias para la diferenciabilidad de una funci´on que se pueden usar para probar que una funci´on no es diferenciable en un punto pero no para comprobar que sea diferenciable

A continuaci´on vamos a presentar una sencilla condici´on suficiente para la diferenciabilidad que evita tener que recurrir a la definici´on de diferenciabilidad en muchos casos

Sea A ⊆ RN abierto y f : A −→ R

Se dice Definicio que f es de clase C 1 en A,

si existen todas las derivadas parciales de f en A y son continuas

Teorema 3

15 (cond

suficiente de diferenciabilidad)

Si f es de clase C 1 en A entonces f es diferenciable en A

Sin embargo el rec´ıproco del teorema anterior no es cierto en general,

es decir que no todas las funciones diferenciables son de clase C 1 ,

como pone de manifiesto el siguiente ejemplo

Ejemplo 3

La funci´on f definida por ( (x2 + y 2 ) sin √ 21 2 (x,

Diferencial y matriz jacobiana de una funci´ on vectorial de varias variables

Regla de la cadena

Sea A ⊆ RN abierto,

Definicio F = (f1 ,

Se dice que F es diferenciable en a si todas sus funciones coordenadas fi lo son y,

la diferencial de F en a es la aplicaci´on lineal dF (a) : (df1 ,

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

DIFERENCIACION

Sea A ⊆ RN abierto,

Definicio F = (f1 ,

Se llama matriz jacobiana de f en a a la matriz  ∂F1  ∂F1 (a) · · · ∂x (a) ∂x1 N  

JF (a) :=  

y su determinante se denomina determinante jacobiano de f en a

Tambi´en se emplea la notaci´on F 0 (a) para la Observacio matriz jacobiana de F en a,

ya que si f es una funci´on real de variable real (esto es M = N = 1) la matriz jacobiana f 0 (a) queda la matriz de orden 1,

Teorema 3

La matriz Jacobiana de F en a es la matriz asociada a la diferencial de F en a respecto de las bases can´ onicas de RN y RM

Por tanto,

dF (a)(x) = F 0 (a) · x,

la dF (a) act´ ua as´ı:  ∂F1    ∂F1 (a) · · · ∂x (a) x1 ∂x1 N   

xM ) =  

Ejemplo 3

La matriz jacobiana de F (x,

Sean A ⊆ RN ,

B ⊆ RM abiertos,

g : B −→ RP con f (A) ⊆ B y a ∈ A

Si f es diferenciable en a y g es diferenciable en f (a) entonces h := g ◦ f es diferenciable en a con dh(a)dg(f (a)) ◦ df (a)

Por tanto,

Jh(a) = Jg(f (a)) · Jf (a),

esto es  ∂h1   ∂g1   ∂f1  ∂g1 ∂f1 ∂h1 · · · · · · · · · ∂y1 ∂yM ∂x1 ∂xN ∂x1 ∂xN 

 ∂hP ∂hP ∂gP ∂fM ∂gP ∂fM · · · ∂xN · · · ∂yM · · · ∂xN ∂x1 ∂y1 ∂x1 donde la primera y la u ´ltima de esas matrices est´an evaluadas en el punto a mientras que la de en medio se eval´ ua en f (a)

As´ı pues,

P y para todo j = 1,

se tiene la siguiente relaci´ on entre las derivadas parciales de la composici´ on y las de las funciones que se componen: M

X ∂gi ∂fk ∂hi (a) = (f (a)) (a) ∂xj ∂y ∂x k j k=1

DIFERENCIAL Y MATRIZ JACOBIANA

Cuando la regla de la cadena se aplica en todo el dominio de las funciones involucradas se puede interpretar del siguiente modo: Estamos realizando un cambio de variables y = f (x),

xN ) en la funci´on g(y1 ,

de manera que al sustituir se obtiene una nueva funci´on g(f1 (x),

fM (x)) que ya s´olo depende de las variables x = (x1 ,

y queremos calcular las derivadas parciales de esta u ´ltima funci´on a partir de las parciales de la funci´on original g y las parciales de la funci´on del cambio de variable f

Por este motivo se suelen hacer las siguientes simplificaciones que facilitan mucho su expresi´on y comprensi´on: (1o ) Se omiten los puntos a y f (a) donde se aplican las parciales

(2o ) Las funciones coordenadas fk del cambio de variable f se denotan igual que las variables de g,

esto es se entiende que f es el cambio de variables   y1 = y1 (x1 ,

xN ) (3o ) La composici´on h se sigue denotando como la funci´on g pero ahora directamente como funci´on de las variables (x1 ,

xN ) despu´es de haber realizado el cambio de variables

Es decir que la funci´on g(y) de las variables y = (y1 ,

yM ) (antes del cambio de variables) se puede ver tambi´en como funci´on g(x) de las variables x = (x1 ,

xN ) directamente (despu´es de cambio de variables) entendiendo que g(x) := g (y1 (x1 ,

yM (x1 ,

xN )) Con esta nueva notaci´on la regla de la cadena queda as´ı: ∂gi ∂gi ∂yM = xj + · · · + ∂xj ∂yM ∂xj y se puede interpretar de la siguiente manera: “cuando en una funci´on g(y1

yM ) se realiza un cambio de variables,

podemos calcular la derivada de la componente gi de la funci´on resultante con respecto de una de las variables xj sumando todas las derivadas de gi con respecto a todas sus variables yk pero,

como a su vez estas variables son funciones de xj ,

hay que multiplicar cada una de ellas por su derivada con respecto a xj ”

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

DIFERENCIACION

Funciones definidas de forma impl´ıcita

El teorema de la funci´ on impl´ıcita

Hasta ahora hemos tratado con funciones dadas forma expl´ıcita,

definidas por medio de una expresi´on expl´ıcita f : RN −→ RM de la funci´on que me permite calcular directamente su vector imagen y = (y1 ,

yM ) en cualquier punto x = (x1 ,

xN ) mediante la f´ormula y = f (x)

Sin embargo,

a menudo encontraremos funciones definidas de forma impl´ıcita por medio de una ecuaci´on F (x,

y) = 0 siendo F : D'⊆ RN +M −→ RM ,

en el sentido de que existe una u ´nica funci´on f : A ⊆ N M R −→ R tal que F (x,

Ejemplo 3

Obviamente toda funci´on dada de forma expl´ıcita y = f (x) se puede dar tambi´en de forma impl´ıcita F (x,

pero no siempre podremos obtener la forma expl´ıcita a partir de una ecuaci´on impl´ıcita F (x,

y) = 0 ya que para ello tendr´ıamos que poder despejar las variables y = (y1 ,

yM ) en funci´on de las variables x = (x1 ,

xN ) y eso no siempre ser´a posible o sencillo Ejemplo 3

y 3 + y 2 − 5y − x2 + 4 = 0 ⇔ ¿ y = f (x)

a´ un en el caso de que tal despeje se pudiese realizar,

no siempre se va a poder hacer de forma u ´nica,

como se pone de manifiesto con este sencillo ejemplo

x2 + y 2 = 1 ⇔ y = 1 − x2 ´o y = − 1 − x2 No obstante,

si planteamos el problema de despejar ciertas variables de la ecuaci´on F (x,

y) = 0 desde un punto de vista local (es decir,

en un entorno de cada punto que verifica esa ecuaci´on) la situaci´on mejora notablemente

El Teorema de la Funci´on Impl´ıcita (T

) proporciona unas condiciones que garantizan que,

se pueden despejar las variables y de una ecuaci´on F (x,

Comencemos analizando los casos m´as sencillos en los que se puede plantear este problema,

que es cuando x e y representan u ´nicamente un par de variables reales o cuando queremos despejar una variable real z en funci´on de otras dos (x,

En ambos casos la regla de la cadena nos proporciona una sencilla f´ormula para calcular las derivadas parciales de la funci´on expl´ıcita f a partir de las derivadas parciales de la funci´on impl´ıcita F de la que partimos,

F : D'⊆: RN −→ R

FUNCIONES DEFINIDAS DE FORMA IMPL´ICITA

Teorema 3

4 (N=2)

Sea F : D'⊆: R2 −→ R,

F ∈ C 1 (D),

D abierto,

a2 ) 6= 0

∂y Entonces F define a y impl´ıcitamente como funci´on de x en un entorno de (a1 ,

A2 ⊆ R,

abiertos con a1 ∈ A1 y a2 ∈ A2 y existe una u ´nica funci´on f : A1 −→ A2 tal que F (x,

Adem´ as f ∈ C (A1 ) y

Teorema 3

5 (N=3)

Sea F : D'⊆: R3 −→ R,

F ∈ C 1 (D),

D abierto,

a3 ) 6= 0

∂z Entonces F define a y impl´ıcitamente como funci´on de (x,

A2 ⊆ R abiertos con (a1 ,

Adem´ as f ∈ C (A1 ) y

Por tanto la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada por la ecuaci´ on F (x,

z) = 0 en el punto a es ∂F ∂F ∂F (a)(x − a1 ) + (a)(y − a2 ) + (a)(z − a3 ) = 0 ∂x ∂y ∂z esto es,

∇F (a) es el vector normal tal superficie

En su forma m´as general,

esto es cuando tenemos una funci´on F con N + M variables igualada a cero y queremos despejar de esa ecuaci´on M de tales variables,

el teorema quedar´ıa de la siguiente manera: ´ n impl´ıcita)

Sea Teorema 3

F ∈ C (D),

D abierto,

yM ) 6= 0,

siendo  ∂F1  ∂F1 (a,

yM ) :=  

Entonces F define a y = (y1 ,

yM ) impl´ıcitamente como funci´on de x = (x1 ,

xN ) en un entorno de (a,

B ⊆ RM abiertos con a ∈ A y b ∈ B y existe una u ´nica funci´on f : A −→ B tal que F (x,

Adem´ as f ∈ C 1 (A) y sus derivadas parciales se pueden calcular resolviendo el sistema lineal J(F,

yM ) · Jf (a,

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

DIFERENCIACION

Derivadas parciales y diferencial de orden superior

Matriz hessiana de una funci´ on real de varias variables

∂f Si tenemos una funci´on f : A −→ R la funciones ∂x ,

N i reciben el nombre gen´erico de derivadas parciales de orden 1 de f (y se notan tambi´en por fxi )

Al igual que para funciones reales de variable real,

el proceso de derivaci´on parcial tambi´en se puede reiterar s´olo que ahora cada una de las derivadas parciales de f la podremos derivar de nuevo (donde se pueda) con respecto a cada una de las N variables que tiene

De este modo se obtienen las N 2 derivadas parciales de orden 2 de f :

Sea f : A −→ R,

A abierto,

Se llama Definicio derivada parcial segunda (o de orden 2) de f en a respecto de xi y xj al valor ³ ´ ∂f ∂ 2 ∂xi ∂ f (a) : (a) ( o bien,

fxi xj = (fxi )xj ) ∂xi ∂xj ∂xj En particular,

una funci´on f de dos variables tiene 4 funciones derivadas parciales segundas,

∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 A las parciales de en medio se les llama derivadas parciales cruzadas de f

Ejemplo 3

Si f (x,

y) = 3xy 2 − 2y + 5x2 y 2 se tiene que fx (x,

y) = 6xy − 2 + 10x2 y fxy (x,

Se observa en el ejemplo anterior que las parciales cruzadas de f coinciden

Aunque esto se verifica frecuentemente no ocurre en general como pone de manifesto el siguiente ejemplo Ejemplo 3

La funci´on f dada por ½ 2 −y 2 xy xx2 +y (x,

0) 2 f (x,

El siguiente teorema proporciona una condici´on suficiente para que las derivadas parciales cruzadas coincidan

DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR

Teorema 3

Si fx ,

fyx son continuas en un abierto R de R2 entonces fxy = fyx en todo R

Las definiciones anteriores se pueden extender por recurrencia a un orden cualquiera n + 1

As´ı pues,

supuestas ya definidas las derivadas parciales de orden n de f ,

se define la derivada parcial de orden n + 1 de f en a respecto de las variables xi1 ,

N }) del siguiente modo: ³ n ´ f ∂ ∂xi∂ ···x ∂ (n+1) f in 1 (a) := (a) ∂xi1 · · · ∂xin+1 ∂xin+1 ´ n 3

Se dice que f es de clase C n en A,

y se nota Definicio f ∈ C n (A),

si todas las derivadas parciales de orden n existen y son continuas en A Corolario 3

Si f es de clase C n en A las derivadas parciales de cualquier orden r ≤ n no dependen del orden en que derivemos Del mismo modo que hemos introducido las derivadas parciales de orden n se puede hacer algo similar con el concepto de diferencial,

pues podemos definir el diferencial de orden n de una funci´on real de varias variables

Empecemos con el caso n = 2,

Observemos que el diferencial de una funci´on f : A ⊆ RN −→ R se puede ver como una aplicaci´on df que depende tanto del punto x donde la calculamos como del vector h donde se eval´ ua: ½ N X ∂f ∀x = (x1 ,

xN ) ∈ RN df (x)(h) = (x)hj ,

hN ) ∈ RN ∂xj j=1

Si variamos s´olo el vector h,

h 7→ df (x)(h) es una aplicaci´on lineal de RN en R,

pero si variamos s´olo el punto x tenemos una aplicaci´on x 7→ df (x)(h) (continua,

si f es de clase C 1 en A) de RN en R a la que podemos calcular de nuevo su diferencial,

y que denotaremos por df (h) (la diferencial de f pero como funci´on de x) ´ n 3

Se define el diferencial de orden 2 como la apliDefinicio 2 caci´on d'f que a cada punto a (tal que df (h) exista en un entorno suyo para todo h) le hace corresponder la aplicaci´on d2 f (a) dada por d2 f (a)(h) = d(df (h))(a) (abreviadamente d2 f = d(df ))

Se llama matriz hessiana de f en a a la matriz Definicio   ∂2f ∂2f (a) · · · (a) 2 ∂x1 ∂xN  ∂x1

Hf (a) = 

 2 2 ∂ f ∂ f (a) · · · (a) ∂xN ∂x1 ∂x2 N

´ DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

DIFERENCIACION

Teorema 3

El diferencial de orden dos d2 f en un punto a es una forma cuadr´atica cuya matriz asociada respecto de la base can´ onica N de R es la matriz hessiana Hf en el punto a,

hN ) ∈ RN ,