PDF- -[GEA201] MATEMATICAS I - mondragonedu - calculo_de_varias_variables_volumen2.pdf

Description

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Esta Serie tiene por objeto ofrecer a los lectores una buena selección de problemas resueltos sobre distintos temas de matemáticas

Los primeros volúmenes se prepararon especial­ mente para satisfacer las necesidades de los alumnos que inician sus estudios profesionales en las carreras de matemáticas,

mientras que los últimos contienen algunos temas más difíciles

A fin de dejar el mayor espacio posible para los problemas,

los textos explicativos y teóricos se redujeron a lo indispensable

también se cuidó de presentar en cada libro sólo los temas que pudieran cubrirse completamente

Los libros se han escrito para usarlos como complemento de los cursos impartidos con textos convencionales

Son de gran utilidad para el estudiante,

porque le ayudan a entender los problemas planteados en clase y adquirir práctica al resolver los problemas con respues­ tas que se agregaron con este propósito

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CALCULO DE VARIAS VARIABLES

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El original inglés de esta obra se publicó como el Volumen 2 de la colección PROBLEM SOLVERS cargo de L

Marder,

Profesor Titular de Matemáticas de la Universidad de Southampton,

Inglaterra

SELECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS LIMUSA

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CALCULO DE VARIAS VARIABLES Volumen 2

MARDER,

P rofesor Titular d'e M atem áticas,

Universidad de Southam pton,

Inglaterra

E D'I T O R I A L'MEXICO

S A 19 7 4

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Título de la obra en inglés: CALCULUS OF SEVERAL VARIABLES © George Alien & Unwin Ltd,

Derechos reservados en lengua española,

© 1974,

EDITORIAL LIMUSA,

Arcos de Belén 75,

México 1,

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial,

Registro Núm

Primera edición: 1974 Im preso en M éx ico

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C o n te n id o

CAPITULO 1

DERIVACION PARCIAL 1

Definiciones,

Diferenciales,

CAPITULO 2

JACOBIANOS Y TRANSFORMACIONES 2

Funciones implícitas y jacobianos,

CAPITULO 3

EL TEOREMA DE TAYLOR Y SUS APLICACIONES 3

El teorema de Taylor en dos variables,

Máximos y mínimos,

multiplicadores indeterminados,

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CAPITULO 4

INTEGRALES MULTIPLES 4

Integrales dobles y repetidas,

Integrales triples,

CAPITULO 5

INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE 5

Integrales de línea,

Integrales de superficie,

75 81 89

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

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CAPITULO

D e riv a c'ió n p a r c'ia l

los objetos se llaman miembros o elementos del conjunto

Denotaremos por R el conjunto de los nú­ meros reales,

el cual podemos considerar como el conjunto de los puntos sobre una recta (el eje real)

Llamamos intervalo cerrado a un conjunto de números reales x que satisfacen la relación a ^ x ^ b

si la relación es a < x < b obtenemos un intervalo abierto

Si c'es un número real cualquiera,

el conjunto de puntos sobre el eje real cuya distancia euclidiana desde c'es menor que 8,

la relación \x — c\ < 8 define una vecindad de c

Denotaremos por R 2 el conjunto de pares de números reales (x,

el cual podemos considerar como el conjunto de los puntos en un plano

Una vecindad (circular) de (a,

cuya distancia euclidiana desde (a,

b) mediante una desigualdad (x — a )2 + (y — b )2 < 82

Un conjunto de puntos es abierto cuando cada punto P en el conjunto posee una vecindad totalmente contenida en el conjunto

Por ejemplo,

pero el conjunto T : x2 + y2 ^ 1 no lo es,

debido a que las vecindades de los puntos x2 + y2 = 1 contienen puntos que no pertenecen a T

En un conjunto,

un punto frontera se caracteriza por la condición de que todas sus vecindades contienen puntos que pertenecen y puntos que no pertenecen al conjunto

Los puntos para los cuales x2 + y2 = 1 son puntos frontera tanto de T como de S

Un conjunto como T,

que contiene todos sus puntos frontera,

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(Comúnmente se refuerza esta definición diciendo que una región no puede consistir de partes ajenas

) Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos que asocia uno o más elementos del segundo conjunto con cada uno de los miembros del primero

Si el primer conjunto es R2 y el segundo es R,

entonces cada pár de números reales (x,

y) se asocia con uno o más números reales,

Cuando z = F{x,

y) tiene preci­ samente un valor para cada par (x,

entonces decimos que la regla (y también el valor,

lo cual no deja de ser un poco ambiguo) es una función de valor único de las variables x y y

Por ejemplo,

z = x2 + y2 representa una función de valor único,

mientras que z2 = |* + y|es una función de valores múltiples,

pues a los valo­ res de a: y y cuya suma es distinta de cero corresponden más de un valor de z

En condiciones normales,

entenderemos por la palabra función una regla de valor único

Llamaremos aquí variables independientes a las variables x,

y z será la variable dependiente

Los puntos {x,

y) está definida constituyen el dominio de definición de la fun­ ción

el dominio de definición es todo el plano xy

el dominio de definición es la región x ^ y

Podemos identificar un punto en el espacio tridimensional con cada combinación posible de los valores (x,

mediante un sistema de coordenadas cartesianas rectangu­ lares Oxyz

En general,

esta representación gráfica de una función de dos variables crea una superficie

Supongamos que F(x,

y) es una función definida en una vecindad de (a,

con la posible salvedad del mismo (a,

Si podemos aproximar F(x,

y) tanto como se quiera a un valor definido l'con tan sólo escoger pimíos (x,

y) suficientemente próximos a (a,

y) tiende al límite l'cuando {x,

Reviste importancia que l'no dependa de la dirección de (x,

Con más formalidad,

existe un número 8 > 0 tal que |F(*,y) —1\ < e siempre que 0 < (x —a)2+ (y —b)2 < 82

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Definiciones

Se dice que la función es continua en (a,

Por ejemplo,

la función cuyo valor es cero en todos los puntos menos en (0,

Empero tal límite es cero,

así que la función es discontinua allí,

Muchos teoremas importantes se aplican a funciones continuas en todos los puntos de una región

La suma,

de dos funciones continuas son todos continuos,

Las funciones compuestas formadas exclusivamente de funciones continuas,

también son continuas y así sucesivamente

Estos teoremas son generalizaciones de resultados en el cálculo de una variable

los enunciados precisos pueden encontrarse en casi todos los textos sobre cálculo avanzado

Problema 1

Si x2(x + y )

al margen del modo en que se defina g(0,

Solución,

(i) Supongamos que x y y no son simultáneamente cero

Gomo x2 ^ x2 + y2,

I/(*> y) I =

I*+yKI*l+ bl-

Por lo tanto,

y) — 0| < e cuando tanto |x| <

Por lo tanto,

y) tiende hacia cero cuando (x,

de modo que / es continua en este punto,

siempre y cuando definamos /(0,

Si g fuese continua en (0,

y) debería aproximarse al valor de l'al tender {x,

Pero en y = 0,

lo cual tiende a 1 cuando x se aproxima a cero

El primer resultado requiere que 1 = 1 ,

Siendo incompatibles ambos,

deducimos que g no puede ser continua en el punto citado

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y) una función (real) de las variables independientes (reales) * y y

Si mantenemos y en el valor constante y1

entonces podremos considerar z como función de x

Si existe la derivada de z = f{x,

y i) con respecto a x en x = xly la llamamos derivada parcial de f con respecto a x en el punto (xi,

Esto se denota por los diversos símbolos

T dx (*1,

Definimos de manera semejante la derivada parcial con respecto a y

En forma explícita,

Problema 1

Si f(x,

Solución,

(i) Al considerar y como constante,

(ii) Consideramos x como constante y derivamos con respecto a y: fv(*>V) = 3x2y2 4y

Al tomar x — —2,

Problema 1

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Derivadas parciales

Encontrar una ecuación diferencial parcial que sea satisfecha,

Solución

En el caso de z = eos (* + y),

tenemos: dz d'— = —- cos(x-t-y) = —sen(*+y),

Si z = eos xy,

así que dz dz x — — y — = 0,

dx dy la cual es una ecuación diferencial parcial en z (es decir,

una ecua­ ción en donde intervienen las derivadas parciales de z)

Observe el lector que se cumple (1

Q Problema 1

desde el punto de vista geométrico,

las derivadas parciales dz/dx,

Solución

Considérese la superficie S cuyas coordenadas carte­ sianas rectangulares satisfacen la ecuación z = f(x,

donde toma­ mos el eje de las z vertical y dirigido hacia arriba (figura 1

La altura de esta superficie medida desde cualquier punto (xí3 yi) en el plano z = 0 es f(xi,

y su valor puede ser positivo o nega­ tivo

Sea P el punto (xi,

situado en la curva plana vertical donde el plano y = y2 se intersec^con S

La pendiente de la tangente PQ a esta curva,

en P y en la dirección en que crece x es (dz/dx) De la misma manera,

la derivada parcial dz/dy en (x1} yx) es la pendiente de la tangente PR,

en P y en la dirección en que crece y,

intersección del plano vertical x = xx y S

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Derivación parcial

Figura 1

¥= (0,0),

n*>y> (O,

demostrar que / no es continua en (0,

pero que tanto fx como fy existen en el punto en cuestión

Solución

A lo largo de la recta x = cy,

Por consiguiente,

Como este valor depende de c,

y) no tiende a un límite único cuando (x,

En casos como éste,

no conviene derivar la fórmula correspon­ diente a / en un punto general y sustituir después los valores x = 0,

En cambio,

trabajamos directamente con las definiciones (1

1) y (1

2): 7l-y0

- / ( 0 ,

0) fy(0,

0) = lun

lo cual demuestra que existen tanto fx como /„ en (0,

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Derivadas parciales

Problema 1

¿Por qué no se tiene idénticamente que dx dr — — = 1

Si consideramos r y 0 como las variables independien­ tes y derivamos la ecuación x — r eos 6 con respecto a r (con 0 constante),

pues indica que x debe considerarse como una de las variables independientes pero no éspecifica la otra,

no queda claramente establecido cuál debe considerarse constante cuando se deriva

Si se supone que * y y deben conservar la misma calidad en la segunda parte del problema,

entonces éstas serán las variables independientes,

y las dependientes serán r y 6

Al resolver las relaciones dadas,

Derivando la primera de las expresiones de (1

manteniendo y constante (como indica la notaciónsiguiente): ( — ) = x(x2+ y 2)~1/2 =

- = eos 0

Podemos escribir el producto de las ecuaciones (1

5) y (1

lo cual no es idénticamente igual a 1

Esto era previsible,

pues se mantuvieron como constantes variables diferentes al llevar a cabo las derivaciones sobre los miembros de la izquierda

y) posee derivadas parciales fx y fy en alguna región,

éstas serán funciones de x y y,

derivadas parciales con respecto a x y y,

las cuales se conocen como segundas derivadas parciales de /,

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Problema 1

Solución

Tenemos fx — 3x2y+ yexv,

Por lo tanto,

al derivar de acuerdo con las fórmulas anteriores,

ob­ tenemos fxx — 6xy+ y2^ ,

Observe el lector que fxy = fyx

Esto no es cierto para toda fun­ ción f(x,

cuando los dos miembros existen y son continuos en las inmediaciones del punto en cuestión,

lo cual suele verificarse en casi todas las aplicaciones prácticas

Si f(x,

(ü) x 2fxx + 2xyfxV+ f f y„ = 2/

Solución,

(i) Encontramos con facilidad que

---- —

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Funciones compuestas: la regla de la cadena

(ii) Al derivar parcialmente (1

Multiplicando la primera igualdad por * y la segunda por y,

su­ mando y aplicando la relación = fyx,

!‘fxx+2xyfxv+ y2fm = xfx+ yfy = 2/,

Definimos las derivadas parciales de orden superior como exten­ sión natural de las segundas derivadas

Por ejemplo,

En condiciones adecuadas,

no importa el orden de diferenciación,

así que podemos escribir los subíndices en cualquier orden

la regla de la cadena Problema 1

Si / y g son funciones arbitrarias de una variable,

es una solución de la ecuación de onda d2z _

Sean u = x — ct,

Si mantenemos í cons­ tante y aplicamos un procedimiento estándar para derivar funciones compuestas de una variable,

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Por lo tanto,

d2z du dv

De la misma manera,

( ~ c') T ( u ) + ( c') 2g " ( v ) ,

En general,

donde x y y son funciones de las variables independientes r y s,

entonces w es una función de r y s

Vamos a denotar por d/dr la derivación con respecto a r,

y por 3/3s la derivación con respecto a s,

Como antes,

la notación d/dx y 3/3y significa que y y x son,

La regla de la cadena de la derivación parcial afirma que 3w

Si w = f(x,

entonces la regla correspondiente es

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Funciones compuestas: la regla de la cadena dw

dw dw dx dw dy dw dz _ = — ,— + —

-J- * ••

Aquí suponemos que los números de variables x,

aunque no necesariamente iguales

Problema 1

Encontrar dw/dt cuando t =

Solución

Podemos sustituir x y y en términos de t y derivar,

o bien podemos aplicar la regla de la cadena,

con lo cual obtenemos (ya que w es función compuesta tan sólo de t ) : dw

Cuando í = ir,

así que dw/dt = (-4 7 r )^ ’r2(

Problem a 1

demos­ trar que la ecuación de Laplace para V(x,

dx2 d'f equivale a d2V dp2 Solución

-------- +

Primer método

Tenemos:

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dVdx dvdy dv dv ,

Por lo tanto,

podemos reemplazar d/dp y d/d9 por las operaciones equivalentes: 0

— = eos 9 — + sentí — ,

0tí dx dy

= eos 9 — ( — ) + (eos 9) dp\dxj dx dp d'/dV\

Aplicamos ahora (1

en los otros dos términos podemos derivar directamente con respecto a p

como p y tí son variables independientes,

tenemos que (d/dp) eos tí = 0,

d2V dp*

d2V dx2

d2V dxdy

d2V dy2

De la misma manera,

d2V d92

d( dV 0F\ = — I —p sen tí + p eostí

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Funciones compuestas: la regla de la cadena

— (p eos 0 ) = —p se n 0 ,

— ( — p s'e n d') = —p eos#,

y de acuerdo con el procedimiento adoptado en (1

d*V 002

( 0 8 \ dV dV = —p sen 0 ( —p sen 0

/ 0 0 \ dV dV + p eos 0 ( —p sen 0

----- ) \

d2V dp2

de donde se deduce el resultado requerido

Segundométodo

Tanto si invertimos las ecuacionesx = p eos 0,

y = p sen0,para obtener p —(x2 + y2) ^ 0 = tan-1(y/x),

Al aplicar sucesivamente cada uno de estos operadores a V,

podemos obtener expresiones para d2V¡dx2 y d2V ¡d f en términos de p,

Al sumar las dos expresiones así obtenidas,

des­ pués de algunas reducciones,

de donde nuevamente se deduce el resultado que se busca

El lector debe veri­ ficar los pormenores de lo dicho

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Es preferible usar (1

En el siguiente problema se ofrece otro ejemplo del método

Si / = f(x,

expresar (df/dx)2 + (df/dy)2 en térmi­ nos de las derivadas parciales con respecto a u y v,

Solución

De acuerdo con la regla de la cadena,

En particular,

a partir de las relaciones dadas,

„ du dv 0 = 2v— + 2 u — ,

dx dx du dv 1 = 2v — + 2u —

dy dy Resolviendo las últimas cuatro ecuaciones,

2{u2+ v2)

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Funciones compuestas: la regla de la cadena

Sustituyendo estos valores a i (1

20) y (1

y sustituyendo g p o r/: 3/ 1 / 3 / 3f\ — = ——

L E + A 0y 2(u2+ u 2) V 3« 3y/

Problema 1

en­ contrar d2f/dxdy en términos de las derivadas de / con respecto a u y v,

Solución

0\ y — I

y aplicando este operador a (1

02/ 0x9y

10 \ 9u

0ü / u2+ v2J \0u

» ) ( ,» + ,* )

Observe el lector que hemos reemplazado u por 1 y o por 2 tan sólo en las funciones de u y v que aún no se han derivado

Llevamos a cabo las derivaciones,

sin olvidar que u y v son las variables independientes,

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Derivación parcial

d2f _ i r

tí------

- 1 0 —

- 1 1 —

- 2 — 1

Problema 1

-------

Solución

Denotemos por dx,

(Esta sustitución se sugiere a partir del problema 1

con el método de los problemas anteriores,

U¡dy i Vgdjj

0a 4* 0»,

dt — tí¿0« 4" Vtdx ~ c(du

con una notación obvia para las segundas derivadas,

— 3tt — (du ~ 3r) (du~dv) = 3«« ~ 23„„ 4- 3CT

La integración con respecto a u,

considerando v como constante,

donde F es una función arbitraria

A continuación,

F(v) do + /(«)»

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Funciones compuestas: la regla de la cadena

Por lo tanto,

si ponemos g(v) en lugar de la integral indefinida de la última ecuación,

habremos obtenido la so­ lución general de (1

en la cual intervienen dos funciones arbi­ trarias / y g: z = f(x + ct) + g ( x —ct)

O Problema 1

de modo que z = r 1 sen r y dz/dt = 0 cuando t = 0

Solución

Como drr(rz)

De acuerdo con el problema anterior,

la solución general de esta ecuación es rz = f(r + c't) + g ( r

Aplicamos las condiciones dadas en t = 0,

para obtener (2) (t=o) = r-x sen r = r-x\j(r) + g (r)] es decir,

- c't ) (

donde el apóstrofo denota la derivación de una función con respecto a su argumento

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En consecuencia,

podemos integrar para obtener í i r) ~SÍr) — A — const

- A ) ,

z — r-1[f(r + ct) + g (r —ct)] = ^[sen(r + cí) +sen(r—ct)]

Si la función f(x,

) tiene la propiedad siguiente: f(tx,

decimos que es homogénea de grado n

Por ejemplo,

f(x ,y ,z ) = (*3+ 3*y2—xz2)/z es homogénea de grado 2,

f(tx,ty,tz) = [(tx )3+ 3(tx) {ty)2—(tx) (tz)2]/tz = t2(x3+ 3xy2—xz2)/z = t2f(x ,y ,z )

Problema 1

entonces 0/ 0/ 0/ * 7 + 7 7 + 7 7 +

Verificar el resultado en el caso en que f(x ,y ,z ) = ix3 + yz2 — xyz

Solución

Sean X = tx,

Y = ty,

Z = tz,

Entonces,

Derivamos cada miembro con respecto a í,

dY + /ri r

dZ + u ~ ¡r+

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Diferenciales

A continuación,

xfx + yfy + zfa + ■■■ = nf,

La función dada es claramente homogénea de grado 3

Por cálculo directo,

xfx+yfy + zfz = x(6x2—yz) + y (z 2—xz) +z(2yz—xy) = 6x3—3xyz+3yz2 — 3/,

En una generalización del teorema de Euler se afirma que (ver problema 1

yx) y sea Q el punto (*i + Ax,

donde Ax y Ay son respectivamente incremen­ tos en x y y

Sea R un punto variable (xx + t Ax,

Si P y Q son puntos fijos,

F(t) = / ( * i + t Ax,

En virtud de un teorema del valor medio del cálculo de una variable,

si existe la derivada de F en 0 ^ i ^ 1,

donde k es algún número con la propiedad de que 0 < k < 1

Esta cantidad representa el incremento Af en / entre P y Q,

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podemos escribir esta última ecuación como A/ = (fx+ e i)A x + (fv+ e2)Ay,

donde ahora evaluamos las derivadas parciales en (xi,

y ei y e2 tienden ambos hacia cero cuando Ax y Ay tienden hacia cero

La fiarte principal de este incremento es df = fx Ax + fy Ay,

cuando Ax y Ay tienen valores pequeños,

df es aproximadamente igual a Af

y cuando se usan los incre­ mentos Ax y Ay en este contexto se denotan respectivamente por dx y dy

Por lo tanto,

entonces se cambian ligeramente los significados de dx y dy (pues se convierten en partes principales)

Por ejemplo,

donde u y v son las variables indepen­ dientes,

en correspondencia con las diferenciales du,

Las generalizaciones a funciones de más de dos variables son inmediatas

Problema 1

y) de modo que dg = [2y2(sen*4-xcos*) —ye**] dx4- (4xy sen x —xe**4- 2y) dy

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Diferenciales

(ii) Si existe una función g(x,

34) con (1

veremos que g debe satisfacer las condiciones gx = 2y2(senx + xcosx) —ye™,

Integramos (1

y ob­ tenemos g — 2y2xsenx —e™+ h(y),

donde la función h debe determinarse

Al sustituir en (1

de donde se tiene que h'(y) — 2y,

donde C es una constante arbitraria

Por lo tanto,

y) = 2y2x sen x —exy+ y 2+ C

Problema 1

Solución

Consideremos cualquier función f(x,

y) con la dife­ df = P (x,y)dx + Q (x,y)dy,

donde P y Q son funciones dadas

Cuando / posee segundas derivadas parciales que son continuas,

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En nuestro caso,

P = xy,

Q = 2x2,

Qx = 2x,

Py ^ Qa (excepto cuando x — 0) con lo cual queda demostrada la proposición del problema

Cuando (1

se dice que la expresión P dx + Q dy es una diferencial exacta

El resultado recí­ proco del que acabamos de deducir es el siguiente: cuando se veri­ fica (1

la forma diferencial P dx + Q dy es exacta (aunque quizá / no sea de valor único,

a menos que la región sea simplemente conexa

Solución

Consideremos la superficie S: z = f(x,

y) referida a los ejes cartesianos rectangulares Oxyz

Denotemos por P0 y (2o l°s puntos (xi,

de modo que los puntos P (x}i,

Si dx = Ax — x2 — xx,

dy = Ay — y¡¡ — y1} el incremento correspondiente en / es Af = z2—zx = f{xx+Ax,

Af es el incremento en la altura de la superficie S desde el punto (x,

cuando éste va desde P0 hasta (2oConsideremos a continuación el plano tangente a S en el punto P(xx,

debe ser de la forma z —Zx — l{x —Xx) + m (y —yx)

l es la pendiente de la recta de intersección de este plano y el plano vertical y = yx

La curva de intersección de 5 y el plano y — yt debe tener la misma pendiente,

(obteniendo el segundo resultado con un argumento semejante)

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Diferenciales

Si sustituimos x,

la diferencial df evaluada en (*,,

El primer miembro de (1

Si igualamos (1

lo cual muestra que la diferencial df es el incremento en la altura del plano tangente en P cuando el punto base (x,

Además,

este resultado muestra que df y Af son casi iguales,

cuando los valores de dx y dy son pequeños

encontrar un valor aproximado para /(1

Solución

Escribimos x = x0 + Ax,

cual demuestra que un punto crítico para el que y — x es,

O Cuando D'vale cero en un punto crítico,

el criterio anterior no puede aplicarse

Un caso frecuente es aquel donde r = s'= t — 0

Entonces,

el signo de Af depende de los términos que contienen la tercera derivada en el desarrollo de Taylor de f[x,

y) alrededor del punto crítico,

El examen minucioso de estos términos nos muestra que no existe extremo relativo a menos que todos valgan cero

es preciso investigar los términos con derivadas de cuarto orden a fin de completar la prueba

Problema 3

y) = x'2yl {x + y + 1)— 1 tie­ ne un punto crítico en ( 0,

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máximos y mínimos Solución

tenemos: fx — 2xrf { x + y + \ ) + xiyi = 0,

Al volver a derivar observamos que todas las derivadas de segundo orden se anulan en este punto,

Las derivadas de tercer orden también se hacen cero en ( 0,

y lo mismo sucede con las de cuarto orden,

El desarrollo de Taylor de f(x,

y) es A/ = f(*,y) —/( 0 ,0) = * Y [ l'+ 5(0A

+0:y)],

habiendo obtenido la expresión entre corchetes al evaluar las cuartas derivadas de / en (Úx,

Gomo A/ es positivo para todos los valores pequeños de * y y,

f tiene un mínimo relativo en (0,

(Este resultado puede obtenerse también mediante una inspección de /

Una función f(x,

z) de tres variables tiene un máximo relativo en P(xo,

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