PDF- -CÁLCULO FINANCEIRO — APLICAÇÕES NO SECUNDÁRIO - Calculo Financeiro

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Anderson Ribeiro Duarte

Notas de Aula

Universidade Federal de Ouro Preto

´Indice 1 Porcentagem 1

- Aula 1

- Aula 1

2 Juros 2

- Aula 2

- Aula 2

- Aula 3

- Aula 3

valor atual e prazo de antecipa¸c˜ao

Desconto

Desconto por dentro (racional ou real) Desconto “por fora” ou comercial

Desconto na capitaliza¸c˜ao simples

Exerc´ıcios

- Aula 4

Exerc´ıcios

- Aula 4

- Aula 5

- Aula 5

- Aula 6

- Aula 6

- Aula 7

- Aula 7

Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento delo B´ asico

- Aula 8

- Aula 8

Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento delo B´ asico

- Montante

- Aula 9

- Aula 9

Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento (Modelo Gen´ erico) 10

mais parcelas intermedi´arias iguais

- Aula 10

- Aula 10

- Aula 11

- Aula 11

- Aula 12

- Aula 12

- Aula 13

- Aula 13

Aula 1 : Porcentagem Objetivos: Ao final da aula vocˆe ser´a capaz de: • Relembrar os conceitos de raz˜ao centesimal,

• Rever os conceitos envolvidos no calculo da porcentagem

• Entender e resolver os problemas propostos

Introdu¸c˜ ao

No nosso cotidiano e comum ouvir express˜oes do tipo: • Liquida¸c˜ao de ver˜ao,

• As mulheres constituem cerca de 53% da popula¸c˜ao brasileira

• A alta dos pre¸cos no mˆes de Janeiro foi de 2,5%

• O d´olar baixou no mˆes de Janeiro cerca de 1,5%

Essas express˜oes envolvem uma raz˜ao especial chamada porcentagem,

assunto que passaremos a estudar agora

Raz˜ ao centesimal

Defini¸ c˜ ao 1

Chamamos de raz˜ ao centesimal a toda raz˜ ao cujo conseq¨ uente (denominador) seja igual a 100

Exemplo 1

Diversas outras raz˜oes n˜ao centesimais podem ser facilmente reescritas na forma centesimal

´ındice ou taxa porcentual e percentil

Forma porcentual

Uma raz˜ao centesimal pode ser indicada na forma porcentual anotando-se o antecedente (numerador) da raz˜ao centesimal seguido do s´ımbolo % (lˆe-se por cento)

Exemplo 1

Forma unit´ aria

Al´em da forma porcentual,

existe uma outra forma de expressarmos uma raz˜ao porcentual a qual chamamos de forma unit´ aria

p A forma unit´aria da raz˜ao ´e o n´ umero decimal que obtemos dividindo 100 o valor p por 100

Exemplo 1

Porcentagem

Defini¸ c˜ ao 1

Dados dois n´ umeros quaisquer,

A e B ,

dizemos que A ´ e p do valor B,

igual a p% de B quando o valor A for igual a 100 p A ´e p% de B ⇐⇒ A = × B

B ´e a referˆencia do c´ alculo porcentual

Todo problema de porcentagem depende,

de determinarmos um dos valores dados na express˜ao acima,

ou p em fun¸c˜ao dos outros dois

´ comum encontrarmos as express˜oes: lucro,

indicando uma porcentagem em situa¸c˜oes espec´ıficas e a express˜ao principal indicando o valor de referˆencia que corresponde a 100%

Exemplo 1

Calcular 20% de 250

? 20 3000 Solu¸c˜ ao × x = 30 =⇒ 20x = 3000 =⇒ x = = 150 100 20 Exemplo 1

? x 21 × 100 Solu¸c˜ ao 21 = × 15 =⇒ x = = 140,

Aumentos e redu¸c˜ oes porcentuais

Quando queremos calcular um aumento ou uma redu¸c˜ao de p% sobre determinado valor,

normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas: 1

calculamos a porcentagem p% do valor dado

adicionamos ou subtrairmos do valor original a porcentagem encontrada,

o valor aumentado ou reduzido em p% do valor dado,

Usando a forma unit´aria,

calcular aumentos e redu¸c˜oes porcentuais de modo mais r´apido,

da seguinte forma: Para calcular um aumento de p% Quando aumentamos em p% um valor V ,

Ent˜ao,

basta multiplicar o valor V pela forma unit´aria de (100 + p)% para termos o resultado desejado

Exemplo 1

Aumentar o valor 230 em 30%

Aumentar o valor 400 em 3,4%

Ent˜ao basta multiplicar o valor V pela forma unit´aria de (100 − p)% para termos o resultado desejado

Exemplo 1

Reduzir o valor 300 em 30%

Reduzir o valor 400 em 2,5%

Aumentos e redu¸c˜ oes porcentuais sucessivos Aumentos sucessivos

Para aumentarmos um valor V sucessivamente em p1 %,

de tal forma que cada um dos aumentos,

incida sobre o resultado do aumento anterior,

basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unit´arias de (100 + p1 )%,

Exemplo 1

Aumentar o valor 2000 sucessivamente em 10%,

20% e 30%

Solu¸c˜ ao 2000 × 1,10 × 1,20 × 1,30 = 3432 Exemplo 1

Se o valor 4000 sofrer trˆes aumentos sucessivos em 5%,

? Solu¸c˜ ao 4000 × 1,05 × 1,05 × 1,05 = 4630,50 Redu¸ c˜ oes sucessivas Para reduzirmos um valor V sucessivamente em p1 %,

de tal forma cada uma das redu¸c˜ oes,

incida sobre o resultado do aumento anterior,

basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unit´arias de (100 − p1 )%,

Exemplo 1

Reduzir o valor 2000 sucessivamente em 10%,

20% e 30%

Solu¸c˜ ao 2000 × 0,90 × 0,80 × 0,70 = 1008 Exemplo 1

Se o valor 4000 sofrer trˆes redu¸c˜ oes sucessivas em 5%,

? Solu¸c˜ ao 4000 × 0,95 × 0,95 × 0,95 = 3429,50

Outros Exemplos

Exemplo 1

Multiplicar o pre¸co de uma mercadoria por 1,0428 equivale a dar-lhe um aumento de quantos por cento

? 104,28 Solu¸c˜ ao 1,0428% = = (104,28)% = (100 + 4,28)% 100 4,28% Exemplo 1

A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$26,00 e trazia a seguinte observa¸ca ˜o: “N˜ ao inclu´ımos os 10% de servi¸co”

Quanto representa,

os 10% de servi¸co e quanto fica o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao servi¸co

? Solu¸c˜ ao Servi¸co 10% de 26,00,

Numa pequena agˆencia banc´ aria,

Quantos clientes,

? Solu¸c˜ ao O total de clientes corresponde a 100%

(100 − 32)% = 68% corresponde ent˜ ao ao porcentual de pessoas f´ısicas,

portanto 2040 corresponde ent˜ ao a 68% do total,

logo o total de clientes ser´ a dado por: 2040 × 100 = 3000 68 Exemplo 1

O pre¸co de um produto A ´e 30% maior que o de B e o pre¸co deste ´e 20% menor que o de C

Sabe-se que A,

B e C custaram juntos,

R$28,40

Qual o pre¸co de cada um deles

? Solu¸c˜ ao Representaremos os pre¸cos de A,

B e C por a,

portanto tem-se que: a = 1,3b e b = 0,8c e da´ı ent˜ ao,

Como a + b + c'= 28,40,

temos que: 1,04c + 0,8c + c'= 28,40 e ent˜ ao,

a = 1,04 × 10,00 = 10,40 e b = 0,8 × 10,00 = 8,00

Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda

Qual o pre¸co de venda desta mercadoria se o seu pre¸co de custo foi de R$160,00

? Solu¸c˜ ao O termo sobre a venda,

indica que o valor de referˆencia (principal) dever´ a ser o pre¸co de venda,

portanto devemos fazer o pre¸co de venda corresponder a 100%

Temos ent˜ ao que o pre¸co de custo corresponde a (100 − 20)% = 80% do pre¸co de venda,

Exerc´ıcios

- Aula 1

Vidal investiu 30% do seu capital em um fundo de a¸c˜oes e o restante em um fundo de renda fixa

Ap´os um mˆes,

as quotas dos fundos de a¸c˜oes e de renda fixa haviam se valorizado 8% e 2,40%,

Qual foi a rentabilidade do capital de Vidal nesse mˆes

Um preju´ızo de 50% sobre o pre¸co de custo de uma mercadoria corresponde a quantos por cento se for calculado sobre o pre¸co de venda

Se um produto que custa R$40,00 tiver seu pre¸co reajustado sucessivamente em 5% e 10%,

qual ser´a o seu pre¸co final

Antonio ganha 30% as mais que Beatriz e Carlos 20% a menos que Antonio

Se a diferen¸ca entre os sal´arios de Antonio e de Carlos ´e de R$130,00,

qual ´e o sal´ario de Beatriz

Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50% sobre os sal´arios de abril,

descontadas as antecipa¸co˜es

Sabendo-se que ela havia recebido em maio uma antecipa¸c˜ao de 20%,

qual do aumento obtido em junho,

Exerc´ıcios

- Aula 1

Expresse a fra¸c˜ao

Um lucro de 25% sobre o pre¸co de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento se for calculado sobre o pre¸co de venda

Se dermos dois descontos sucessivos,

a uma mercadoria que tem pre¸co inicial de R$40,00,

qual ser´a o seu pre¸co final

O sal´ario de um vendedor ´e constitu´ıdo de uma parte fixa igual a R$2300,00 e mais uma comiss˜ao de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$10000,00

Estima-se em 10% o porcentual de descontos diversos que incidem sobre o sal´ario bruto

Em determinado mˆes o vendedor recebeu l´ıquido,

Quanto ele vendeu nesse mˆes

Comprei numa promo¸c˜ao uma cal¸ca e uma camisa

Ap´os o t´ermino da promo¸c˜ao,

a cal¸ca ficou 20% mais cara e a camisa,

Se comprasse as mesmas duas pe¸cas pagando esses novos pre¸cos,

Quanto me custou a mais a cal¸ca em rela¸c˜ao `a camisa

Um certo produto podia ser comprado h´a alguns meses por 20% do seu valor atual

Qual a porcentagem de aumento sofrido pelo produto neste mesmo per´ıodo

Se os pre¸cos sobem 25% ao mˆes e o seu sal´ario n˜ao se altera,

em quanto diminui por mˆes o seu poder de compra

Suponha que em certo bimestre a infla¸c˜ao foi de 5% e 4% ao mˆes,

Qual a infla¸c˜ao acumulada nesse bimestre

Um vestido ´e vendido por R$250,00 ou ent˜ao por R$80,00 de entrada,

mais uma parcela de R$178,50 ap´os 40 dias

Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento

Aula 2 : Juros Objetivos: Ao final da aula vocˆe ser´a capaz de: • Entender e definir o conceito de juros,

taxa de juros e per´ıodo de capitaliza¸c˜ao

• Entender e fazer o discernimento entre os regimes de capitaliza¸c˜ao

• Entender e resolver os problemas propostos

Introdu¸c˜ ao

´ comum no nosso dia a dia ouvirmos express˜oes como estas: E • Vou depositar meu dinheiro na poupan¸ca,

• Se eu comprar esta geladeira a prazo terei que pagar juros

mas vocˆe vai ter que pagar juros por esse empr´estimo

O assunto que estudaremos agora tratar´a exatamente do crescimento de uma certa quantia em dinheiro quando aplicada,

Defini¸ c˜ ao 2

Chamamos de JUROS a remunera¸c˜ ao recebida pela aplica¸c˜ ao de um capital,

durante determinado per´ıodo,

Quando aplicamos um capital (principal) durante um per´ıodo de tempo (n),

esperamos obter um rendimento (juro)

Ap´os este per´ıodo,

o capital (principal) se transformar´a em valor capitalizado (montante) que ser´a o capital aplicado acrescido do rendimento (juros) obtido durante o per´ıodo de aplica¸c˜ao

Defini¸ c˜ ao 2

A taxa de juros (i) ´e a raz˜ ao entre o rendimento (juros) e o capital aplicado (C)

A taxa est´ a sempre relacionada com a uma unidade de tempo (dia,

Juros Capital

A Taxa pode ser: 1

Unit´aria: Quando representar os rendimentos de uma unidade de capital durante o per´ıodo de tempo a que este se referir

Exemplo 2

significa que cada R$1,00 de capital aplicado,

rende R$0,08 de juro a cada mˆes de aplica¸c˜ ao

Porcentual: Quando representar os rendimentos de 100 unidades de capital durante o per´ıodo de tempo a que esta se referir

Exemplo 2

significa que cada R$100,00 de capital aplicado,

rende R$14,00 de juro a cada ano de aplica¸c˜ ao

Regimes de Capitaliza¸c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 2

O per´ıodo de capitaliza¸ c˜ ao ´e o per´ıodo ao fim do qual os juros s˜ ao calculados

Quando um capital ´e aplicado a uma determinada taxa por per´ıodo,

o montante pode ser calculado segundo dois crit´erios: 1

Regime de capitaliza¸c˜ao simples ´ o processo de capitaliza¸c˜ Defini¸ c˜ ao 2

E ao no qual ao final de cada per´ıodo os juros s˜ ao iguais,

e todos obtidos pelo produto do capital pela taxa unit´ aria

Exemplo 2

Calcular os juros simples obtidos e o montante de uma aplica¸ca ˜o de R$1000,00 ` a taxa de 10% ao mˆes,

Solu¸ca ˜o: Juros no 1◦ mˆes

No caso geral,

para um capital C que aplicado a juros simples durante n per´ıodos a uma taxa unit´aria i referida nesse per´ıodo,

cujo primeiro termo ´e C + i × C e a raz˜ao ´e (i × C) logo,

´e o montante M dado por: M = (C + i × C) + (n − 1) × (i × C) M = C + i × C + C × i × n − i × C = C + C × i × n =⇒ M = C(1+ i × n) 2

Regime de capitaliza¸c˜ao composta

E taliza¸ca ˜o,

os juros calculados s˜ ao incorporados ao montante do in´ıcio do per´ıodo e essa soma passa a render juros no per´ıodo seguinte

Exemplo 2

Calcular o capital acumulado (montante) de um aplica¸c˜ ao de R$1000,00 ` a taxa de 10% ao mˆes,

Solu¸ca ˜o: Juros no 1◦ mˆes

De uma maneira geral,

para um capital C que aplicado a juros compostos durante n per´ıodos a uma taxa unit´aria i referida nesse per´ıodo,

cujo primeiro termo ´e C(1 + i) e a raz˜ao ´e (1 + i) logo,

o n-´esimo termo dessa PG ´e o montante M dado por: M = C(1 + i)(1 + i)n−1 =⇒ M = C(1 + i)n

Comparando o regime de capitaliza¸c˜ao simples com o regime de capitaliza¸c˜ao composta,

verifica-se que o primeiro cresce em P

Verifica-se pelo gr´afico acima que: • para n = 1 temos Js = Jc

O fluxo de caixa de uma opera¸c˜ao ´e uma representa¸c˜ao esquem´atica muito u ´til na resolu¸c˜ao de problemas

Basicamente,

consta de um eixo horizontal onde ´e marcado o tempo a partir de um instante inicial (origem)

A unidade de tempo pode ser qualquer (ano,

As entradas de dinheiro num determinado instante s˜ao indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal,

no instante considerado e orientadas para cima

as sa´ıdas de dinheiro s˜ao indicadas da mesma forma,

s´o que orientadas para baixo

Chamamos de juros exatos aqueles calculados em rela¸c˜ao ao ano civil,

que ´e o ano de 366 ou 365 dias,

Os juros calculados sobre o ano comercial de 360 dias (mˆes de 30 dias) s˜ao chamados de juros comerciais ou ordin´ arios

Nos exemplos estudados at´e agora de juros compostos,

o tempo de aplica¸c˜ao do capital foi um n´ umero inteiro de per´ıodos de capitaliza¸c˜ao

Mas ´e poss´ıvel que em algumas situa¸c˜oes esse tempo n˜ao seja inteiro

Considere ao seguinte exemplo:

Um capital de R$10000,00 ´e aplicado ` a taxa de juros compostos de 6% ao mˆes,

Calcule o montante final deste per´ıodo

Neste exemplo,

temos 5 per´ıodos inteiros de capitaliza¸c˜ ao (5 meses) e mais 20 dias,

que n˜ ao chega a completar um per´ıodo (1 mˆes)

Nesse caso,

com rela¸c˜ ao aos 5 meses n˜ ao resta d´ uvida,

ser´ a aplicado o crit´erio da capitaliza¸c˜ ao composta obtendo-se um montante M1

Com rela¸ca ˜o aos 20 dias restantes pode-se proceder de trˆes maneiras poss´ıveis: n˜ ao incidˆencia de juros,

incidˆencia de juros simples ou incidˆencia de juros compostos sobre M1 ,

obtendo-se assim o montante final M

A ado¸c˜ ao de uma dessas hip´ oteses depender´ a exclusivamente do que for acordado entre as partes interessadas

A primeira possibilidade n˜ ao oferece nenhum interesse

Vamos nos concentrar nas outras duas possibilidades

Se for adotada a incidˆencia de juros ˜ simples sobre o per´ıodo n˜ ao inteiro,

dizemos que se adotou a CONVEC ¸ AO LINEAR

Se for adotada a incidˆencia de juros compostos sobre o per´ıodo ˜ EXPONENCIAL

dizemos que se adotou a CONVENC ¸ AO Vamos ent˜ ao,

resolver o exemplo considerado segundo as duas conven¸c˜ oes

Solu¸c˜ ao: ˜ LINEAR: 1

adotando-se a CONVEC ¸ AO Nesse caso,

o capital de R$10000,00 ser´ a capitalizado a juros compostos durante 5 meses e o montante assim adquirido ser´ a capitalizado durante 20 dias a juros simples,

ambos ` a uma taxa de 6% ao mˆes,

temos ent˜ ao que: M1 = 10000(1 + 0,06)5 = 13382,26 e portanto o montante M da aplica¸c˜ ao ser´ a dado por: ( ) 20 M = 13382,26 1 + 0,06 × = 13382,26 × 1,04 = 13917,55 30 ˜ EXPONENCIAL: 2

adotando-se a CONVEC ¸ AO Nesse caso,

o capital ser´ a capitalizado tanto no per´ıodo inteiro quanto no per´ıodo n˜ ao inteiro segundo a capitaliza¸c˜ ao composta,

` a uma taxa 20 17 de 6% ao mˆes,

o per´ıodo n ser´ a dado por n = 5 + = meses,

e 30 3 portanto o montante M ser´ a obtido de: 17

M = 10000(1 + 0,06) 3 = 10000 × 1,391233104 ≈ 13912,33 Observe que o montante ´e maior na conven¸c˜ ao linear

Isto se deve ao fato de que o juro simples ´e maior que o juro composto quando calculado num tempo menor do 1 per´ıodo de capitaliza¸c˜ ao

Um artigo de pre¸co ` a vista igual a R$700,00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias

Se o vendedor cobra juros simples de 8% ao mˆes,

qual o valor do pagamento devido

? Solu¸c˜ ao: valor a vista = 700,00

entrada de 20% de 700,00 = 140,00

valor a financiar 700,00 − 140,00 = 560,00 Tem-se ent˜ ao que C = 560,00

n = 45 dias = 1,5 mˆes e i = 8% a

portanto M = 560 × (1 + 0,08 × 1,5) = 627,20 O valor a financiar,

´e sempre a diferen¸ca entre o valor ` a vista e a entrada

Exemplo 2

Qual o juro exato de um capital de R$10000,00 que ´e aplicado por 40 dias ` a taxa de 36% ao ano

? Solu¸c˜ ao 40 C = 10000,00,

Um t´ıtulo de R$600,00,

somente foi pago em 22/06/1999

Admitindo-se que o banco cobre juros simples exatos de 60% ao ano,

calcule o montante desembolsado pelo devedor

Solu¸c˜ ao 73 C = 600,00,

Uma loja vende um gravador por R$1500,00 a vista

A prazo vende por R$1800,00,

sendo R$200,00 de entrada e o restante ap´ os um ano

Qual ´e a taxa anual de juros cobrada

? Solu¸c˜ ao O valor a ser financiado ´e o valor ` a vista menos o que ´e dado de entrada,

O cliente se compromete a pagar em um ano 1600,00,

logo o montante ´e de 1600,00,

os juros s˜ ao de 300,00 e o per´ıodo ´e de um ano,

temos ent˜ ao que: 300 1300,00 × i × 1 = 300,00 =⇒ i = = 0,2308 ao ano,

Exemplo 2

Qual o capital que aplicado ` a taxa composta de 2% ao mˆes durante um semestre gera montante igual a R$225232,40 Solu¸c˜ ao

Determinar o tempo necess´ ario para o capital de R$20000,00 gerar um montante de R$28142,00 quando aplicado ` a taxa composta de 5% ao mˆes

C = 20000,00

A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar R$40000,00 para obtermos montante igual a R$56197,12 ao fim de um trimestre

C = 40000,00

Exemplo 2

Luiza aplicou seu capital a juros simples durante 90 dias ` a taxa de 5% a

Se tivesse aplicado a juros compostos nas mesmas condi¸c˜ oes,

teria recebido R$305,00 a mais de montante

Determine o capital inicial aplicado por Luiza

Solu¸c˜ ao i = 5% ao mˆes

Juros Simples M1 = C(1 + 0,05 × 3) = 1,15C Juros Compostos M2 = C(1 + 0,05)3 = 1,157625C 305,00 M2 − M1 = 305,00 = 1,157625C − 1,15C = 0,007625C =⇒ C = 0,007625 305,00 C= = 40000,00 0,007625

Considere um empr´estimo que envolve os seguintes pagamentos: 15000,00 de hoje a 2 meses,

O devedor deseja apurar o valor presente (na data zero) desses pagamentos,

pois est´ a negociando com o banco a liquida¸c˜ ao imediata de toda a d´ıvida

A taxa de juros compostos considerada nessa antecipa¸c˜ ao ´e de 3% ao mˆes

Determine o valor atual da d´ıvida

Solu¸c˜ ao 15000 40000 50000 70000 P = + + + 2 5 6 (1,03) (1,03) (1,03) (1,03)8 P = 14138,94 + 34504,35 + 41874,21 + 55258,65 = 145776,15

Exerc´ıcios

- Aula 2

Vera comprou um aparelho e vai pag´a-lo em duas presta¸c˜oes

um mˆes ap´os a compra e a 2a ,

de dois meses ap´os a compra Sabendo-se que est˜ao sendo cobrados juros compostos de 25% ao mˆes,

qual era o pre¸co `a vista do aparelho

Dois capitais C1 e C2 que est˜ao na raz˜ao de trˆes para cinco foram aplicados a juros compostos e a juros simples,

Se a aplica¸c˜ao foi de cinco meses `a taxa de 4% ao mˆes

Determine a raz˜ao entre os montantes M1 e M2

Um capital de R$1500,00 esteve aplicado durante 2 meses,

produzindo R$315,00 de juros compostos

Qual foi a taxa efetiva mensal aplicada

Uma d´ıvida tem o seguinte esquema de pagamento: R$3900,00 venc´ıveis em trˆes meses a partir de hoje e R$11700,00 de hoje a cinco meses

O devedor prop˜oe ao credor re-financiar esta d´ıvida mediante cinco pagamentos bimestrais,

vencendo o primeiro de hoje a um mˆes

Sendo de 2,1% ao mˆes a taxa de juros da d´ıvida original e 3,0% ao mˆes a taxa a ser considerada no refinanciamento,

pede-se determinar o valor de cada pagamento bimestral

Exerc´ıcios

- Aula 2

Um vestido ´e vendido por R$250,00 ou ent˜ao por R$80,00 de entrada,

mais uma parcela de R$178,50 ap´os 40 dias

Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento

Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital de R$1500,00 a uma taxa linear de 1,4% ao dia para produzir um montante de R$1710,00

Um certo tipo de aplica¸c˜ao a juros simples duplica em dois meses

Em quanto tempo essa aplica¸c˜ao render´a 700% de juros

Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplica¸c˜oes no mercado financeiro

Para tanto,

aplica 60% do capital numa alternativa de investimento que paga 34,2% ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias

A outra parte ´e invertida numa conta de poupan¸ca por 30 dias,

sendo remunerada pela taxa linear de 3,1% ao mˆes

O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge R$1562,40

Pede-se calcular o valor de todo o capital investido

Uma pessoa deve a outra a importˆancia de R$12400,00

Para liquida¸c˜ao dessa d´ıvida,

prop˜oe os seguintes pagamentos: R$3500,00 ao final de dois meses

R$4000,00 ao final de cinco meses

R$1700,00 ao final de sete meses e o restante em um ano

Sendo de 3% ao mˆes a taxa de juros cobrada no empr´estimo,

pede-se calcular o valor do u ´ltimo pagamento

Um empr´estimo de R$42000,00 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de 7% ao mˆes

Em determinado momento o devedor resgata este empr´estimo e contrai outro no valor de R$200000,00 pagando 5% de juros simples ao mˆes por certo prazo

Ap´os dois anos de ter contra´ıdo o primeiro empr´estimo,

o devedor liquida sua divida remanescente

O total dos juros pagos nos dois empr´estimos tomados atinge R$180000,00

Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dos empr´estimos

Uma pessoa aplicou R$15000,00 e ap´os um ano recebeu R$18782,87 de juros

Qual foi a taxa de juros mensal (capitaliza¸c˜ao composta) paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado

Guilherme aplicou seu capital `a taxa de juros simples de 7% ao mˆes durante quatro meses

Se tivesse aplicado nas mesmas condi¸c˜oes no regime de capitaliza¸c˜ ao composta,

teria recebido R$615,92 a mais de montante

Qual montante auferido pelo capital de Guilherme se aplicado `a taxa composta de 2% ao mˆes em dez meses

Se eu quiser comprar um carro no valor de R$60000,00,

quando devo aplicar hoje para daqui a dois anos possua tal valor

? Considerar as seguintes taxas de aplica¸c˜ao(capitaliza¸c˜ao composta): (a) 2,5% a

O pre¸co de uma mercadoria ´e de R$2400,00 e o comprador tem um mˆes para efetuar o pagamento

Caso queira pagar `a vista,

a loja d´a um desconto de 20%

O mercado financeiro oferece rendimentos de 35% ao mˆes

Qual a melhor op¸c˜ao para o comprador: o pagamento `a vista ou a prazo

Um s´ıtio ´e posto a venda por R$50000,00 de entrada e R$100000,00 em um ano

Como op¸c˜ao o vendedor pede R$124000,00 a vista

Se a taxa de juros de mercado ´e de 2,5% ao mˆes,

Certa loja tem pol´ıtica de vendas a cr´edito exigir 30% do valor da mercadoria `a vista como entrada e o restante a ser liquidado em at´e trˆes meses

Neste caso,

o valor da mercadoria sofre um acr´escimo de 10% a t´ıtulo de despesas administrativas

Qual ´e a taxa de juros anual dessa loja

Aula 3 : Estudo das taxas Objetivos: Ao final da aula vocˆe ser´a capaz de: • Entender o conceito de taxa proporcional e taxa equivalente

• Entender o conceito de taxa nominal e taxa efetiva

• Entender o conceito de taxa real e taxa aparente

• Interpretar e resolver os problemas propostos

Taxas proporcionais

Defini¸ c˜ ao 3

As taxas i1 e i2 s˜ ao ditas proporcionais se,

relativamente i1 i2 aos per´ıodos n1 e n2 expressos na mesma unidade de tempo ocorrer = n1 n2 Exemplo 3

As taxas 72% a

pois se tomarmos meses como unidade de tempo,

teremos 72% 36% 18% = = 12 6 3

Taxas equivalentes

Defini¸ c˜ ao 3

Duas taxas s˜ ao ditas equivalentes quando,

A defini¸c˜ ao de taxas equivalentes ´e valida tanto para juros simples,

A juros simples,

duas taxas equivalentes s˜ ao tamb´em proporcionais,

isto n˜ ao acontecer´ a quanto se trata de juros compostos

Exemplo 3

Qual a taxa de juros simples mensal equivalente ` a taxa anual de 36% ao ano

Essas taxas devem produzir o mesmo montante (juros),

quando aplicadas ao mesmo capital C,

Se considerarmos um prazo de 1 ano,

12 meses,

tem-se que: C × im × 12 = C × ia × 1 =⇒ C × im × 12 = C × 0,36 × 1 im =

36% 3% = ,

as taxas s˜ ao proporcionais e equivalentes

Qual a taxa de juros compostos mensal equivalente ` a taxa de 36% ao ano

? Solu¸c˜ ao: Seja im = taxa mensal e ia = 36% ao ano (taxa anual)

Essas taxas devem produzir o mesmo montante (juros),

quando aplicadas ao mesmo capital C,

Se considerarmos um prazo de 1 ano,

12 meses,

√ C(1 + im )12 = C(1 + ia )1 =⇒ (1 + im )12 = 1,36 =⇒ (1 + im ) = 12 1,36 √ im = 12 1,36 − 1 =⇒ im = 0,0259955 ao mˆes,

Portanto 2,6% ao mˆes ´e a taxa equivalente a juros compostos ` a taxa de 36% ao ano

Observe que essas taxas n˜ ao s˜ ao proporcionais

Exemplo 3

Qual a taxa de juros compostos anual equivalente ` a taxa de 3% ao mˆes

? Solu¸c˜ ao: Seja: im = 3% ao mˆes (taxa mensal) e ia a taxa anual equivalente

Essas taxas devem produzir o mesmo montante (juros),

quando aplicadas ao mesmo capital C,

Se considerarmos um prazo de 1 ano,

12 meses,

tem-se que: C(1 + im )12 = C(1 + ia )1 =⇒ (1 + 0,03)12 = (1 + ia )1 =⇒ (1 + ia ) = (1,03)12 ia = 1,425761−1 =⇒ ia = 0,425761 ao mˆes,

Portanto 3% ao mˆes ´e a taxa equivalente a juros compostos ` a taxa de 42,5761% ao ano

Calcular a taxa anual a i de juros compostos equivalente as seguintes taxas: a)1% a

Solu¸c˜ ao: a) Seja im = 1% ao mˆes (taxa mensal) e ia a taxa anual equivalente

Como 1 ano = 12 meses,

devemos ter (1 + ia )1 = (1 + im )12 (1 + ia )1 = (1,01)12 =⇒ ia = 12,6825% ao ano

b) Seja it = 2% ao mˆes (taxa trimestral) e ia a taxa anual equivalente

Como 1 ano = 4 trimestres,

devemos ter (1 + ia )1 = (1 + it )4 (1 + ia )1 = (1,02)4 =⇒ ia = 8,2432% ao ano

c) Seja iq = 5% ao mˆes (taxa quadrimestral) e ia a taxa anual equivalente

Como 1 ano = 3 quadrimestres,

devemos ter (1 + ia )1 = (1 + iq )3 (1 + ia )1 = (1,05)3 =⇒ ia = 15,7625% ao ano

d) Seja is = 10% ao mˆes (taxa semestral) e ia a taxa anual equivalente

Como 1 ano = 2 semestres,

devemos ter (1 + ia )1 = (1 + is )2 (1 + ia )1 = (1,10)2 =⇒ ia = 21,0% ao ano

Exemplo 3

Calcular as taxas equivalentes a 20% a

taxa mensal Solu¸c˜ ao: a) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e is a taxa semestral equivalente

Como 1 ano = 2 semestres,

tem-se ent˜ ao que (1 + is )2 = (1 + ia ) √ 2 (1 + is ) = (1,20) =⇒ (1 + is ) = 1,20 is = 9,5445% ao semestre

b) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e iq a taxa quadrimestral equivalente

Como 1 ano = 3 quadrimestres,

tem-se ent˜ ao que (1 + iq )3 = (1 + ia ) √ 3 (1 + iq ) = (1,20) =⇒ (1 + iq ) = 3 1,20 iq = 6,2659% ao quadrimestre

c) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e it a taxa trimestral equivalente

Como 1 ano = 4 trimestres,

tem-se ent˜ ao que (1 + it )4 = (1 + ia ) √ 4 4 (1 + it ) = (1,20) =⇒ (1 + it ) = 1,20 it = 4,6635% ao trimestre

d) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e im a taxa mensal equivalente

tem-se ent˜ ao que (1 + i12 m = (1 + ia ) √ 12 12 (1 + im ) = (1,20) =⇒ (1 + im ) = 1,20 im = 1,5309% ao trimestre

Exemplo 3

Um corretor de t´ıtulos prop˜ oe a seu cliente uma aplica¸c˜ ao cuja rentabilidade ´e de 40% a

Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% a

? Solu¸c˜ ao: Podemos comparar as duas alternativas,

verificando se suas taxas s˜ ao equivalentes

Pode-se calcular por exemplo a taxa anual equivalente a 9% a

como 1 ano = 4 trimestres tem se que: (1 + ia )1 = (1 + 0,09)4 = 1,411582 =⇒ ia = 0,411582 a

Portanto,

´e melhor do que aplicar a 40% a

Exemplo 3

O pre¸co de uma mercadoria ´e de R$2000,00,

sendo financiada at´e 3 meses

Caso opte por pagar a vista,

a loja oferece um desconto de 10%

Sabendo-se que a taxa de mercado ´e de 40% a

? Solu¸c˜ ao: O pre¸co da mercadoria a vista ´e de R$1800,00,

Devemos calcular a taxa a que est´ a sendo cobrada na opera¸c˜ ao

Tem-se ent˜ ao que: √ 3

Como 1 ano = 12 meses,

taxa anual ia equivalente a esta taxa mensal de 3,57% ser´ a dada por: (1 + ia )1 = (1 + 0,035744)12 =⇒ ia = 1,52338 − 1 = 0,52338 ao ano ou ia = 52,338% ao ano,

logo a taxa de financiamento da loja ´e maior do que a taxa de juros do mercado

Taxa nominal e Taxa efetiva

Defini¸ c˜ ao 3

Taxa Nominal ´e aquela que est´ a definida em per´ıodo de tempo diferente do per´ıodo de capitaliza¸ca ˜o

Exemplo 3

Taxas nominais: 8% a

Defini¸ c˜ ao 3

Taxa Efetiva ´e aquela utilizada no c´ alculo dos juros

˜ OBSERVAC ¸ AO: O mercado financeiro adota a conven¸c˜ao de que a taxa efetiva por per´ıodo de capitaliza¸c˜ao ´e proporcional `a taxa nominal

Exemplo 3

taxa nominal de 60% ao ano com capitaliza¸c˜ ao mensal

a taxa efetiva mensal ser´ a de = 5% ao 12 mˆes

Exemplo 3

taxa nominal de 60% ao ano com capitaliza¸c˜ ao bimestral

a taxa efetiva mensal ser´ a de = 10% 6 ao bimestre

Exemplo 3

taxa nominal de 60% ao ano com capitaliza¸c˜ ao trimestral

a taxa efetiva mensal ser´ a de = 15% 4 ao trimestre

Exemplo 3

Se aplicarmos R$10000,00 ` a taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente,

qual o montante obtido ano final do ano

? Solu¸c˜ ao: A taxa dada ´e anual mas a capitaliza¸c˜ ao ´e mensal,

portanto essa taxa ´e nominal e como 1 ano = 12 meses,

temos que a taxa mensal efetiva da 36% opera¸c˜ ao ser´ a dada por i = = 3% ao mˆes

Portanto o montante M 12 ser´ a obtido por M = 10000(1+0,03)12 = 10000×1,42576 =⇒ M = 14257,60 Observa¸ c˜ ao: A taxa efetiva da opera¸c˜ao em que a unidade de referˆencia ´e a mesma da taxa nominal ser´a maior do que esta

No exemplo,

a taxa efetiva anual a ia ser´a a taxa equivalente a taxa efetiva mensal de 3%,

portanto temos que (1 + ia ) = (1 + 0,03)12 logo: ia = 1,42576 − 1 = 0,42576 ao ano ou ia = 42,576% ao mˆes

Taxa de Juros Real × Taxa de Juros Aparente

Se um capital C ´e aplicado durante um certo per´ıodo,

o capital acumulado ser´a M1 = C(1 + i)

Se no mesmo per´ıodo a taxa de infla¸c˜ao for θ,

o capital corrigido pela infla¸c˜ao ser´a M2 = C(1 + θ)

Se M1 > M2 ,

Chama-se valor real `a diferen¸ca (M1 − M2 ),

que poder´a ser positiva (ganho real),

Defini¸ c˜ ao 3

Chama-se taxa real de juros (e indica-se por r) ao valor real expresso como porcentagem do capital corrigido monetariamente

Assim: M1 − M2 M1 C(1 + i) 1+i r= = − 1 =⇒ 1 + r = =⇒ 1 + r = M2 M2 C(1 + θ) 1+θ em que: i = taxa de aplica¸c˜ ao ou taxa aparente,

θ = taxa de infla¸c˜ ao e r = taxa real

Exemplo 3

Que taxa de infla¸c˜ ao anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 5% a

caso a taxa aparente seja de 9,2% a

? Solu¸c˜ ao: 1+i Temos que: i = 9,2% a

Como 1 + r = 1+θ 1,092 1,092 1,05 = =⇒ 1 + θ = = 1,04 1+θ 1,05 θ = 4% a

Exemplo 3

Um capital de R$1000,00 foi aplicado por 3 anos,

` a taxa de 10% ao ano com capitaliza¸c˜ ao semestral

Calcular o montante e a taxa efetiva anual da opera¸c˜ ao

Solu¸c˜ ao: A taxa dada ´e anual mas a capitaliza¸c˜ ao ´e semestral,

portanto essa taxa ´e nominal e como 1 ano = 2 semestres,

temos que a taxa mensal efetiva da 10% = 5% a

Por outro lado,

logo o montante M ser´ a dado por: 6 M = 1000(1 + 0,05) = 1000 × 1,43010,

M = 1340,10 A taxa efetiva anual ia ´e dada por (1 + ia )1 = (1 + 0,05)2 ,

portanto: ia = 1,10250 − 1 = 0,10250 ou ia = 10,25% ao ano

Exemplo 3

Calcular a taxa aparente anual que deve cobrar uma financeira para que ganhe 8% a

de juros reais sabendo-se que a taxa de infla¸c˜ ao foi de 40% a

Solu¸c˜ ao:

34 1+i ,

em que i = taxa de aplica¸c˜ ao ou taxa aparente

θ = taxa de 1+θ infla¸c˜ ao

Nesse caso,

θ = 40% a

Exerc´ıcios

- Aula 3

Em juros simples,

qual ´e a taxa trimestral equivalente `a taxa de 9% ao quadrimestre

Uma empresa aplica R$20000,00 `a taxa de juros compostos de 20% a

Qual a taxa que mais se aproxima da taxa proporcional bimestral dessa opera¸c˜ao

Jo˜ao investiu R$5000,00 em t´ıtulos de um banco pelo prazo de 1 ano,

tendo sido fixado o valor de resgate em R$7200,00 quando do vencimento da aplica¸c˜ao

Entretanto,

descontou o t´ıtulo 3 meses antes do vencimento,

recebendo a quantia l´ıquida de R$6400,00

Que taxa real Jo˜ao recebeu,

se a infla¸c˜ao mensal nos primeiros nove meses tiver sido de 2,5%

Qual o valor que dever ser investido hoje,

para que se obtenha um montante de R$242,00,

a taxa de juros de 40% ao ano,

Qual ´e a taxa nominal anual,

com capitaliza¸c˜oes semestral,

que conduz `a taxa efetiva de 40% ao ano

Se a infla¸c˜ao prevista pra um ano for de 6% no primeiro quadrimestre,

qual ser´a a taxa nominal para: (a) o primeiro quadrimestre

? (d) considerando os dados acima,

qual ´e a taxa nominal equivalente mensal para os doze meses

Exerc´ıcios

- Aula 3

Qual a taxa anual equivalente a taxa nominal anual de 20% capitalizados semestralmente

Uma financeira ganha 12% a

de juros reais em cada financiamento

Supondo que a infla¸c˜ao anual seja 40%,

qual a taxa de juros nominal anual que a financeira dever´a cobrar

Uma pessoa comprou um casa por R$80000,00 e vendeu-a,

De quanto deve ser a infla¸c˜ao mensal para que o investidor ganhe 10% a

Uma loja anuncia a venda de um conjunto de som por 3 parcelas quadrimestrais seq¨ uenciais de R$3000,00,

R$4000,

Qual deve ser o pre¸co a vista se a taxa de juros real for de 2% a

e a infla¸c˜ao for de 8% no primeiro quadrimestre,

A taxa de juros cobrada pelo Banco A ´e de 30% ao ano,

sendo sua capitaliza¸c˜ao anual

O Banco B,

informa que sua taxa ´e de 27% ao ano,

tendo como algo a diferenci´a-la apenas o fato de sua capitaliza¸c˜ao ser mensal

Qual ´e a melhor taxa para o cliente

Que taxa de infla¸c˜ao anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais,

caso a taxa de juros aparente seja de 45% ao ano

O pre¸co a vista de um carro ´e de R$20000,00

A agˆencia o vende por R$5000,00 de entrada e o restante ap´os seis meses,

a juros efetivos de 12% ao ano mais a corre¸c˜ao monet´aria

Sabendo-se que a corre¸c˜ao do primeiro trimestre do financiamento foi de 6% e a do segundo trimestre foi de 10%,

qual o valor pago ao fim dos seis meses

Quanto deve ser aplicado em caderneta de poupan¸ca em primeiro de janeiro para que se tenha R$100000,00 no dia primeiro de janeiro (um ano depois da aplica¸c˜ao)

? Considerar a taxa de 6% ao ano mais corre¸c˜ao monet´aria,

conforme hip´oteses abaixo: primeiro trimestre

Um terreno ´e posto a venda por R$50000,00 `a vista ou por R$57500,00 `a prazo,

sendo que nesse segundo caso o comprador dever´a dar R$20000,00 de entrada e o restante em 1 ano

Se a taxa de infla¸c˜ao prevista for de 25% a

qual ser´a a taxa de juros real recebida pelo vendedor

Aula 4 : Desconto na capitaliza¸c˜ ao simples Objetivos: Ao final da aula vocˆe ser´a capaz de: • Entender o conceito de desconto

• Entender de valor nominal,

valor atual e prazo de antecipa¸c˜ao de um t´ıtulo

• Entender os conceitos envolvendo o desconto “por dentro” ou racional e o desconto “por fora” ou comercial

Introdu¸c˜ ao

Quando uma pessoa f´ısica ou jur´ıdica toma uma quantia emprestada,

assume uma d´ıvida que dever´a ser paga no futuro

Para que esse compromisso seja firmado,

com o qual pode provar publicamente que ´e a pessoa que deve receber aquela quantia em determinada data

Os t´ıtulos mais usados em empr´estimos s˜ao a nota promiss´oria e a duplicata

A nota promiss´oria ´e um t´ıtulo de cr´edito que corresponde `a uma promessa de um pagamento futuro,

ela e muito usada entre pessoas f´ısicas

A duplicata ´e um t´ıtulo emitido por uma pessoa jur´ıdica contra o seu cliente (pessoa f´ısica ou jur´ıdica) para qual vende mercadoria a prazo ou prestou servi¸cos que ser˜ao pagos no futuro

Valor nominal,

valor atual e prazo de antecipa¸c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 4

O valor nominal (valor de face) de um compromisso ´e quanto ele vale na data do seu vencimento,

enquanto que valor atual (valor descontado ou valor l´ıquido ou ainda valor pago) ´e um valor que ele adquire numa data que antecede ao seu vencimento

O intervalo de tempo entre a data em que o t´ıtulo ´e negociado e a data de vencimento do mesmo e o prazo de antecipa¸c˜ao

Desconto

´ a diferen¸ca entre o valor nominal de um t´ıtulo e seu Defini¸ c˜ ao 4

E valor atual

Desconto,

pode ser definido como o abatimento a que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um t´ıtulo

Desconto por dentro (racional ou real)

´ o desconto dr que determina um valor atual A que,

Defini¸ c˜ ao 4

E corrigido nas condi¸c˜ oes de mercado (taxa,

prazo de antecipa¸c˜ ao e capitaliza¸c˜ ao),

tem para montante o valor nominal N

Ou seja,

dr s˜ ao os juros que s˜ ao incorporados ao capital A para reproduzir N

No Desconto “por dentro”,

ou desconto racional o valor de referencia para o c´ alculo porcentual do desconto ´e o valor atual ou l´ıquido

Desconto “por fora” ou comercial

Defini¸ c˜ ao 4

O desconto por fora ou comercial dc ´e o juro calculado sobre o valor nominal A,

` a uma taxa chamada taxa de desconto,

durante o tempo que decorre da data da transa¸c˜ ao at´e a data de vencimento do t´ıtulo

No desconto “por fora” ou comercial,

a referˆencia para o c´ alculo porcentual do desconto,

´e o valor nominal N

Desconto na capitaliza¸c˜ ao simples

Desconto “por dentro” racional ou real:

temos ent˜ao que o desconto dr ser´a dado por dr = A × i × n e como A = N −dr =⇒ A = N −A×i×n =⇒ N = A+A×i×n =⇒ N = A(1+i×n) 2

Desconto “por fora” comercial ou banc´ario: Nesse caso sabe-se que a base do desconto ´e valor nominal N considerando a taxa i e o prazo de antecipa¸c˜ao n,

temos ent˜ao que o desconto dc ser´a dado por dc = N × i × n e como dc = N ×i×n =⇒ A = N −dc =⇒ A = N −N ×i×n =⇒ A = N (1−i×n) Exemplo 4

Um t´ıtulo com valor nominal de R$8800,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento,

sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples ` a taxa 60% a

Nesse caso,

qual foi o valor pago pelo t´ıtulo

? Solu¸c˜ ao: 8800 = Como N = A(1 + i × n) tem-se que 8800 = A(1 + 0,60 × 2) =⇒ A = 2,2 4000 Exemplo 4

Um t´ıtulo,

ao ser descontado racionalmente 45 dias antes do vencimento,

teve valor atual igual a R$2500,00

Qual o valor de face desse t´ıtulo

Como N = A(1 + i × n),

= 30 N = 2500(1 + 0,002 × 45) = 2500 × 1,09 = 2725,00 Exemplo 4

Qual o desconto racional simples sofrido por um t´ıtulo de R$6715,60 descontado a 24% ao ano em um mˆes e quinze dias

Um valor nominal igual a R$2400,00 sofre um desconto comercial simples ` a taxa de 6% ao mˆes,

cem dias antes do seu vencimento

Obter o desconto e o valor descontado

Como dc = N × i × n,

tem-se ent˜ ao que dc = 2400 × 0,002 × 100 = 480,00

Por outro lado,

logo A = 2400,00 − 480,00 = 1920,00 Observa¸ c˜ ao: Do ponto de vista da institui¸c˜ao financeira,

na opera¸c˜ao de desconto comercial simples,

ela antecipou o pagamento do t´ıtulo mediante um desconto,

para recebˆe-lo no vencimento o seu valor de face

Logo nessa opera¸c˜ao est´a embutida uma taxa de juros,

taxa essa que ´e maior do que a taxa de desconto

Essa taxa ´e dita a taxa efetiva de ganho dc da institui¸c˜ao,

e ela pode ser determinada atrav´es da raz˜ao A 480 No exemplo anterior,

a taxa linear efetiva de ganho ´e dada por = 0,25,

Pode-se tamb´em determinar essa taxa,

lembrando que a institui¸c˜ao financeira aplicou 1920,00 em 100 dias e recebeu um montante de 2400,00 portanto a taxa linear i dessa opera¸c˜ao ser´a dada por 2400 = 1920(1 + i × 100) =⇒ 100i = 0,25 = 0,25% ao dia ou ainda i = 7,5% ao mˆes

Exemplo 4

Determinar o valor nominal de um t´ıtulo que,

descontado comercialmente sessenta dias antes do vencimento ` a taxa linear de 12% ao mˆes,

resultou um valor descontado de R$608,00

Solu¸c˜ ao: A = 608,00

Sabemos que no desconto comercial simples A = N (1 − i × n),

temos ent˜ ao que 608 = N (1 − 2 × 608 0,12) =⇒ N = = 800,00 0,76 Exemplo 4

Uma duplicata de valor nominal de R$60000,00 ´e descontada num banco dois meses antes do vencimento

Sendo de 2,8% ao mˆes a taxa de desconto comercial simples usada na opera¸c˜ ao,

calcular o desconto e o valor descontado

Sabe-se ainda que o banco cobra um taxa de 1,5% sobre o valor nominal do t´ıtulo,

descontados e pagos integralmente no momento da libera¸c˜ ao dos recursos,

Solu¸c˜ ao: Tem-se que dc = 60000 × 0,028 × 2 = 3360

Por outro lado,

tem-se que 60000 × 0,015 = 900,00

Logo o desconto efetivo ´e de 3360,00 + 900,00 = 4260,00 e portanto o valor atual ´e A = 60000,00 − 4260,00 = 55740,00 Exemplo 4

Uma nota promiss´ oria foi descontada comercialmente a uma taxa linear de 5% ao mˆes,

quinze meses antes do seu vencimento

qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor

? Solu¸c˜ ao: Podemos supor sem perda de generalidade que N = 100,00

dc = 100 × 0,05 × 15 = 75,00

Fazendo dc = dr ,

o desconto comercial simples dc ´e maior que o desconto racional simples dr ,

em que i ´e a taxa de desconto e n o prazo de antecipa¸c˜ao

De fato: Sabe-se que dc = N × i × n,

por outro lado dr = N − A = N N ×i×n N− = 1+i×n 1+i×n N ×i×n dc dr = = =⇒ dc = dr (1 + i × n) 1+i×n 1+i×n Exemplo 4

O desconto comercial simples de um t´ıtulo descontado trˆes meses antes de seu vencimento ` a taxa de 40% ao ano ´e de R$550,00

Qual ´e o desconto racional