PDF- -Matemática Financeira - CRC-CE - Cálculo Financeiro e Contabilidade

Description

Instituto Superior de Engenharia do Porto SECÇÃO DE ORGANIZAÇÃO E GESTÃO

CÁLCULO FINANCEIRO E CONTABILIDADE

ANO LECTIVO : 2005/2006

DOCENTE RESPONSÁVEL : ROLANDO RODRIGUES 1 CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA ANO : 2º

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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SUMÁRIO i)

Objectivos e metodologias

Programa Geral

Bibliografia recomendada

Planificação das aulas

Apontamentos de Cálculo Financeiro

Exercícios de Cálculo Financeiro

Apontamentos de Contabilidade

Exercícios de Contabilidade

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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OBJECTIVOS E METODOLOGIAS 1-ENQUADRAMENTO De forma resumida,

nos pontos seguintes descrevem-se,

os objectivos da disciplina e as metodologias para os atingir no final do semestre lectivo

dar a conhecer os seus resultados e evolução

tanto ao nível da sua concepção,

como da sua articulação e funcionamento

nas suas diferentes fases de processamento,

desde a abertura até ao encerramento das contas,

de modo a possibilitar a assimilação do conteúdo e significado das mesmas

nomeadamente nas aplicações comuns e na avaliação de aplicações alternativas ou situações comparadas

ler e interpretar as peças contabilísticas fundamentais e apreender as interligações mais relevantes entre as mesmas

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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explanação das matérias e enquadramento temático dos assuntos em articulação Com as aplicações desenvolvidas nas aulas práticas

resolução nas aulas e trabalhos curriculares Dar-se-à prioridade ao debate em pequenos grupos e ao confronto das soluções ou ideias força avançadas pelos alunos

Far-se-à também apelo aos trabalhos individuais ou de grupo sobre temas a seleccionar e a serem posteriormente objecto de debate em sala

Procurar-se-à ainda,

diversificar os suportes técnicos de aprendizagem,

de acordo com as possibilidades de meios existentes

serão distribuídos aos alunos trabalhos específicos para desenvolvimento em grupo,

com indicação de prazos para a sua apresentação e debate em sala

Em princípio,

cada grupo de trabalho deverá elaborar dois (2) trabalhos desta natureza no decurso do semestre,

obedecendo ao conteúdo e objectivos previamente definidos e serão elaborados e apresentados em conformidade com o modelo de relatório publicado

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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PROGRAMA GERAL

I- NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 1- Conceitos Básicos 1

Tempo e Juro 1

II- CONTABILIDADE E ORGANIZAÇÃO DE EMPRESAS 1- A Contabilidade com sistema de informação 1

conteúdo e suportes da informação contabilistica 1

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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A normalização contabilistica e o Plano Oficial de Contabilidade 3

– Plano Oficial de Contabilidade 3

Provisões) 4

Acréscimos e Diferimentos,

Provisões) 4

Valorimetria,

Descontos e Abatimentos,

Adiantamentos,

Regularizações,

Provisões ) 4

Amortizações e Reintegrações,

Provisões ) 4

Reservas e Resultados Transitados (Reservas de Reavaliação,

Resultados Transitados)

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BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Para além dos apontamentos distribuidos,

recomenda-se a consulta da bibliografia pela ordem indicada I

Edição Por António Borges,

Azevedo Rodrigues e Rogério Rodrigues AREAS EDITORA,

Edição,

Edição A

Morgado

Moreira e H

Isidro ÀREAS EDITORA,

Tradução para Português Lerner Joel L

Cashin JamesA

McGraw-Hill,

– PLANO OFICIAL DE CONTABILIDADE ( simples ou anotado)

II – CÁLCULO FINANCEIRO A)- ELEMENTOS DE CÁLCULO FINANCEIRO,

Edição ( livros de texto e de exercícios) Por Azevedo Rodrigues e Isabel Nicolau EDITORA REI DOS LIVROS,

Rogério Matias ESCOLAR EDITORA,

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PLANIFICAÇÃO DAS AULAS I- AULAS TEÓRICAS Semanas

Aula : Apresentação,

Metodologia,

Avaliação,

Bibliografia Definição e características de uma operação financeira : noção de Capital ,

Tempo e Juro 2ª

Aula Juro e Taxa de juro

Capitalização e Actualização Regimes de Juro : Regime de Juro Simples : Formula geral de Capitalização

Desconto Regime de Juro Composto: Capitalização e Actualização

Desconto 3ª

Aula Equivalência de Valores : Equivalência de Capitais: Equação do valor,

Capital Único,

Vencimento médio : Equivalência de Taxas : Taxas de juro nominais e taxas efectivas

Taxas de juro equivalentes e taxas proporcionais 4ª

Aula Rendas

Noção e classificação

Valor actual e valor acumulado de uma renda Rendas inteiras de termos constantes : imediatas e finitas (post cipadas e antecipadas) diferidas

infinitas Rendas fraccionados 5ª

Aula Reembolso de Empréstimos :Tipos de Empréstimos

Modalidades de Reembolso Reembolso de Empréstimos em Regime de Juro Simples 6ª

Aula Reembolso de Empréstimos em regime de juro Composto 7ª

Aula Noção de Empresa e dos fluxos associados à actividade da empresa

fluxos reais ou económicos e fluxos financeiros ou monetários 8ª

Aula A informação contabilística e os documentos suporte das operações que ocorrem no seio da empresa e nas suas relações com o exterior : O Contrato de Compra e Venda como base das transacções comerciais

O preço e os prazos de pagamento

Os descontos de preço e de pagamento

Tipos de documentos

suas características e exigências fiscais 9ª

Aula A contabilidade e as suas divisões

os requisitos da informação contabilistica O Património

noção e tipos de Património Composição e valor do Património Inventário : Massas Patrimoniais e sub-massas Patrimoniais

Sua classificação Valor do Património 10ª

Aula Variações patrimoniais

Factos e fenómenos patrimoniais

sua classificação O Balanço

Equação do Balanço Equação fundamental da Contabilidade

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Aula A Conta

tipos de contas e suas características Métodos de registo contabilistico Lançamentos contabilisticos

Aula Livros de registo da informação contabilistica Os livros Selados : o Diário e o Razão Sistemas contabilisticos 13ª

Aula Normalização Contabilistica : significado,

vantagens e limitações O “P

” – Plano Oficial de Contabilidade Quadro de Contas Código de Contas 14ª

Aula A distinção entre contas de Balanço e Contas de Resultados ou de Gestão As contas de Redução de Valores Activos e de Acréscimos e Diferimentos

A distinção entre Existências e Imobilizado 15ª

Aula A Valorimetria das Existências

Critérios Valorimétricos A Amortização do Imobilizado

Métodos e Técnicas de Amortização 16ª

Aula O Imposto sobre o Valor Acrescentado (IVA) A distinção entre imposto dedutível e não dedutível 17ª

Estudo das Contas : Contas de Balanço : Disponibilidades : Valorimetria,

Provisões

Terceiros : IVA 18ª

Aula Estudo das Contas : Contas de Balanço ( Cont

) : Terceiros : Acréscimos e Diferimentos,

Provisões 19ª

Aula Estudo das Contas : Contas de Balanço ( Cont

) : Existências : Sistemas de Inventário,

Valorimetria,

Descontos e Abatimentos,

Adiantamentos,

Regularizações,

Provisões 20ª

Aula Estudo das Contas : Contas de Balanço ( Cont

) : Imobilizações : Valorimetria,

Amortizações e Reintegrações,

Abatimentos de Imobilizado,

Grandes Reparações,

Provisões 21ª

Aula Estudo das Contas : Contas de Balanço ( Cont

Reservas e Resultados Transitados Estudo das Contas : Contas de Resultados : Custos e Perdas 22ª

Aula Estudo das Contas : Contas de Resultados ( Cont

Resultados Estudo das Contas: Outras Contas 23ª

Aula Operações de fim de Exercício : Enquadramento e significado

Lançamentos de Regularização de Contas Balancete Rectificado Princípios Contabilisticos 24ª

Aula Operações de fim de Exercício ( Cont

) : Lançamentos de Apuramento de Resultados Encerramento das Contas das Classes 6 e 7 Balancete Final ou de Encerramento 25ª

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

Instituto Superior de Engenharia do Porto SECÇÃO DE ORGANIZAÇÃO E GESTÃO Operações de fim de Exercício ( Cont

) : Balanço e Demonstração de Resultados Outras Demonstrações

Aula Operações de fim de Exercício (Cont

) : Encerramento das Contas Reabertura das Contas Aplicações de Resultados

Aula Articulação da Matemática Financeira com a Contabilidade 28ª

Aula Revisões gerais

1 h 50 min

Aula Apresentação

Metodologias

Avaliação Exercício simples de introdução ao cálculo financeiro 2ª

Aula Formulas gerais de capitalização e de actualização em regime de juro simples e em regime de juro composto

Aula Formulas derivadas das formulas gerais de capitalização e de actualização em regime de juro simples e em regime de juro composto

Lançamento TP nº

Aula Exercícios sobre equivalência de capitais

Equação do valor

Capital único e vencimento médio

Taxas de juro nominais e efectivas

Equivalência de taxas

Taxas proporcionais 5ª

Aula Exercícios sobre rendas : rendas inteiras,

imediatas e de termos constantes 6ª

Aula Exercícios sobre rendas : rendas inteiras,

diferidas e de termos constantes 7ª

Aula Exercícios sobre rendas : rendas fraccionadas

Aula Exercícios sobre amortização/reembolso de empréstimos

Em regime de juro simples e em regime de juro composto

Cálculo dos juros e das amortizações de capital 9ª

Aula Exercícios sobre amortização/reembolso de empréstimos em regime de juro composto,

com prestações constantes de capital e juro

Elaboração de mapas de reembolso 10ª

Aula Exercícios sobre amortização/reembolso de empréstimos em regime de juro composto,

com prestações constantes de capital e juro

Elaboração de mapas de reembolso

Aula Exercícios sobre amortização/reembolso de empréstimos em regime de juro composto,

com prestações constantes de capital

Elaboração de mapas de reembolso

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Recolha TP nº

Aula Exercício:- Património e sua representação através do Inventário

agregação dos elementos patrimoniais em massas homogéneas,

Apresentação e enquadramento

Aula Exercício :- Cont

: Diferentes tipos de Inventário,

sua classificação e valorização

Aula Exercício

- Concl

: Elaboração do balanço simples : activo,

passivo e valor do património

Apuramento de Resultados pela diferença do Capital Próprio

Aula Exercício :- Classificação dos factos patrimoniais e seu registo em dispositivos gráficos apropriados –Lançamentos

Apresentação e debate genérico do tema

Lançamento TP nº

Aula Exercício :- Cont

: Classificação e registo digráfico dos factos patrimoniais

Lançamentos de factos patrimoniais no Razão Geral

Balancete de Verificação 17ª

Aula Exercício :- Apuramento dos resultados pela diferença entre custos e proveitos

Comparação com o método anterior 18ª

Aula Exercício :- Lançamentos de factos patrimoniais no Razão Geral

Balancete de Verificação

Apuramento da margem de lucro : sobre o preço de custo/ sobre o preço de venda 19ª

Aula Exercício :- Regimes de inventário de existências

Suas implicações nos registos contabilísticos e no apuramento das margens de venda

Caso particular do inventário permanente: critérios valorimétricos e movimentação das existências

Apresentação,

Aula Exercício :- Elaboração de fichas de existências e sua articulação com a movimentação das contas

O Inventário Intermitente

suas implicações no processamento contabilistico 21ª

Aula Exercicio:- Lançamentos de factos patrimoniais nos Razões Auxiliares

Agregação de subcontas em contas gerais

Balancetes sectoriais e Balancetes gerais 22ª

Aula Exercício:- Contabilização das Amortizações do Imobilizado

Contabilização das Provisões 23ª

Aula Exercício:- Contabilização dos encargos com Pessoal Exercício:- Contabilização dos movimentos de Capitais

Tratamento das Reservas 24ª

Aula Exercício:

Apresentação,

debate e esquematização da metodologia de resolução

Recolha TP nº

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Aula Exercício

Contabilização das operações de rectificação e elaboração do Balancete rectificado

Operações de Apuramento

Aula Exercício :- Operações de fim de exercício : Rectificação e regularização de contas,

transferência de saldos das contas de custos e proveitos para as contas de resultados e seu encerramento

Encerramento das contas e elaboração das demonstrações económico-financeiras

Apresentação,

discussão e formulação da metodologia de resolução

Aula Exercício:

Articulação com o Balancete Final e o Balanço

Apresentações/Revisões 28ª

Aula Exercício: – Reabertura das contas

Casos particulares de Resultados Transitados e Acréscimos e Diferimentos Apresentações/Revisões

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I APONTAMENTOS DE CÁLCULO FINANCEIRO

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CÁLCULO FINANCEIRO ÍNDICE 1

Regras Básicas do Cálculo ou Matemática Financeira 2

Operações de Capitalização e Actualização 2

Equivalência de Valores 3

Rendas 4

imediatas ou diferidas e inteiras 4

imediatas ou diferidas e fraccionadas 4

Reembolso de Empréstimos 5

Negociação de taxas de juro diferentes ao longo da vida do empréstimo 5

O empréstimo é estabelecido na base de uma taxa de juro,

ajustável às variações do mercado

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Regras Básicas do Cálculo ou da Matemática Financeira O Capital é um factor de produção,

a par do trabalho e dos recursos naturais e como tal,

a sua utilização tem de ser remunerada

A remuneração do Capital Financeiro é o juro

A Matemática ou o Cálculo Financeira(o),

constitui um segmento ou ramo da Matemática Aplicada que tem por objecto o Capital Financeiro e a análise intertemporal do seu valor

os três elementos básicos da Matemática Financeira,

são: Capital,

Tempo e Juro Tal como para os restantes factores de produção,

o valor da remuneração vai depender de um padrão,

que é o rendimento (ou custo) de uma unidade de capital durante uma unidade de tempo

Por questões de simplicidade de tratamento,

convencionou-se exprimir aquele valor em termos percentuais,

se a remuneração de € 1,00 no período de um ano(sendo esta a unidade de tempo) é de € 0,048,

que designamoss por taxa de juro e,

dizemos que a taxa de juro é de 0,048*100/100== 4,8%

frequentemente o início ou o fim do período de capitalização (o período de capitalização ou período de formação dos juros é um período de tempo,

habitualmente de duração constante ao longo de um processo de capitalização,

durante o qual um capital está sob os efeitos de uma taxa de juro)

mas que só está disponível no momento do seu vencimento (habitualmente o fim do período de capitalização)

Tal como para os restantes factores de produção,

o valor da remuneração vai depender de um padrão,

que é o rendimento (ou custo) de uma unidade de capital durante uma unidade de tempo,

que se convencionou designar por taxa de juro

para cada período de capitalização,

habitualmente expressa na forma percentual

Por questões de simplicidade de tratamento,

convencionou-se exprimir aquele valor em termos percentuais,

se a remuneração de € 1,00 no período de um ano(sendo esta a unidade de tempo) é de € 0,048,

dizemos que a taxa de juro é de 0,048*100/100== 4,8%

Desde sempre uma dessas práticas mais comuns é a do cálculo do juro,

como sendo o produto de um capital por uma taxa

Ao processo de transformação,

de capital em capital mais juro,

chama-se “capitalização”

As variáveis envolvidas neste processo são,

Hà três princípios ou regras,

que gerem as relações entre estas variáveis e que são os seguintes:

Se há capital e tempo,

O juro zero pode ocorrer se e só se o capital for zero e/ou o prazo for zero

Dados dois capitais quaisquer C e C’,

subtrair ou estabelecer uma 15 CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA ANO : 2º

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relação de grandeza entre eles (C>C’ ou C’>C ou C=C’) se e só se eles estiverem referidos ao mesmo momento

É pois incorrecto afirmar que 100 euros recebidos hoje mais 100 euros recebidos daqui a um mês são 200 euros

Ck-1 o capital no início do mesmo período,

no momento k-1 e ik a taxa de juro em vigor no mesmo período,

será: Jk= ik*Ck-1 (k=1,2,3,…) Temos pois que,

qualquer capital aplicado durante um determinado período de tempo (período de capitalização),

gera uma remuneração (juro),

que é o produto desse capital pela taxa de juro em vigor nesse período

Todas as operações envolvendo capitais devem observar estes princípios

Práticas correntes como o empréstimo de dinheiro sem juros,

comum entre amigos ou familiares,

são considerados um erro e uma impossibilidade em termos de matemática financeira

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Operações de Capitalização e Actualização A aplicação de um capital (capital inicial) durante um determinado período de tempo,

a uma determinada taxa de juro,

resulta num determinado rendimento (juro)

Ao fim desse período de tempo,

o capital inicial transforma-se num montante capitalizado (capital inicial mais rendimento)

À operação que consiste em adicionar o juro do período ao capital inicial chama-se operação de capitalização

Um processo de capitalização decorre ao longo de n (n>0) períodos de capitalização,

podendo a taxa de juro em vigor para cada um desses períodos ser fixa ou variável

O estudo dos processo de capitalização permite-nos,

quanto vai valer num momento futuro (capital acumulado),

um capital colocado em capitalização num momento anterior

A actualização ou desconto é o processo de cálculo inverso à capitalização,

quanto vale num momento anterior um capital vencível num momento posterior

deixando por isso de ser objecto da nossa atenção) e o regime de capitalização composta (situação em que os juros são totalmente recapitalizados,

são adicionados ao capital no momento do seu vencimento)

No regime de juros simples o stock (quantidade) de capital (também designado por capital acumulado) mantém-se constante,

de período de capitalização para período de capitalização: os capitais iniciais e finais são iguais em todos os períodos de capitalização ao longo do processo de capitalização (C0 = C1 =

o juro de cada período de capitalização só varia se variar a taxa de juro

Não há juros de juros

Tal acontece porque o juro,

é retirado do circuito de capitalização,

mantendo-se inalterado o capital inicial

Este factor garante a proporcionalidade entre o juro de qualquer período e o capital inicial,

o rácio entre o juro e o capital mantem-se constante seja qual for o período de capitalização

Esquematicamente (capitalização em regime de juro simples) J1

C0 + J1 C0

J2 C0 + J2 C0

J3 C0 + J3

C0 J1 J2 J3 = = =i C C C i = Taxa de Juro Jt= it*Ct-1 = it*C0

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

Juros = J1 + J2 + J3

Capital = C0

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Obviamente que no final do último (n) período de capitalização se faz o reembolso do capital inicial e do juro desse último período: C0 + it*C0

Exemplo: a) Qual o juro gerado num depósito de 600€ durante um ano se a taxa de juro anual for de 7%

? b) Se o juro gerado pelo mesmo depósito no mesmo período de tempo fosse de 72€,

qual seria a taxa de juro desse depósito

i = 7% = 0,07 J= i*C0 = 0,07 * 600 = 42€ b) J= i*C0 = 72 = i * 600 i = 72/600 = 0,12 = 12%

(i) Aplicação por um Período

000€,

à taxa de juro anual de 10%

? J = C0 * i * 1 J Rendimento (Juro) C0 Capital Inicial i Taxa de Juro Anual J = 1

000€,

investido à taxa de juro anual 10%,

? S=C+J S = C + C * (i * 1) S = C * (1 + i * 1) S Capital Acumulado (Montante Capitalizado) S = 1

(ii) Aplicação por dois Períodos

000€,

à taxa de juro anual de 10%

000€,

investido à taxa de juro anual de 10%,

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(iii) Aplicação por n Períodos S = C + C * (i * n) S = C * (1 + i * n) (1 + i * n) → Factor de Capitalização em Regime de Juro Simples

Juro = (i * n)

J = C0 * i * n

Capital Acumulado = (1 + i * n)

S = C0 + J

Apontamento: Quando o período da aplicação não coincide com o período da taxa de juro deve-se homogeneizar os períodos

i – Taxa de Juro Nominal i`- Taxa de Juro Proporcional (i) Taxa de juro mensal/prazo da aplicação (dias) ⎛ i ⎞ J = C*⎜ ⎟*n ⎝ 30 ⎠

n → nº de dias da aplicação Exemplo: n=1 i – 3% i`- 0,1% (ii) Taxa de juro anual/prazo da aplicação (dias) ⎛ i ⎞ J = C*⎜ ⎟*n ⎝ 365 ⎠ n → nº de dias da aplicação Exemplo: n=1 i – 12% i`- 0,0333%

(iii) Taxa de juro anual/prazo da aplicação (mês) ⎛ i ⎞ J = C*⎜ ⎟*n ⎝ 12 ⎠ n → nº de meses da aplicação Exemplo: n=1 i – 12% i`- 1% 19 CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA ANO : 2º

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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⎛i⎞ (iv) Taxa de juro anual/prazo da aplicação (trimestre) J = C * ⎜ ⎟ * n ⎝4⎠ n → nº de dias da aplicação Exemplo: n=1 i – 12% i`- 3%

(v) Taxa de juro anual/prazo da aplicação (semestre) ⎛ i ⎞ J = C*⎜ ⎟*n ⎝2⎠

n → nº de dias da aplicação Exemplo: n=1 i – 12% i`- 6%

Exercícios Resolvidos:

Exercício 2

Calcular o rendimento obtido aplicando 1

500€,

à taxa de juro anual de 5%,

em regime de capitalização simples

Resposta:

⎛ 0,05 ⎞ J = 1

A aplicação de 3

gera um rendimento de 112,50€

Qual a taxa de juro aplicada

? Resposta: ⎛ i ⎞ 112,50 = 3

corresponde a uma taxa proporcional mensal

Isoladamente,

A divisão é feita de forma a homogeneizar o período de investimento (meses) com o período a que se refere a taxa de juros proporcional (meses)

Exercício 2

Considere um capital acumulado ao fim de determinado período de tempo no montante de 156

Se a taxa de juro anual aplicada foi de 5%,

e o rendimento auferido na aplicação de 6

250€,

quantos meses durou a aplicação em causa

? Resposta: 20 CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA ANO : 2º

SEMESTRE /2º

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S = C * (1 +

i *n 12 J i ⎛ ⎞ S= * ⎜1 + * n⎟ ⎛ i ⎞ ⎝ 12 ⎠ * n⎟ ⎜ ⎝ 12 ⎠ J = C*

Exercício 2

Exercício 2

Calcule a taxa de juro anual aplicada

Resposta:

000 = 36

000 * (1 +

Se pretender prorrogar o pagamento desses mesmos débitos,

o primeiro a ser pago daqui a 9 meses e o segundo a ser pago daqui a um ano,

quais deverão ser os montantes a pagar nessas datas,

considerando uma taxa de juro anual de 20%,

Resposta:

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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S2 = 40

S1 = 20

000 * (1 +

S1 = 20

3 meses

9 meses

S1 = 22

000 * (1 +

S2 = 42

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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Corresponde,

a uma operação inversa à operação de capitalização de um certo capital

o factor de actualização será o inverso do factor de capitalização

000€,

considerando um taxa de juro anual de 10%,

? C + C * (i * 1) = S C * (1 + i * 1) = S 1 C= *S (1 + i * 1) S Valor Nominal do Capital (ao fim de um ano) C Valor Actual do Capital (descontado durante um ano à taxa de juro i) 1 * 1

000€,

considerando uma taxa de juro anual de 10%,

? D=S-C ⎛ ⎞ 1 D'= S − ⎜⎜ * S ⎟⎟ ⎝ (1 + i * 1) ⎠ ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ D'= S * ⎜⎜1 − ⎝ (1 + i * 1) ⎠ D'Desconto C Valor Actual (Valor Descontado) S Valor Nominal do Capital (ao fim de um ano) i Taxa de Juro Anual Simples ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ D'= 1

(ii) Desconto por dois Períodos

000€,

considerando um taxa de juro anual 10%,

em regime de capitalização simples

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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(iii) Desconto por n Períodos 1 *S (1 + i * n) 1 → Factor de Actualização em Regime de Juro Simples (1 + i * n)

⎛ ⎞ 1 D'= S * ⎜1− ⎟ ⎝ (1 + i * n) ⎠

⎛ ⎞ 1 ⎜1− ⎟ ⎝ (1 + i * n) ⎠

Exercícios Resolvidos: Exercício 2

000€,

a uma taxa de juro anual de 10%,

em regime de capitalização simples

a) Admitindo que a empresa pretende receber esse crédito hoje,

qual o desconto que terá de fazer ao seu cliente

? b) E qual o valor que irá receber

? Resposta: a) ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ D'= S * ⎜⎜1 − (1 + i * n) ⎝ ⎠

⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ D'= 100

Exercício 2

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

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Uma empresa é proprietária de um título de crédito,

Para superar dificuldades financeiras resolveu descontá-lo quando faltavam 14 meses para o seu vencimento,

à taxa de juro anual 15% ao ano,

Qual o valor recebido pela empresa

553,19€

Exercício 2

necessitando de financiar a sua tesouraria,

envia ao banco para desconto o seguinte mapa de títulos de crédito Cliente Sacado Valor de Resgate (Valor Nominal) Prazo até ao Vencimento Cliente X 50

qual será o valor que a empresa irá receber pelo desconto dos vários títulos

? Resposta: Cliente Sacado Cliente X

Valor de Resgate 50

Prazo 15 dias

Cliente Y

25 dias

Cliente W

Cliente Z

3 meses

Valor Descontado Total

SEMESTRE /2º

SEMESTRE

Valor Descontado dos Títulos 1 * 50

000 = 49

000 = 24

000 = 98

000 = 142

462,11€

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também designado por desconto comercial,

corresponde ao juro produzido pelo valor nominal do capital (valor futuro) durante o prazo que falta para o seu vencimento

Sendo calculado sobre o valor nominal do capital (valor futuro),

a expressão que representa o desconto por fora será: Df = Cn

C’ o = Cn (1- n

Naturalmente que,

Df > Dd,

pois que: Cn > C’o Em esquema,

Dd = C’o

Df = Cn

Exercício: Uma empresa tem um crédito de 100

000€,

a uma taxa de juro anual de 10%,

em regime de capitalização simples

a) Admitindo que a empresa pretende receber esse crédito hoje,

qual o desconto que terá de fazer ao seu cliente

? b) E qual o valor que irá receber

Resposta: a)

Df = Cn * i * n Df = 100

000 * (2

000,00€

C ' o = 100

000 * (1

C' o = 80

Dos algoritmos acima resulta: Dd = Co

Df = Cn

pelo que se calcularmos uma taxa i’ que,

na modalidade de desconto por dentro iguale o desconto por fora,

n) 26 CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA ANO : 2º

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Instituto Superior de Engenharia do Porto SECÇÃO DE ORGANIZAÇÃO E GESTÃO

no regime de juro composto o juro é integrado no circuito de capitalização

Desta forma,

os juros também são capitalizados

Os juros são adicionados ao capital no momento do seu vencimento (habitualmente no final de cada período de capitalização)

Os juros,

passam a ser considerados capital,

Como tal,

o stock de capital cresce de forma exponencial de período para período

C + J1 C + J1

C + J1 + J2 C + J1 + J2

C + J1 + J2 + J3

J1 < J2 < J3

C + J1 + J2 + J3

Aplicando um capital C0,

à taxa de juro i,

Ct-1 Ct

C1 = C0 + J1 = C0 + C0 * i = C0 * (1+i)

J1 = C0 * i

C2 = C1 + J2 = C0 * (1+i) + [ C0 * (1+i)] * i = C0 * (1+i) * (1+i)

J2 = C1 * i

J3 = C2 * i

Jt = Ct-1 * i

= C o * (1 + i)2 2 2 C3 = C2 + J3 = Co * (1+ i) + Co * (1+ i) * i

t −1 t −1 Ct = Ct-1 + Jt = Co * (1+ i) + Co * (1+ i) * i t −1 = Co * (1+ i) * (1+i) t = Co * (1+ i)

Temos então a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto

Ct = Co * (1+ i)t C0 Ct i

Capital Inicial Capital Acumulado ao fim de t Períodos Taxa de Juro

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Juro Capital no início de cada período t

Regime Juros simples Jt = it*C0 Ct-1 = C0

Regime Juros compostos Jt = it*Ct-1 Ct-1 = C0 (1 + i1) (1 + i2)

Exemplo: Considere a aplicação de um capital de 100€,

a uma taxa de juro anual de 10%,

em regime de capitalização composta,

Qual o capital acumulado ao fim dos três anos

? Para cada período (ano) distinga as várias componentes do juro 1º Período (1º ano) C0 = 100€ J1 = C0 * i = 100 * 0,1 = 10€ C1 = C0 + J1 = 100 + 10 = 110€ C1 = C0 * (1+i) = 100 * (100 * 0,1) = 110€ 2º Período (2º ano) C1 = 110€ J2 = C1 * i = 110 * 0,1 = 11€ C2 = C1 + J2 = 110 + 11 = 121€ C2 = C0 * (1+i)2 = 100 * (100 * 0,1)2 = 121€

Ou C0 = 100€ Jsobre o capital inicial,

obtido duante o 1º período = C0 * i = 100 * 0,1 = 10€ Jsobre o capital inicial,

obtido duante o 2º período = C0 * i = 100 * 0,1 = 10€ Jsobre o juro do 1º período,

obtido durante o 2º período = J1 * i = 10 * 0,1 = 1€ C2 = 100 + 10 + 10 + 1 = 121€ 3º Período (3º ano) C2 = 121€ J3 = C2 * i = 121 * 0,1 = 12,10€ C3 = C2 + J3 = 121 + 12,1 = 131,10€ C3 = C0 * (1+i)3 = 100 * (100 * 0,1)3 = 131,10€

Ou C0 = 100€ Jsobre o capital inicial,

obtido duante o 1º período = C0 * i = 100 * 0,1 = 10€ Jsobre o capital inicial,

obtido duante o 2º período = C0 * i = 100 * 0,1 = 10€ Jsobre o capital inicial,

obtido duante o 3º período = C0 * i = 100 * 0,1 = 10€ Jsobre o juro do 1º período,

obtido durante o 2º período = J1 * i = 10 * 0,1 = 1€ Jsobre o juro do 1º período,

obtido durante o 3º período = J1 * i = 10 * 0,1 = 1€ Jsobre o juro do 2º período,

obtido durante o 3º período = J2 * i = 11 * 0,1 = 1,10€ C3 = 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1,1 = 131,10€ Há obviamente outros regimes de juros mistos,

a recapitalização parcial dos juros ou a retirada ou adição de parte do capital

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Apontamento 1: Cálculo de fórmulas derivadas com base na fórmula geral de capitalização

(i) Cálculo do juro em regime de juro composto a) Juro acumulado ou juro de t períodos Jt = C 0 * ((1 + i) t − 1) = C o * i b) Juro vencido no t-ésimo período (intervalo compreendido entre os momentos t-1 e t)

j t =Co * (1 + i) t −1 * i = C

Se aplicarmos 10

à taxa de juro de 10% com capitalização mensal,

teríamos os seguintes rendimentos para o regime de juro composto e regime de juro simples

Período 15 dias

6 meses

Regime de Juro Simples

Regime de Juro Composto

041,67€

000 * (1 +

083,33€

000 * (1 +

500,00€

000 * (1 +

000,00€

000 * (1 +

000,00€

000 * (1 +

000,00€

000 * (1 +

041,58€

000 * (1 +

0,1 1 ) 12

083,33€

000 * (1 +

0,1 6 ) 12

510,53€

000 * (1 +

047,13€

000 * (1 +

203,91€

000 * (1 +

481,82€

000 * (1 +

Pode concluir-se que: 1) os juros produzidos ao fim do primeiro período da taxa (mês) são iguais em ambos os regimes de capitalização

é superior o juro auferido em regime de juro simples

é superior o juro auferido em regime de juro composto

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(ii) Cálculo do prazo t em regime de juro composto

Ct = Co * (1+ i)t

(1+ i)t =

logaritmizando a expressão vem: t * log(1 + i) = log C t − log C 0 t=

log C t − log C 0 log(1 + i)

Exemplo: Um capital de 180

à taxa de juro anual de 20% gerou,

654,50€

Calcule o prazo da aplicação

logC t − logC0 t= log(1 + i) log390

(iii) Cálculo da taxa de juro i em regime de juro composto

Ct = Co * (1+ i)t (1+ i)t =

Dado o valor do rácio Ct/Co e conhecido o valor de t pretende-se calcular a taxa de juro i

t * Ln(1 + i) = LnCt − LnC0 Ln(1 + i) = i=e

LnCt − LnC0 t

LnC t −LnC 0 t

Exemplo: Um capital de 6

transformou-se num valor acumulado de 13

183,39€

Determine a taxa de juro i

39 −log6

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Apontamento 2: Quando o período da aplicação não coincide com períodos inteiros da taxa de juro (por exemplo,

sendo a taxa de juro anual e vindo o tempo expresso numa unidade que não o ano),

o factor t deverá ser fraccionado,

considerando-se como unidade o período da taxa

Exemplo: Calcular o capital acumulado resultante de um investimento de 5

000€,

aplicado em regime de juro composto,

à taxa anual de 15% e num prazo de 15 meses

C15 = 5

Exemplo: Determinar o juro produzido por um capital de 10

000€,

aplicado à taxa semestral de 6%,

127,41 6

Exercícios Resolvidos Exercício 2

à taxa de juro anual de 4%

a) Determinar o juro vencido durante o terceiro ano

b) Determinar os juros vencidos ao fim de quatro anos de aplicação

Resposta: a) j3 = C3 − C2 j3 = C0 * (1 + 0,04)3 − C0 * (1 + 0,04)2

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J4 = Co * (1 + 0,04)4 − 1

273,94€

Exercício 2

000€,

se a taxa de juros compostos cobrada for de 20%

Resposta:

Ct = Co *(1+ i)t (1+ i)t =

logaritmizando a expressão vem: t * Ln(1 + i) = LnC t − LnC0

LnC t − LnC0 Ln(1 + i) Ln80

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quanto vai valer num momento futuro (capital acumulado),

um capital colocado em capitalização num momento anterior

A actualização ou desconto é o processo de cálculo inverso,

quanto vale num momento anterior um capital vencível num momento posterior

Como já vimos para o regime de juro simples,

em termos matemáticos a actualização ou desconto é a operação inversa da capitalização

O processo mais comum de actualização ou desconto é o desconto composto,

operação inversa da capitalização de juros compostos

(i) Actualização por t Períodos

Ct = Co * (1+ i)t C0 =

1 (1+ i)t

ou C0 = Ct * (1+ i)−t C0 Ct i

Valor Actual (Valor Descontado) Valor Nominal (Valor Acumulado ao fim de t Períodos) Taxa de Juro

Exemplo: Quanto vale hoje a quantia de 1

Se a taxa de juro anual for de 10% teremos: 1 Ct = * 1

Exemplo: Considerando que a taxa de juro anual em vigor é de 4,5%: a) Se você ganhar um prémio de 700

qual é o valor desse prémio no momento presente (valor actual)

? b) Se lhe perguntarem o que é mais vantajoso,

000€,

é mais vantajoso receber 1050€ daqui a um ano

Outra forma de calcular o desconto (ou actualização) em regime de juro composto é pela diferença entre o valor nominal e o seu valor actual,

calculado com base no regime de capitalização composta

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(ii) Desconto por t Períodos D'= C t − C0

D = C t − C t * (1 + i) − t = C t * 1 − (1 + i) − t D'Desconto C0 Valor Actual (Valor Descontado) Ct Valor Nominal (Valor Acumulado ao fim de t Períodos) I Taxa de Juro

Exemplo: Qual o valor do desconto de um capital de 1

000€,

considerando uma taxa de juro anual é de 10%

D = 173,55€

(iii) Actualização (ou desconto) por n Períodos C=

1 (1 + i)n

ou C = S * (1 + i)−n C → Valor Actual (Valor Descontado) S → Capital Acumulado ao fim de n Períodos (1+ i)−n → Factor de Actualização em Regime de Juro Composto

D = S * (1 − (1 + i) − n )

C = S * (1 + i)

Apontamento: Cálculo da Taxa de Desconto

O Desconto “D” não deve ser confundido com a taxa de desconto,

porquanto esta corresponde à actualização de uma unidade de capital por um período de tempo

Sendo: 34 CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA ANO : 2º

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Ct = 1 (uma unidade de capital) t = 1 (um período ou uma unidade de tempo)

C0 = Ct * (1+ i)−t C0 = 1* (1+ i)−1 C0 = (1+ i)−1 D'= Ct − C0 D'= 1− (1+ i)−1 i d= (1+ i) d'→ Taxa de Desconto Como D'representa a actualização de uma unidade de capital por uma unidade de tempo,

d corresponde à taxa de actualização ou desconto

O desconto pode então ser calculado por duas vias: (i) a partir da taxa de capitalização: i

D = C t * 1 − (1 + i) − t

(ii) a partir da taxa de desconto: d'i d= 1+ i d'i= 1− d'D = C t

D = Ct * 1 − (1 − d)t

⎛ 1− d'+ d'⎞ = Ct * ⎜ ⎟ ⎝ 1− d'⎠

⎛ 1 ⎞ = Ct * ⎜ ⎟ ⎝ 1− d'⎠

Exemplo:

Determinada empresa pretende descontar um título de crédito no valor de 5

Considerando uma taxa de juro anual de 22,5%,

qual o valor a descontar ao valor nominal do título,

utilizando: a) taxa de juro i b) taxa de desconto equivalente

Resposta: 35 CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA ANO : 2º

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D = C t * 1 − (1 + i) − t

668,06€

i 0,225 = = 0,18367 1 + i 1 + 0,225

d = C t * 1 − (1 − d) t = 5

668,06€

Exercícios Resolvidos

Exercício 2

069,60€

Determine o capital inicial

Resposta: 13

Exercício 2

Daqui a 6 meses reforçará o depósito em 2

000€,

estando ainda nos seus planos efectuar um levantamento daqui a 9 meses no valor de 2

Confirmando-se estes movimentos,

qual será o saldo do depósito ao fim de um ano,

considerando uma taxa de juro anual nominal de 10%,

com capitalização mensal (regime de juro composto)

Resposta: 5

575,25€

Exercício 2

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Alternativa B: pagamento à vista de 20% e pagamento do restante em duas prestações: uma a 6 meses e outra a um ano,

vencendo juros à taxa anual composta de 25% com capitalização mensal

Qual das duas alternativas é preferível

? Resposta: (i) Comparação das duas alternativas no vencimento da última prestação

800 * (1 +

Alternativa B SB = 400 * (1 +

(ii) Comparação das duas alternativas no momento do pagamento à vista

Alternativa A C A = 2

Exercício 2

0000€,

A dívida vence juros,

já incluídos no valor nominal,

à taxa semestral i,

em regime de capitalização composta

Sabe-se que se a empresa reembolsasse a sua dívida dentro de 12 meses pagaria um valor de 900

b) Querendo reembolsar im

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