PDF- -Aplicaciones del C alculo diferencial e integral - euleruses - Calculo Diferencial e Integral

Diferencial e Integral

Description

Cálculo Diferencial e Integral I

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic

Bulmaro Pacheco Moreno Director Académico Profr

Adrián Esquer Duarte Director Administrativo C

Gilberto Contreras Vásquez Director de Planeación Dr

Jorge Ángel Gastélum Islas Director Financiero Lic

Oscar Rascón Acuña CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Módulo de Aprendizaje

Copyright ©,

Primera edición 2008

Impreso en México

DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd

Agustín de Vildósola,

Sector Sur Hermosillo,

México

COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado Supervisión Académica: Jesús Arely Meza León Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Profr

Adrián Esquer Duarte Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2008

Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd

Agustín de Vildósola

Sector Sur

Hermosillo,

Sonora,

México La edición consta de 3,468 ejemplares

Ubicación Curricular COMPONENTE:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

FÍSICO-MATEMÁTICO Y ECONÓMICOADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre

tiene como antecedente las asignaturas de Matemáticas,

la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral II,

y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo Físico-Matemático y del Económico-Administrativo

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________

Mapa Conceptual de la Asignatura CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Inician con el conocimiento de

Límites y continuidad Conforman las

Derivadas Se aplican

Funciones elementales

Funciones trascendentes Para derivar se usan

Reglas de derivación Se utilizan en

Aplicaciones A problemas de

Valores máximos y mínimos

Optimización en las ciencias naturales y sociales

Graficado de curvas complejas

Índice Recomendaciones para el alumno

8 UNIDAD 1

LÍMITES

Límites

Noción intuitiva de límite y límites laterales

Teorema o propiedades de los límites

Límites de funciones polinomiales,

Límites infinitos y límites en el infinito

Teorema de continuidad de una función

Condiciones de continuidad

Teoremas de valor intermedio y de valores extremos

LA RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA

La derivada

Razón de cambio promedio e instantánea

La derivada como razón de cambio instantánea

Interpretación geométrica de la derivada

Diferenciabilidad en un intervalo

Reglas de derivación

Reglas de la potencia

Reglas del producto y del cociente de funciones

Regla de la cadena

Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas

Derivación implícita

Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal

Índice (continuación) UNIDAD 3

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES

Aplicaciones de la primera derivada

Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada

Derivadas de orden superior

Cálculos de Valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada

Funciones crecientes y decrecientes

Concavidad

Criterio de la segunda derivada

Puntos de inflexión

Trazado de Curvas

Aplicaciones de la derivada

Problemas prácticos de máximos y mínimos

Aplicaciones en las ciencias naturales,

económico – administrativas y sociales

Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti

en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I

No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo,

así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios

de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase

Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase

Al término de cada Unidad,

consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican

Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados

Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad

Para comprender algunos términos o conceptos nuevos,

consulta el glosario que aparece al final del módulo

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje

Si quieres hacer llegar tus comentarios,

utiliza el portal del Colegio: www

Presentación El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral,

se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo,

del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general,

su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje,

pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales

La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior

Por lo anterior,

la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales,

La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes ramas de las matemáticas,

al resolver problemas con base en sus principios y leyes

El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico,

y la toma de conciencia de sus impactos social,

La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas,

que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores

En esta sociedad actual,

llamada “del conocimiento”,

las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología

La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa,

pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos,

que requieren de soluciones para su problemática

Unidad 1 Límites

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales,

económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico,

con una actitud analítica y participativa

Temario: ¾ Límites

¾ Teorema de continuidad de una función

Cálculo Diferencial e Integral I

Mapa Conceptual de Unidad CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

LÍMITES

LÍMITES

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

NOCIÓN INTUITIVA

CONDICIONES DE CONTINUIDAD

TEOREMA O PROPIEDADES

TEOREMAS DE VALORES INTERMEDIO Y EXTREMO

FUNCIONES

INFINITOS Y EN EL INFINITO

Límites

LÍMITES

Noción intuitiva de límite y límites laterales

Investigaremos qué sucede con las imágenes de f(x) cuando los valores de la variable independiente (en este caso x) se acercan al valor específico x=c,

tanto por la derecha como por la izquierda

Haremos esto tabulando los valores de la función para los valores de x cada vez más cercano al número

Consideramos la función f(x)=x+5 cuando x se acerca a

Como podemos observar que cuando x se acerca a

cuando x está muy cerca de 2,

Este comportamiento se representa matemáticamente por medio del concepto de límites de una función,

decimos en este caso que 3 es el límite de la función,

3 cuando x

La abreviación Lim fue usada,

Ihuilier (1750-1840) en 1786 y la usó también Cauchy

La noción que se adquiere de que f(x) tiende al número L'cuando x tiende al número C,

se detiene en general como la noción intuitiva de límite de la siguiente manera: Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L,

cuando x se acerca a un número A por ambos lados,

entonces concluimos que “El límite de f(x) es L'cuando x tiende a C”

El límite de una función se puede denotar de 2 formas: Lim f(x) = L

F(X) = L1 SI X

Cálculo Diferencial e Integral I

Aquí también podemos definir los límites laterales como: A) L,

es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a C por la izquierda y lo representamos como: Lim f(x)=L cuando xC se observa que f(x) se aproxima a L2 X C Propiedades de los límites laterales: El límite de la función f en x=c existen sus límites laterales y estos son iguales,

por lo que tenemos: Lim f(x) = lim = lim f(x) X C X C X C Pero si sucede lo contrario,

cuando los límites laterales son diferentes,

se dice que el límite no existe y se representa como: Lim f(x) =E Ejemplo 1

Dada la función f(x)= x2-25 X–5 Elabora la tabla y la gráfica de la función y determina lim f(x) X Es importante saber que la existencia de una función f no depende si f está realmente definida C,

sino solamente si f está definida para x cerca de C

F(x) 10

0001 10

Izquierda

Podemos observar que cuando x se acerca a 5 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 10,

esto es cuando x está muy cerca de 5,

f(x) está próxima 6 y lo escribimos como: F(x) 10 cuando x 5 O en su forma formal: lim X2

Para saber más y enriquecer el tema,

límitesmatemáticos

Límites

Al graficar la función,

los valores de la función andan cerca de 10 cuando x se encuentra alrededor de 5

F(x) 10

Izquierda

A veces nos preguntamos por qué tenemos que hacer tanto procedimiento para determinar que lim x+5 = 3 X

Recuerda que aquí nos interesa encontrar el concepto de límite de una función y no el proceso mecánico para evaluar o determinar un límite

Debes observar que en casos como lim X2

esto nos lleva a una determinación en que para determinarlo requiere de artificios que nos permitan simplificar el factor que produce la indeterminación,

en este caso sólo con factorizar así: (x-5)(x+5) = x+5,

si x=5 X–5 Esto se verá cuando se apliquen los teoremas de límites en funciones independientes

Ejemplo 2

Elabora la gráfica y obtén lim f(x) para la función: f(x) =2/x-2/ si x0,

Límites

En los ejercicios siguientes hallar el límite (si existe)

g) Lim (1+▲x)3-1 ▲ 0 ▲x i) Lim esenx = x 2¶

EJERCICIO 3

k) Lim [ln-2x – ln (2x+3) + ln (ex) + elnx] = x 1 L) Lim esenx/x

e 1-cosx/x = x 0 M) Lim ln x3 – ln7x = x

Anota las cuatro funciones trigonométricas en donde nos dice que si c'no está en el dominio de la función dada,

Realizar la gráfica de los siguientes límites ilustrando donde la función no está definida o si está ya definida

LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO

Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha aproximado a algún número real

Trataremos ahora con límites donde x aumenta o disminuye sin fronteras

Se aplican las siguientes definiciones informales

Si x aumenta sin límites,

se dice que tiende hacia un infinito positivo

Esto se designa por: x +∞ B

Si x decrece sin límite,

se dice que tiende a un infinito negativo

Esto se designa por: x

Cálculo Diferencial e Integral I

Consideremos la función f donde f(x) =1/x para {x : x>0} como se ilustra en la figura siguiente:

La gráfica muestra que x se hace más y más grande,

el valor de la expresión 1/x se aproximará más y más hacia cero,

esto es: Lim 1/x =0 x +∞ Otro ejemplo,

puede encontrarse en la función f donde: F(x) = 3x2 X2+1 Esta función se ilustra en la figura siguiente,

mostrándonos lo que sucede a f(x) cuando x se hace inusitadamente mayor

3 27/10

4 48/17

5 75/26

10 300 100

Límites

Puede verse que según x aumente sin límite a través de reales positivas,

simbólicamente podemos afirmar esto de las siguientes maneras: F(x)

3 cuando x

Lim [3x2/x2+1] = 3

Podemos hacer a f(x) tan cercano a 3 como se desee,

haciendo a x lo suficientemente grande

Esto es,

decir que el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 3 (If (x)-3l) sea tan pequeño como se desee (menor que ε) haciendo a x lo suficientemente grande (mayor que algún número N>0)

Esto es también verdad para f(x) 3 según que x

La siguiente definición define formalmente el límite de una función cuando x aumenta y disminuye sin límite

Definición 1

Lim f(x) = L'si y sólo si para todo ε>0

эN>0 x +∞ Tal que I f(x)

Lim f(x) = L'si y solo si para toda ε >0,

ЭN1/3 entonces ½ es el mayor exponente

Lim (5 – 2/x2) = Lim 5 – Lim 2/x2 = 5-0 = 5 x ∞ x ∞ 7

Lim n = Lim n/n = Lim 1 = 1/1 = 1 x ∞ n+1 x ∞ n/n+1 x ∞ 1+1/n 9

Sea f(t) el nivel de oxígeno en un estanque,

donde f(t)= 1 es el nivel normal (sin solución),

y el tiempo t se mide en semanas

Cuando t =0,

se arroja materia orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando,

la cantidad de oxígeno en el estanque viene dado por:

TAREAS 3 y 4

Páginas 39 y 41

F(t) = t2 – t + 1 t2 + 1 27

Cálculo Diferencial e Integral I

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana

? ¿Cuál es el límite para t tendiendo al infinito

2 y 10,

F(1) = 12

Determina el signo que debe tener ∞ en las siguientes funciones al aplicar límites infinitos: A) Lim 6x = x 3- x-3 B) Lim x2 = x 2+ 4-x C) Lim 3x – 2 = x 1-/4 4x + 1 2

Resuelva los siguientes límites en el infinito: A) Lim 4x3 + 9x2 + 3x = x ∞ 6x3 + 3x + 5 B) Lim 10x2 + 5x – 3 = x ∞ 5x2 + 3x – 5 C) Lim 10x5

Límites

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar algún proyecto,

y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el proyecto

Por ejemplo,

cuando vamos caminando y encontramos un charco de agua,

tenemos que brincar para poder seguir nuestro camino

En las gráficas se presenta el mismo caso

en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla

En caso contrario,

cuando no despegamos el lápiz del papel decimos que la función es una función continua

Y cuando lo despegamos es una función discontinua

Analizaremos las siguientes figuras para obtener la definición de continuidad y discontinuidad de una manera intuitiva (informal)

En forma intuitiva se puede decir que la gráfica que representa a esta función,

puede dibujarse en un trazo interrumpido

Concluimos que es una función continua

x La gráfica que representa esta función,

Concluimos que es una función discontinua

En el subtema siguiente llegaremos,

mediante ejemplos de algunas funciones,

a establecer las condiciones para que una función sea continua

Cálculo Diferencial e Integral I

CONDICIONES DE CONTINUIDAD

Sea la función: 1

f(x) = (x+2)(x-5) x–5 Gráfica de la función: 9 8 7 6 5 4 3 2 1

X 1 2 3 4 5 6 7

En esta función f(x) no está definida,

esto nos dice que para toda x ε R,

hay una ruptura en la gráfica en x=5 concluimos que la función f es discontinua en x=5 y continua para todos los otros valores de x≠5

Consideramos la función g: 2

No por el hecho de que g(x) está definida para todos los números reales x,

hay una ruptura en su gráfica en x=3 y debemos afirmar que g es discontinua en 3,

teniendo a una función definida en algún punto c'es una condición necesaria para la continuidad en ese punto pero no suficiente para asegurar que la continuidad exista

La siguiente definición explica la situación: Definición

Se dice que es una función f es continua en c'si y sólo si las tres condiciones siguientes son verdaderas

Lim f(x) existe x c'III

Lim f(x) = f(c) x c'Si cualquiera de estas tres condiciones falla,

decimos que f es discontinua en el elemento c

Continuidad es un intervalo abierto: Decimos que una función es continua en un intervalo abierto (a,

b) si es continua en cada punto del intervalo

Límites

Una función que es continua en toda la recta real (-∞+

Existen dos tipos de discontinuidad,

las evitables y las esenciales

Por lo general,

la discontinuidad es evitable cuando se rompe por factorización o cuando podemos cambiar alguna de las condiciones de la función,

y será esencial cuando no podemos hacer lo anterior

Si no se cumple cualquiera de las condiciones anteriores,

entonces la función será discontinua en ese punto

Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes casos: 1

Una división entre cero

Extraer una raíz de índice para una cantidad negativa

Si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente y no se presenta ninguno de los dos casos anteriores,

la función será continua para ese valor

Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas,

en los puntos que se te indican: 1

Aplicando las tres condiciones: I

Lim f(x) existe Lim (2x+3)(x-1) = Lim 2x+3 x c'x c'= 2(1)+3 =2+3=5 cumple Se factoriza 2x2 + x

Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) no cumple ya que 2≠5 x c'x c'Es discontinua en x=1 2

F(X) 1/x-3 aplicando las tres condiciones de continuidad,

Primeramente se toma x-3 del denominador y se iguala a cero para despejar x

x= 3 f(c) existe f(3) no existe por lo que f es discontinua en x=3 3

Cálculo Diferencial e Integral I

Aplicando las tres condiciones de continuidad: I

f(c) existe f(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 1 cumple II

Lim f(x) existe Lim 2x – 1 = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9 cumple x c'x 5 III

Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) o sea 11 ≠ 9 no cumple x c'x c'Es discontinua en x= 5 EJERCICIO 3

Contesta lo que se te pide

Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas

a) f(x) 0 x2 – 1 b) f(x) = 3x + 5 c) f(x) =1/2 + x d) f(x) = x2 – 9 x+3 e) f(x) = √x-1 f) f(x) = 3x,

si x 0 si x ≤ 0 si 0 < x ≤ 1

Unidad 2 Las razones de cam b i o y l'a derivada

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada,

conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales,

económicoadministrativas y sociales

contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable

El libro de la naturaleza “El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él… Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está escrito… Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son triángulos,

círculos y otras figuras geométricas

Galileo Galilei Las razones de cambio son derivadas

razones de cambio relacionadas

Por lo tanto,

el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas

La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos

Temario: ¾ ¾ ¾ ¾

La derivada

Reglas de derivación

Derivación implícita

Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal

Cálculo Diferencial e Integral I

Mapa Conceptual de Unidad La Derivada

Se obtiene por

Derivación implícita Las reglas de derivación

Razón de cambio promedio e instantánea

Regla de la potencia

De las cuales obtenemos

Interpretación geométrica de la derivada Para concluir en

Las cuales son

La diferenciabilidad en un intervalo

Graficado de curvas complejas

Reglas del producto y del cociente

Regla de la cadena

Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Las cuales se emplearán en

Ecuaciones de la tangente y normal,

longitudes de la subtangente y subnormal

Las razones de cambio y la derivada

LA DERIVADA

Durante los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra,

en sus problemas fundamentales,

en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo

Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función

Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas,

entre la que está el cálculo diferencial,

que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio

El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y como puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio,

no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo

La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII: 1

Gottgried Wilhem Leibniz (16461716) Como matemático,

su nombre está unido al del gran Newton,

como coautor del cálculo infinitesimal

El problema de la tangente

El problema de la aceleración

El problema de máximos y mínimos

El problema del área

Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo

Razón de cambio promedio e instantáneo

En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente de una recta llamada “m” y se concluyó lo siguiente: a) La pendiente de toda recta paralela al eje “x” es cero

La pendiente de una recta que forma un ángulo positiva

Una recta paralela al eje “y” no tiene pendiente

d) Si la recta forma un ángulo negativa

entre 90° < θ < 180° la pendiente es

Cálculo Diferencial e Integral I

Veamos la siguiente gráfica

Sea P1 ( x1 ,

Recuerda que la pendiente del segmento P1 y P2 se define:

Y por lo tanto:

∆ Es una letra griega llamada delta

Que significa: CAMBIO

Es la diferencia de las abscisas (x) ∆y = y 2 − y1

Es la diferencia de las ordenadas (y) Por lo tanto:

∆y se lee como “razón de cambio de “y” con respecto a “x”

La razón de cambio:

∆y es el mismo para cualquier par de puntos que se ∆x

Para demostrar esto veamos lo siguiente: Tomamos la ecuación de la recta:

P1 ( x1 ,

y 2 ) dos puntos de la recta y − y1 m= 2 es la pendiente de la recta que pasa x2 − x1

( y − y1 ) = m( x − x1 ) Es la ecuación de la recta de la forma punto pendiente

Las razones de cambio y la derivada

Y como " x" y " y" de la ecuación ( y − y1 ) = m( x − x1 ) pueden tomar cualquier valor que satisfaga esa ecuación

es válida para cualquier punto por donde pasa la recta

Entonces:

( y − y1 ) = m( x − x1 ) quedaría: ( y 2 − y1 ) = m( x2 − x1 ) Y despejando la pendiente tenemos: y − y1 m= 2 x2 − x1 Esto demuestra que la pendiente es la razón de cambio promedio

Por lo tanto podemos definir que:

Razón de cambio promedio

Sea f una función tal que y = f (x ) y P1 ( x1 ,

Definimos la razón de cambio promedio de “y” con respecto a “x” como:

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = x2 − x1 ∆x x2 − x1

Razón de cambio instantáneo

Sea y = f (x) una función definida en todos puntos del intervalo de cambio instantáneo de la función en x

O bien:

f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1

De acuerdo a lo anterior,

podemos decir que la diferencia entre ambas es que la razón de cambio promedio es una razón de incrementos,

mientras que la razón de cambio instantáneo es el límite de una razón de incrementos

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejemplo 1

Determinar la razón de cambio promedio de la función

f ( x) = 3 x + 1 en el intervalo [3,7] Solución: Paso1

4 −3 =1

f (4) − f (3) = 13 − 10 = 3

5− 4 =1

6 −5 =1

7 − 6 =1

f (5) − f (4) = 16 − 13 = 3 f (7) − f (6) = 22 − 19 = 3

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = Observamos la tabla para sustituir los x2 − x1 ∆x x2 − x1 resultados y tenemos:

∆y 3 = =3 ∆x 1 Por lo tanto la razón de cambio promedio de la función en el intervalo de 3

Ejemplo 2

Determinar la razón de cambio promedio de la función:

f ( x) = 5 x 2 + 2 x − 6 En el intervalo [−1,4] Solución: Paso1

y = f (x) f ( x1 ) = −3 f ( x2 ) = 82

4-(-1)= 5

[3,7] es

Las razones de cambio y la derivada

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = ∆x x2 − x1 x2 − x1 ∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) 85 = = = = 17 3 ∆x x2 − x1 x2 − x1 ∆y = 17 ∆x

Geométricamente,

∆y = 17 es la pendiente de la recta secante que une ∆x

Los puntos (-1,-3) y (4,82)

Ahora veremos problemas en donde interviene la razón de cambio Instantáneo

Ejemplo 3

Las leyes de la física indican que si un cuerpo cae libremente a una distancia de “s” pies en “t” segundos,

S = 16t 2

∆s en el intervalo de valores de t ∈ [3,3

5] ∆t

Solución: Paso1

5) = 196

- 144 = 52

- 3 = 0

El símbolo "∈" significa pertenece o está en

∆s s'2 − s1 s'(t 2 ) − s'(t1 ) 52 = = = = 104 ∆t t 2 − t1 t 2 − t1 0

Y como vimos en la materia Física I,

∆s desplazamiento = = velocidad promedio del cuerpo en el intervalo del ∆t tiempo

Por lo tanto: La razón de cambio instantáneo es:

Cálculo Diferencial e Integral I

EJERCICIO 1

En equipo: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los miembros de tu equipo

Respuesta:

Respuesta:

Entonces,

¿cuál es el valor de “y” cuando x = 4

a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas

Recordar que: V = 4 ∆ r3 3 b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son: 0,

138 y 145

c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio

e ¿A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo,

cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando

La derivada como razón de cambio instantánea

En el tema anterior se llegó a que una razón de cambio instantáneo es una Función definida en todos los puntos del intervalo [x,

En el intervalo [x + ∆x,

x] si ∆x 0 para toda x de (a,

c) y f ´( x ) < 0 para toda x de (c,

f (c) es un máximo local (o relativo) de f

(es decir: si f ´(x) cambia de positiva a negativa en c')

(ii) Si f ´(x) < 0 para toda x de (a,

c) y f ´( x ) > 0 para toda x de (c,

entonces f (c) es un mínimo local (o relativo) de f

(es decir: si f ´(x) cambia de negativa a positiva en c')

f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de c,

entonces f (c) no es un (iii) Si extremo local de f

Máximo relativo en

Mínimo relativo en

En vista de los teoremas anteriores,

podemos establecer ahora un procedimiento muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua f en un intervalo cerrado I

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función

 1  En I = − ,2  2  Paso 1

b) E igualamos a cero f ´(x) para obtener las raíces x1 ,

Resolviendo la siguiente ecuación cuadrática tenemos

Los valores del Intervalo como son:

consideran puntos críticos sólo por ser puntos frontera de I

− 6x 2 + 6x = 0 6 x(−x + 1) = 0 Por lo tanto: 6x = 0 y

Los puntos críticos son: −

1 ,0,1,2 2

El mayor de esos valores será el máximo

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 f (−1 / 2) = −2(−1 / 2) 3 + 3(−1 / 2) 2

f (−1 / 2) = 1 b) En x1 = 0 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f ( x) = −2(0) 3 + 3(0) 2 f (0) = 0 c) En x2 = 2 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f (2) = −2(2) 3 + 3(2) 2 f (2) = −4 d) En

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f (1) = 1 108

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Acomodando los datos en una tabla,

El valor máximo es 1 y el valor mínimo es

-2X^3+3X^2

3 2 1 −4

Esta es la gráfica correspondiente a la función

Ejemplo 2

f ( x) = x 2 + 3 x En I = [− 2,1] Paso 1

f `( x) = 2 x + 3 b) E igualamos a cero f ´(x) para obtener la raíz x1

Resolviendo la siguiente ecuación tenemos

Cálculo Diferencial e Integral I

El mayor de esos valores será el máximo

⇒ f (−3 / 2) = (−3 / 2) 2 + 3(−3 / 2) ⇒ f (−3 / 2) = −

b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos,

nuestra tabla de valores queda de la siguiente manera:

El valor máximo es 4 y el valor mínimo es

Esta es la grafica correspondiente a la función

INDIVIDUAL

EJERCICIO 1 Identifique los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos,

realiza la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones,

compara los resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión

I = [0,3] 3 b) f ( x) = x 3 − 3x + 1 en I = (− ,3) 2 3 2 c) h(t ) = 4t + 3t − 6t + 1 en I = [− 2,1] a)

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Derivadas de orden superior

TAREA 1

f y produce una nueva función f ´

Si ahora se deriva f ´ se producirá otra función como f `` (se lee “f biprima) y que se llama segunda derivada de f

Esta a su vez puede ser derivada para producir f ´´´,

que se llama la tercera derivada de f ,

Por ejemplo,

sea La operación derivada toma una función

Página 131

f ( x) = 3x 3 − 5 x 2 + 3x − 9 Entonces

f ´(x) = 9 x 2 − 10 x + 3 f ´´(x) = 18 x − 10 f ´´´(x) = 18 f ´´´´(x) = 0 Dado que la derivada de la función cero es cero,

todas las derivadas de mayor orden serán cero

EJERCICIO 2

INDIVIDUAL

Encuentra la primera,

cuarta derivada de las siguientes funciones

Entrégaselas a tu profesor para su revisión

f ( x) = 5 x 3 + 4 x 2 − 6 x − 6 2 2) f ( x) = −8 x − 9 x − 3 2 4 3) f ( x) = (5 x − 9) 4) f ( x) = sen(3 x) 1)

Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada

Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que la de la primera derivada

Implica la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios

No se aplica a puntos singulares

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sean f ´ y f ´´ dos funciones que existen para cada punto,

Supóngase que

f (c) es un máximo local de f

f (c) es un mínimo local de f

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejemplo 1

use la prueba de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos

Este es un punto crítico

f ´´(3) > 2 (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva

f (c) Es un mínimo local de f

Y en la primera derivada f ´(x) = 2 x − 6 ⇒ f ´(3) = 2(3) − 6 f ´(3) = 0 f (3) Es un mínimo local

f ( x) = x 2 − 6 x + 5 ⇒ f (3) = (3) 2 − 6(3) + 5 ⇒ f (3) = −4

El valor mínimo de la función es

Ejemplo 2

f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 2 Paso 1

f `( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 Paso 2

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

f ´´(x) = 12 x − 6 f ´´(2) = 18

Por el criterio de la segunda derivada como

f ´´(2) > 0 hay un mínimo en

⇒ f ´´(−1) = −18 Por lo tanto,

f ``(−1) < 0 entonces hay un máximo en x2 = −1

f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2 f (−1) = 2(−1) 3 − 3(−1) 2 − 12(−1) + 2 f (−1) = 9 El valor del máximo está en (-1,9)

Y es 9 f (−1) = 2(2) 3 − 3(2) 2 − 12(2) + 2 f (−1) = −18 El valor del mínimo está en (2,-18)

EN EQUIPO:

Calcula los valores máximos y mínimos de las siguientes EJERCICIO 3 funciones,

utilizando el criterio de la segunda derivada

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 + 12 x + 15

f ( x) = x 3 + x 2 − 5 TAREA 2

Página 133

Cálculo Diferencial e Integral I

Considere la gráfica de la figura 1 y de la figura 2

A nadie sorprenderá que se diga f decreciente a la izquierda de c'y creciente a la derecha

entonces existe un mínimo en c'de la función

existe un máximo en el caso contrario

Pero para asegurarse que estamos de acuerdo en las técnicas,

Decreciente

Creciente

Figura 1

DEFINICION: Definamos una función f sobre un intervalo (abierto,

Se dice que: (i) f es creciente sobre I si,

para cada par de números x1 y x2 que pertenezcan a

para cada par de números x1 y x2 que pertenezcan a I ,

TEOREMA DE MONOTONIA: Sea f una función continua en un intervalo interior de I

(i) Si f ´(x) > 0 para toda x interior a

I y diferenciable en todo punto

(ii) Si f ´(x) < 0 para toda x interior a I ,

entonces f es decreciente en I

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Creciente f`(x)>0

f`(x) 0 entonces la función es creciente en ese intervalo

La función es creciente en el intervalo ( −2,

f `( x) < 0 entonces la función es decreciente en ese intervalo

Monotonía Decreciente Punto de separación de intervalos

-6 3 18

6 12 18

Creciente Creciente Creciente

Cálculo Diferencial e Integral I

Existe un mínimo que es

Esta es la gráfica de la función

Ejemplo 2

f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7 Paso 1

f `( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 = 6( x + 1)( x − 2) Las desigualdades se resuelven: Tipo I: Caso1

(a)(b)>0 → a 0 y ( x − 2) > 0 caso2

( x + 1) < 0 y ( x − 2) < 0 x > −1 y x>2 x < −1 y x < 2 (− ∞,−1) (2,

En estos intervalos la función es creciente

Si f `( x) < 0 entonces la función es decreciente en ese intervalo

En estos intervalos la función es decreciente

Los puntos de separación son el

-1 y el 2

ellos dividen el eje de las x en tres intervalos que son: (− ∞,−1),

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Tomando valores que pertenecen a esos intervalos que obtuvimos en el paso anterior y sustituyendo en la función podemos obtener la siguiente tabla de valores

f´(x) 60 24 0

-38 3 14

monotonía Creciente Creciente

Decreciente Decreciente Creciente

Tiene un máximo en (-1,14)

Punto de separación de intervalos

En el intervalo (− ∞,−1) tomamos

f ´(x) = 6 x 2 − 6 x − 12 f ´(−2) = 6(−2) 2 − 6(−2) − 12 f ´(−2) > 0 Esto comprueba de que la función es creciente en este intervalo

TAREA 3

Página 135

Esta es la gráfica de la función

f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7

EN EQUIPO:

EJERCICIO 4

Calcula los intervalos en que cada una de las funciones siguientes es creciente o decreciente

Realiza su gráfica y entrégaselos a tu profesor para su revisión

f ( x) = x 2 − 4 x + 2 2 2) f ( x) = 2 x − x 3 3) f ( x) = x − 1

Cálculo Diferencial e Integral I

CONCAVIDAD

Observemos las figuras a y b que a continuación se indican

la tangente en A varía en la forma siguiente: La pendiente de tangente aumenta cuando el punto “A” describe el arco

de donde la primera derivada es una función creciente de x,

su segunda derivada es positiva

Cuando la tangente queda por debajo de la curva,

el arco es cóncavo hacia arriba figura a

TEOREMA DE CONCAVIDAD: Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto

f ´´(x) > 0 para toda x de I ,

entonces f es cóncava hacia arriba en I

(ii) Si f ´´(x) < 0 para toda x de I ,

entonces f es cóncava hacia abajo en I

Ejemplo 1

(Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces)

hacia arriba y donde es hacia abajo de la siguiente función

f ´(x) = 3x 2 − 12 Los puntos críticos son:

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

(i) Si f ´´(x) > 0 para toda x de I ,

entonces f es cóncava hacia arriba en

∞) (ii) Si f ´´(x) < 0 para toda x de I ,

entonces f es cóncava hacia abajo en I

f ´´(x ) = 6 x 6 x < 0 ⇒ x < 0 la función es cóncava hacia abajo en (−∞,0) Paso 3

f´´(x)

Aquí podemos ver que la segunda derivada es menor que cero

Aquí la segunda derivada es mayor que cero

Además,

la función tiene un máximo en el punto (-2,16) y un mínimo en el punto (2,-16)

El valor del máximo es 16 y el valor del mínimo es

x −21 −18 −15−12 −9 −6 −3

Esta es gráfica de la función f ( x) = x 3 − 12 x

Cálculo Diferencial e Integral I

Si la concavidad de una curva cambia de sentido,

entonces la segunda derivada cambia de signo,

y en consecuencia es igual a cero en el punto de inflexión

Decimos que (c,

f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f si f es cóncava hacia arriba a un lado de c'y cóncava hacia abajo en el otro lado

Ver la siguiente PUNTOS DE INFLEXION: Sea

Puntos de inflexión

Cóncavo hacia arriba

Cóncavo hacia abajo

Cóncavo hacia arriba

EJEMPLO 1

f ( x) = x 4 + 2 x 3 − 7 Paso 1

f ´(x) = 4 x 3 + 6 x 2 f ´´(x) = 12 x 2 + 12 x Paso 2

Y x +1 = 0 Y x 2 = −1 Tenemos que los puntos críticos son x= 0 y x=-1

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

f´´(x)

Signo de la 2da

Alrededor del

quiere decir que: (-1,8) es un punto de inflexión y el (0,-7) es otro punto de inflexión

−1 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 12

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314

Para bosquejar la gráfica de una función y = f ( x) procedemos en la forma siguiente como se ilustra en el ejemplo 1,

haciendo todo lo que se vio anteriormente en toda esta unidad

EJEMPLO 1

calcula los valores máximos y mínimos,

determine en que intervalo la función es creciente o decreciente,

cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y,

señala los puntos de inflexión

Dibuje después la gráfica

Cálculo Diferencial e Integral I

Los puntos críticos son: x1 = −2 y

Para un valor de x < x1 y x > x1 ,

podemos realizar la siguiente tabla X

f´(x) 5/2

f´´(x)

8 (−2,

) Punto de inflexión 3 f ´(x) < 0 f Es decreciente

La segunda derivada ( f ´´(x) > 0 ) es positiva desde (0,

por lo tanto es cóncava hacia arriba en ese intervalo

La segunda derivada ( f ´´(x) < 0 ) es negativa desde ( −∞,0) ,

por lo tanto es cóncava hacia abajo en ese intervalo

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

EJERCICIO 5

EN EQUIPO : Encuentra los puntos críticos,

calcula los valores máximos y mínimos,

determina en qué intervalo la función es creciente o decreciente,

cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y además señala los puntos de inflexión

Dibuje después la gráfica

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Para saber más y enriquecer el tema,

Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande,

más voltaje,

más resistente,

se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de máximos y mínimos

Se presentan los siguientes casos: a) En el primero,

el problema incluye una función específica que permite su solución

la función se desconoce y es necesario obtenerla utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema,

o únicamente con los datos disponibles

para obtener la solución se recomienda: 1) De ser posible trazar una gráfica

PROBLEMA 1

acelera y hace su recorrido de t4 2 15 minutos según la ecuación s'= 144t − + 100

si se mide el tiempo y el 4 espacio en metros,

calcula: a) Distancia que recorre el móvil

b) Velocidad máxima que alcanza

c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima

Cálculo Diferencial e Integral I

RESOLUCION: a) Distancia que recorre en 15 minutos

La primera derivada en física se le llama velocidad y a la segunda derivada se le llama aceleración

t4 + 100 4

Cuando t = 15 tenemos:

⇒ f ´(t ) = 288 − t 3 ⇒ f ´´(t ) = 288 − 3t 2

Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo,

debe haber aceleración (positiva) en el momento en que la aceleración es cero

y pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a disminuir

el punto crítico es cuando a = 0 (aceleración igual a cero)

a = f ´´(t ) = 288 − 3t 2 288 − 3t 2 = 0 − 3t 2 = −288 288 t2 = 3 t = 96 = 9

Entonces:

Analizamos en la aceleración:

sea t = 9 f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(9) = 288 − 3(9) 2 = 45 La f ´´(t ) > 0

(La aceleración resultó positiva) Para un valor mayor de t = 9

f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(10) = 288 − 3(10) 2 = −12 La

(La aceleración resultó negativa)

Como pasa de positiva a negativa,

decimos que existe un máximo en t = 9

Y la velocidad máxima en ese tiempo es:

f ´(t ) = 288 − t 3 f ´(t ) = 288 − (9

21m / min

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima

t4 + 100 4

8) = 144(9

8) 2 −

SOLUCION: El móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos

21 m/min

habiendo recorrido 11,624 metros

PROBLEMA 2

cada uno de 900 metros cuadrados de área,

¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda

y x PLANTEAMIENTO: Área = A = 1800m2 Perímetro = P

A = 2 xy P = 4x + 3y

despejaremos una de ellas de la ecuación del área

Y la sustituiremos en la ecuación del perímetro,

ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales

A = 2 xy 1800 = 2 xy 1800 y= 2x y=

P = 4x + 3y  900  P( x) = 4 x + 3   x  2700 Así quería el perímetro en función de “x”

P ( x) = 4 x + x

Cálculo Diferencial e Integral I

P ( x) = 4 x +

Esta función también se puede expresar de la siguiente

P ( x) = 4 x + 2700 x −1 Ya que así es más fácil para derivarla

P´(x) = 4 − 2700 x −2 Es decir:

P´(x) = 4 −

2700 x2

P´(x) = 4 − 4−

2700 x2

x = (15) 2 (3) = 15 3 Este es un punto crítico

P´(x) = 4 −

2700 x2

P´(24) = 4 − La P´(x) < 0

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Tomamos un valor mayor a x = 25

P´(27)

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