PDF- -Guía docente de la asignatura - Alojamientos Universidad de - Calculo Diferencial - Antonio Rivera Figueroa

Description

aplicaciones y notas históricas

Antonio Rivera Figueroa

FUNDAMENTOS,

y y y y y APLICACIONES Y NOTAS

HISTORICAS x y

A NTONIO RIVERA FIGUEROA

INVESTIGADOR DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA CINVESTAV DEL IPN

PRIMERA EDICIÓN EBOOK y y MÉXICO,

GRUPO EDITORIAL PATRIA

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez Supervisor de prepensa: Gerardo Briones González Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís Fotografías: © Thinkstockphoto Revisión técnica: Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional

Cálculo diferencial

Fundamentos,

aplicaciones y notas históricas Derechos reservados: © 2014,

Antonio Rivera Figueroa © 2014,

GRUPO EDITORIAL PATRIA,

Renacimiento 180,

Colonia San Juan Tlihuaca,

Delegación Azcapotzalco,

Código Postal 02400,

México,

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm

sean electrónicas o mecánicas,

sin el consentimiento previo y por escrito del editor

Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014

Dedicatoria Dedico esta obra a la memoria de mi querida esposa Gloria y de mi entrañable madre Nachita

También va mi dedicatoria a mis hijos Gloria,

Karla y Toño

A mis nietos Robin,

Sandy y Toñito

CONTENIDO Prólogo

xviii Capítulo 1 Los números reales

Introducción

Racionalización

Una relexión

Cálculo diferencial,

aplicaciones y notas históricas

Capítulo 2 Funciones

2 Imagen,

Capítulo 3 Funciones elementales

El radián

Contenido

Capítulo 4 Sucesiones y series de reales

Propiedad de continuidad de los reales

Supremo e ínimo

Axioma del supremo

216 1 1 4

220 n n

Cálculo diferencial,

aplicaciones y notas históricas

Capítulo 5 Límite y continuidad

Deinición de ar

Capítulo 6 Razón de cambio y derivada

Contenido

Capítulo 7 La derivada aplicada al estudio de las funciones

Cálculo diferencial,

aplicaciones y notas históricas

Capítulo 8 Aplicaciones de la derivada

Contenido

454 1 8

456 x 1 8

Ley de Snell de la refracción de la luz

478 3 2 8

? ¿Qué número es mayor 2 o 3

Apéndice

PRÓLOGO Este libro está dirigido a estudiantes y profesores de la asignatura de cálculo diferencial impartida a nivel universitario en las carreras pertenecientes al área de ciencias físico-matemáticas e ingeniería

El lector encontrará aquí un tratamiento completo de los fundamentos del cálculo diferencial,

al tiempo que también hallará diversas aplicaciones de este

A lo largo de la obra,

las exposiciones de los temas se acompañan con notas históricas y biografías de personajes que desempeñaron un papel importante en la creación y el desarrollo del cálculo diferencial

Estas notas históricas no solo tienen el propósito de hacer más amena la lectura sino también de proporcionar al lector información sobre el desarrollo y la evolución de las ideas acerca del cálculo diferencial,

ayudándolo a comprender la importancia de estas y el papel que juegan en la actualidad

Por ejemplo,

una pregunta que solemos hacernos con frecuencia es: ¿por qué todo libro de cálculo o más bien de fundamentos de cálculo,

inicia con el estudio de los números reales

la respuesta se obtiene de los datos históricos sobre los trabajos del matemático alemán Richard Dedekind

El estudio de los números reales,

con el que inicia todo tratado de fundamentos del cálculo,

es la herencia que legó Dedekind como resultado de las relexiones que hizo hacia el otoño de 1858,

cuando enseñaba cálculo en la Escuela Politécnica de Zúrich,

En aquella época,

Dedekind se percató de que todas las pruebas de los principales resultados del cálculo se basaban en las propiedades de los números reales,

aunque concebidas en un contexto geométrico,

sobre todo la que se reiere a la continuidad

Por ejemplo,

el hecho que toda sucesión de reales que crece permanentemente y que no sobrepasa algún número,

por necesidad siempre tiene un límite,

una aseveración que se sustenta en la evidencia geométrica,

o más especíicamente en la representación de los reales en la recta y en la incuestionable continuidad de la recta ideal

Por tanto,

Dedekind llegó a la conclusión de que en las demostraciones de los teoremas importantes del cálculo,

hacía falta un tratamiento puramente aritmético de los reales,

tarea a la cual se dedicó durante varios años de su vida

Desde entonces,

los matemáticos tomaron conciencia de la necesidad de expresar aritméticamente la continuidad de los números reales en la construcción y el desarrollo del cálculo,

por lo que en el futuro el estudio de los números reales constituirá el inicio de todo tratado de fundamentos de cálculo en el que se pretenda probar con rigor sus principales resultados

Por lo antes expuesto,

resulta importante comprender el papel que juegan las propiedades de los números reales en ese afán de rigor,

solo así será posible saber en realidad cuándo es necesario dedicarle un capítulo a este importante sistema de números y cuándo no lo amerita

todo depende de los objetivos que tengamos en nuestro estudio del cálculo

Por supuesto,

en lo que se reiere a los fundamentos del cálculo,

este libro no es la excepción

Esto signiica que también inicia con el estudio de los números reales,

aunque desde una perspectiva diferente a la de la mayor parte de los libros de cálculo del mismo nivel

expliquemos en qué consiste nuestro punto de vista

Es común que los libros de cálculo presenten a los números reales como un sistema axiomático,

donde primero se postulan las propiedades algebraicas,

conocidas como propiedades de campo y después se enuncian las propiedades de orden,

es decir las de las desigualdades,

para luego hacer referencia a las propiedades de continuidad,

acerca de las cuales Dedekind relexionó profundamente

Presentar los números reales de esta manera,

representa mirarlos como un sistema axiomático

En general,

en un sistema axiomático la teoría inicia solamente probando teoremas a partir de los axiomas y continúa probando teoremas,

para lo cual se usan los axiomas y los teoremas ya probados

Además,

toda aseveración o propiedad referente a los números reales que no esté enunciada en los axiomas deberá ser probada usando los axiomas o los teoremas ya probados

Trabajar con los sis-

Cálculo diferencial,

aplicaciones y notas históricas

temas axiomáticos requiere de una madurez matemática que se va adquiriendo en forma gradual

un tratamiento axiomático de los números reales requiere demostrar la desigualdad 1 > 0

teoremas como este causan desconcierto en los estudiantes que se inician en el arte de las demostraciones matemáticas,

pues en esta etapa de sus estudios apenas empiezan a comprender qué signiica trabajar con los sistemas axiomáticos,

aun cuando así lo hayan hecho en sus cursos de geometría de bachillerato

Algunos docentes podrían opinar que el estudio de los números reales como sistema axiomático podría ser el inicio del entrenamiento de los estudiantes con los sistemas axiomáticos

vale la pena notar que en cálculo hay mucho que aprender,

pero también que hay muchas otras oportunidades más para entrenarse en las demostraciones matemáticas,

fuera por supuesto del contexto de los sistemas axiomáticos

Los razonamientos y las pruebas matemáticas no son exclusivos de los sistemas axiomáticos

el arte de la demostración ocurre en muchos contextos

Las demostraciones de los principales resultados del cálculo de por sí ya poseen la suiciente complejidad como para que todavía se agregue un innecesario tratamiento axiomático de los reales

Hacerlo así puede distraer al lector acerca de lo relevante del cálculo,

además de que consume un valioso tiempo que puede ser empleado para relexionar y profundizar acerca de los fundamentos principales del cálculo,

con el objetivo de estudiar temas como los que se tratan en el capítulo 7,

los cuales se exponen más adelante,

En el caso de este libro,

el interés primordial que tenemos al presentar los números reales en el capítulo 1,

es que el lector adquiera destrezas en el manejo de los números reales

con las propiedades algebraicas,

las desigualdades y los procesos de racionalización

Asimismo,

también se considera importante aquí que el estudiante comprenda lo que signiican las representaciones decimales periódicas y no periódicas,

que conozca las diferentes clases de números reales y cómo se caracterizan por sus expansiones decimales

también se postula la continuidad de los reales,

pero no en el contexto de un sistema axiomático

Esto signiica que aquí asumimos,

como lo hacían los matemáticos en la época de Dedekind,

familiaridad por parte del lector con el álgebra de los reales y las desigualdades (aunque no precisamente en el contexto axiomático)

En este sentido,

uno de los objetivos del capítulo dedicado a los números reales es que el lector adquiera destreza en el manejo de los mismos

Asimismo,

uno de nuestros objetivos es que el lector comprenda la muy importante propiedad de continuidad de los reales y que entienda el porqué de su importancia

es seguro que esto se logrará en forma gradual a lo largo del libro

En el estudio de los números reales,

también se tratan los dos famosos números  y e,

los cuales juegan un papel muy importante en el estudio del cálculo

Para un acercamiento a estos números,

que se tratan en el capítulo dedicado a los números reales,

se acude a ideas y recursos heurísticos

el tratamiento riguroso se pospone para capítulos posteriores

dedicamos estas líneas a explicar otras diferencias importantes que el lector encontrará en este texto con respecto a la mayor parte de los libros de cálculo

El concepto de función y las funciones elementales son una parte importante en todo curso de cálculo,

por esta razón en este libro se dedican dos capítulos a su estudio

El primero de estos se reiere al concepto general de función y a los diversos conceptos sobre funciones en general

un capítulo muy apropiado para entrenarse en lógica y razonamientos matemáticos,

ya que se trata de un tema en extremo formativo en el aprendizaje de la matemática

El segundo capítulo sobre funciones está dedicado a la presentación de las funciones elementales

No obstante,

la función exponencial se presenta heurísticamente en el capítulo introductorio a las funciones elementales,

aunque en capítulos subsiguientes se le da el tratamiento riguroso propio de un curso sobre fundamentos del cálculo

Por su parte,

la función exponencial queda rigurosamente deinida en el capítulo 5,

el cual está dedicado a la continuidad,

por lo que a partir del estudio de ese capítulo se considera que este tema puede usarse en los capítulos dedicados a la derivada y sus propiedades,

así como en posteriores tratados sobre cálculo integral

Esta constituye,

otra diferencia respecto de la mayor parte de los libros de cálculo,

Prólogo

exponencial hasta los capítulos dedicados al cálculo integral

Presentar la función exponencial tempranamente tiene la ventaja de que puede usarse en el tema de la derivada y sus aplicaciones

Además,

el acercamiento que adoptamos en esta obra responde a la percepción intuitiva que tenemos de la función exponencial,

la cual consiste en considerarla como una extensión natural de las potencias con exponentes enteros o racionales

Aun cuando no se estudien las demostraciones en esta construcción de la exponencial,

es interesante observar y analizar cómo se organizan estas en este proceso,

además de entender cuáles son las diicultades que se tienen que salvar para establecer una deinición

Si así lo desea,

el alumno tiene la posibilidad de no estudiar las demostraciones de la cadena de los pequeños resultados que conducen a la deinición,

aunque sí se le recomienda que observe el panorama en su generalidad,

ya que esto resulta una buena manera de aprender matemáticas

En tanto,

las funciones trigonométricas también se estudian en el capítulo de las funciones elementales,

donde se acude al famoso círculo trigonométrico

En este tema,

se relexiona acerca de la posibilidad de medir los ángulos con diferentes unidades

Por su parte,

en el capítulo dedicado a la continuidad de funciones se destaca la importancia de medir los ángulos en radianes

Como se puntualiza,

el radián es la unidad que se adopta en cálculo para medir los ángulos,

ya que es la unidad ideal para medir los ángulos en cálculo

es común que no se conozca o no se haya relexionado acerca del porqué el radián es tan relevante

Un recurso importante para deinir las funciones con rigor y efectuar un tratamiento simple de límites y continuidad de funciones son las sucesiones y sus límites,

por esa razón el capítulo 4 se dedica íntegramente a su estudio

En ese capítulo,

además de desarrollar la teoría sobre límites de sucesiones,

también se deinen con precisión los famosos números  y e,

En el estudio sobre límites de funciones,

se inicia con el uso de la propiedad de continuidad de los números reales

con ese tema también inicia nuestra relexión acerca del papel que juega esta continuidad,

concebida aritméticamente como lo hizo Dedekind

En el capítulo 4 también se analizan el concepto de serie y algunos resultados sobre las mismas,

dado que las series y sus límites son el recurso para deinir las expansiones decimales estudiadas en el capítulo 1

Por supuesto,

esta no será la única aplicación de las series,

ya que están presentes a lo largo de la teoría del cálculo diferencial e integral

El capítulo 5,

está dedicado al estudio de los límites y de la continuidad de las funciones,

debido a que la teoría sobre límites de funciones resulta de gran importancia para el estudio de la continuidad de las funciones y de la derivada que se hace en capítulos posteriores

En el capítulo sobre continuidad también se establecen los principales resultados sobre funciones continuas,

entre los que destacan el teorema de Bolzano,

el teorema del valor intermedio,

el teorema de Weierstrass sobre funciones acotadas y la propiedad conocida como continuidad uniforme

este último teorema también desempeña un papel muy importante en capítulos posteriores

Cabe aclarar que la teoría sobre límites de sucesiones facilita el estudio sobre continuidad,

por lo que resulta una gran ventaja estudiar con antelación los límites de sucesiones

De cualquier manera,

es tan importante la teoría sobre límites de sucesiones que resulta necesario estudiarla en algún momento,

así que es mejor anticiparla,

ya que de esa manera matamos dos pájaros con un solo tiro

El capítulo 6 está dedicado al concepto de la derivada y de sus propiedades más importantes

En este se exponen las reglas de derivación,

la derivada de funciones compuestas (la de la cadena),

la derivación de funciones inversas y las derivadas sucesivas

Todas estas reglas se aplican a las funciones elementales,

las derivadas de las funciones polinomiales,

las seis funciones trigonométricas y sus funciones inversas,

las cuales constituyen las seis funciones arco

Con las derivadas de estas funciones,

es posible obtener la derivada de cualquier función elemental,

concepto que se estudia con amplitud en el capítulo 3,

mismo que precisamente lleva ese nombre

esta relexión no la hayan hecho muchas personas que ya conozcan el tema

Cálculo diferencial,

aplicaciones y notas históricas

Sin menoscabo de otros capítulos,

consideramos que el capítulo 7 es uno de los más importantes de esta obra y,

no debe omitirse en ningún curso de cálculo universitario

es preferible sacriicar algo de tiempo al estudio de los reales y hasta omitir diversas demostraciones del capítulo 5,

con tal de tener tiempo suiciente para estudiar los temas de este capítulo

Sin duda,

podemos considerar a este capítulo como el corazón del cálculo diferencial,

al menos los capítulos que le preceden tienen como propósito la preparación del lector para el estudio los temas aquí expuestos

el capítulo 7 es una meta muy importante

En este se exponen los principales resultados del cálculo diferencial

el teorema del valor medio en sus diferentes versiones,

En este capítulo,

como consecuencia del teorema de Cauchy,

la utilísima regla de L’Hospital,

que suele ser de los recursos favoritos de los estudiantes para el cálculo de límites de funciones

aunque es necesario saber con exactitud cómo se establece este teorema,

para no tratar de aplicarlo donde no es posible

Entre otros temas muy importantes,

tanto en el estudio de las funciones como en las aplicaciones del cálculo diferencial,

destacan los diversos criterios para máximos,

mínimos y concavidades de funciones

Por tanto,

estos temas se exponen ampliamente,

acompañados de algunas relexiones interesantes acerca de las condiciones de necesidad y suiciencia que suelen confundir a alumnos y profesores

Asimismo,

también se estudia el desarrollo de Taylor y las propiedades de los polinomios de Taylor

Con estos teoremas conoceremos,

cuáles son los algoritmos que utilizan las calculadoras cientíicas y las computadoras personales para evaluar funciones,

como las exponenciales y trigonométricas

Se trata,

de un capítulo que es obligatorio en todo curso de cálculo

se recomienda estudiar el capítulo 7 en su totalidad

Así pues,

constituye un capítulo muy importante

El capítulo 8 está dedicado a las aplicaciones de la derivada

en este se ofrece una diversidad de aplicaciones tanto en la matemática como en la física,

la ingeniería y otras disciplinas

Aquí también se muestra el poder de la derivada como recurso para el estudio de las funciones,

se incluye el método de Newton para el cálculo aproximado de raíces de funciones y se hace un análisis del error correspondiente cuando se obtiene una aproximación de una raíz mediante este método

Finalizamos este prólogo haciendo una sugerencia para la lectura de la obra

si bien el lector puede encontrar todas las demostraciones de los resultados que se enuncian,

incluyendo algunas pruebas que,

se evitan en los libros de cálculo,

no es necesario estudiar muchas de estas pruebas en un primer curso de cálculo,

ya que estas demostraciones podrán estudiarse en una segunda lectura de la obra

También es posible omitir diversas demostraciones si el libro se usa en un curso de las carreras de física o de ingeniería,

pues los objetivos diieren sustancialmente de los objetivos de una carrera de matemáticas

Pero aun como libro de apoyo para las carreras de matemáticas,

en su estudio pueden omitirse algunas de las pruebas,

sin menoscabo de la comprensión de los teoremas y de sus aplicaciones en el resto de la obra

Entre las pruebas que pueden omitirse,

en particular están las que hemos remitido al apéndice

El propósito de que incluyamos estas demostraciones no contradice nuestra sugerencia de que puedan omitirse algunas de estas en un primer curso de cálculo universitario,

ya que pretendemos que el lector vea en este libro una fuente de consulta en donde posteriormente encuentre las demostraciones que por lo común no se hallan en obras similares

Si se hace una selección cuidadosa de los resultados y de las demostraciones,

por ejemplo para un curso de ingeniería,

con la seguridad de que los temas son tratados con el nivel matemático que requiera o desee cualquier institución universitaria

El autor espera que el lector disfrute de la obra tanto como él la disfrutó al escribirla

Antonio Rivera Figueroa México,

AGRADECIMIENTOS Deseo agradecer al Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional por el amplio apoyo que siempre me ha brindado para llevar a cabo mis investigaciones y la escritura de obras como la presente

Los resultados de estas investigaciones han suministrado material que se incluye a lo largo del libro y que espero lo haga más didáctico en el tema de los fundamentos del cálculo

También agradezco a mis alumnos de varias generaciones del curso de cálculo que a lo largo de varios años he ofrecido en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del mismo Instituto

De mis alumnos no solamente me ha hecho consciente de las diicultades que se presentan en el estudio de los fundamentos del cálculo sino también he aprendido ideas de ellos y me ha hecho reconocer que las ideas del profesor no necesariamente son mejores que la de sus discípulos

Gracias a esos jóvenes por sus enseñanzas

Sotero Prieto Rodríguez (1884–1935) Destacado ingeniero mexicano

Nació en Guadalajara,

Jalisco,

hijo del ingeniero minero y profesor de matemáticas Raúl Prieto González Bango y de doña Teresa Rodríguez de Prieto

En 1901 terminó sus estudios en la Escuela Nacional Preparatoria y en 1906 concluyó la carrera de ingeniería civil en la Escuela Nacional de Ingenieros,

de la cual nunca obtuvo su título

Durante más de un cuarto de siglo se desarrolló como profesor de matemáticas en la Escuela Nacional Preparatoria y en la Escuela Nacional de Ingenieros,

donde inluyó en la formación de ingenieros y licenciados en ciencias exactas

Por su destacada labor en la enseñanza de las matemáticas y física,

don Sotero Prieto Rodríguez fue considerado siempre como un gran maestro,

que contribuyó de manera importante en la formación de una importante generación de destacados profesionales,

de quienes sobresalen Alfonso Nápoles Gándara,

Manuel Sandoval Vallarta,

Vicente Guerrero y Gama,

Enrique Rivero Borrel,

Nabor Carrillo Flores,

Javier Barros Sierra,

Alberto Barajas,

Roberto Vásquez,

Efrén Fierro,

Carlos Graeff Fernández,

Jorge Quijano,

Manuel López Aguado y muchos más

Los cientíicos e ingenieros discípulos del maestro Sotero Prieto consolidaron la certidumbre del gran maestro de que las ciencias matemáticas y físicas son fundamentales en cualquier ingeniería

Respecto a la inluencia que Sotero Prieto ejerció en la instauración de la matemática y la física en México,

Alberto Barajas comenta: “Sotero Prieto es indudablemente el maestro al que se debe el desarrollo moderno de las matemáticas y la física”

También,

Sotero Prieto fue el precursor de la intensa actividad matemática que existe hoy día en México

aplicaciones y notas históricas

Introducción

En el prólogo de su breve,

pero histórico trabajo sobre continuidad y números irracionales,

el profesor y brillante matemático alemán Richard Dedekind narra que mientras enseñaba los fundamentos de cálculo diferencial,

en la recién creada Escuela Politécnica de Zurich,

durante un momento de inspiración se percató con una claridad como jamás había tenido,

de la carencia de una fundamentación realmente cientíica de la aritmética

Dedekind expone en ese prólogo que escribe en marzo de 1872,

que al discutir la noción de aproximación de una magnitud variable a un valor límite ijo,

había recurrido a evidencias geométricas,

especialmente al probar el teorema de que cada magnitud que crece continuamente,

pero no más allá de todos los límites,

debe aproximarse a un valor límite (hoy diríamos que toda sucesión creciente y acotada superiormente debe converger)

Dedekind reconoce en su exposición que el recurrir a la intuición geométrica lo considera extremadamente útil e indispensable desde el punto de vista didáctico,

sobre todo si uno no desea invertir mucho tiempo en exponer los principios del cálculo,

pero tal tratamiento de ninguna manera puede considerarse realmente cientíico

Continúa diciendo que su insatisfacción era tan fuerte que tomó la irme determinación de relexionar sobre la cuestión tanto como se requiriese hasta encontrar una fundamentación puramente aritmética y completamente rigurosa de los principios del cálculo

Por supuesto,

Dedekind logró su objetivo y el fruto de sus profundas relexiones fue su trabajo sobre continuidad y números irracionales,

en donde el concepto fundamental es lo que actualmente conocemos como cortaduras de Dedekind

Este concepto,

hoy en día es un recurso muy utilizado para deinir los números reales,

en especial los números irracionales

Después del trabajo de Dedekind,

todas las demostraciones tuvieron que rehacerse,

pues estaban basadas en evidencias geométricas,

estaban sustentadas en la representación geométrica de los números reales

Antes del trabajo de Dedekind,

las pruebas se apoyaban en la continuidad de la línea recta

Este era el motivo de insatisfacción de Dedekind

El importante teorema de que toda sucesión creciente y acotada superiormente converge,

se sustentaba en la continuidad de los reales percibida de forma geométrica,

y no con un sustento puramente aritmético

Dedekind añade que este teorema muy bien podría usarse para fundamentar el cálculo,

aceptándolo como verdadero sería totalmente posible probar los principales teoremas del cálculo con todo el rigor matemático que requiere un tratamiento cientíico

La aportación importante que Dedekind hace en su trabajo sobre continuidad y números irracionales es construir los números reales,

especialmente los números irracionales,

de esta manera da una deinición puramente aritmética de los números reales,

misma que entraña su propiedad más profunda que es la continuidad de los mismos,

concepto indispensable para poder hablar de límite y continuidad de las funciones

Hoy en día hay dos alternativas para abordar el tema de continuidad de los números reales

Una consiste en construir el sistema de los números reales,

mediante las cortaduras de Dedekind y otra consiste en presentar a los números reales postulando su continuidad,

además de las otras propiedades algebraicas y sobre desigualdades que comparten los racionales

Este último acercamiento consiste en deinir los números reales como un sistema axiomático,

se trata de un acercamiento que es muy común encontrar en los textos de cálculo,

razón por la cual casi siempre inician con un capítulo sobre los números reales (algunos inician con álgebra de conjuntos)

En este texto hemos adoptado postular el principio de continuidad de los números reales,

su construcción no es parte de nuestros objetivos,

además consideramos que esa construcción no es indispensable para fundamentar el cálculo

Sin embargo,

es importante aclarar que tampoco presentamos a los números reales como un sistema axiomático

No es necesario invertir tiempo en

será suiciente y muy importante que tengamos destreza con las propiedades algebraicas de los números reales,

propiedades que a nivel simbólico son una extensión de las que tienen los racionales y que trabajamos desde nuestros cursos previos de cálculo elemental

En lugar de darle un tratamiento axiomático a los números reales preferimos poner énfasis en sus representaciones decimales,

en distinguir los racionales de los irracionales mediante su representación decimal

También será importante fortalecer los procesos de racionalización y la habilidad en el uso de desigualdades

Nuestro acercamiento diiere de los que suelen encontrarse en la mayoría de los textos de cálculo,

o deberíamos decir de los dedicados a los fundamentos del cálculo,

propio del nivel universitario o de escuelas profesionales

Nuestras primeras experiencias con los números reales

Desde que cursamos nuestros estudios de bachillerato estamos familiarizados con los números reales,

aunque podríamos decir que nuestro primer contacto con ellos se remonta a la primaria,

primero a contar con los números naturales y después a aplicar los algoritmos de la adición,

la multiplicación y la división con enteros o números decimales

También fue en la primaria donde conocimos un famoso número real cuando aprendimos la fórmula C 5 2p r,

para calcular la circunferencia de un círculo

donde r es el radio del círculo y p una constante,

un número real cuyo valor siempre recordamos como 3

Dado que 2r es el diámetro del círculo,

es posible describir la fórmula para la circunferencia C 5 2p r como: la circunferencia es igual al producto que resulta de multiplicar p por el diámetro

¿qué es p

? Con seguridad leímos su deinición clásica en nuestros libros de texto de la primaria,

la cual dice que p es la razón que hay entre la circunferencia de un círculo y su diámeC tro,

La fórmula del perímetro de un círculo no es otra cosa que la misma deinición de p,

pareciera entonces que el único círculo interesante en la deinición de p y la fórmula para la circunferencia fuera el círculo vicioso: la circunferencia es p veces el diámetro y,

p es igual a la razón de la circunferencia al diámetro

Independientemente de esta aparente extraña situación de quién fue primero,

nos encontramos ante una deinición de p de naturaleza geométrica,

Es en el contexto del cálculo,

donde podemos hacer una deinición aritmética de p,

o debiéramos decir una deinición analítica,

no podemos hacer una deinición de p con recursos puramente aritméticos

Como el diámetro “cabe” cerca de 3

Tratando de mejorar la aproximación de p,

para indicar que todavía pueden escribirse más decimales si deseamos tener mejores aproximaciones

Sumatorias ininitas

¿Qué signiican los puntos suspensivos en la expresión decimal p 5 3

y en otras expresiones numéricas

? La interpretación que hemos dado a estos puntos corresponde a lo que

aplicaciones y notas históricas podemos leer en el diccionario de la Real Academia Española: “signo ortográico (

) con que se denota quedar incompleto el sentido de una oración

Para el caso particular p 5 3

14159…,

por ejemplo podemos plantear preguntas como: ¿cuántos decimales faltan por escribir

¿cuáles son esos decimales

? En una sección posterior de este capítulo,

estudiaremos un poco acerca de su interesante historia y cómo la humanidad siempre tuvo presente dichas preguntas

Es probable que durante nuestros estudios de secundaria o bachillerato nos enteramos de que los decimales faltantes en la expresión para el valor de p son una ininidad

Quizá p fue el primer número que conocimos con una cantidad ininita de decimales y también es probable que nuestra segunda experiencia con este tipo de expresiones se dio cuando dividimos 3 1 :

3333 3) 1

el cual consiste en la repetición interminable del residuo 1,

nos permite continuar agregando tantos decimales como queramos en el cociente

esto lo expresamos acudiendo a los puntos suspensivos 1 3 5 0

En este caso,

los puntos suspensivos tienen un signiicado un tanto diferente al de los puntos suspensivos que utilizamos para p

Ahora no solo indican que hay más dígitos que estamos omitiendo,

sino que se trata de una ininidad de decimales iguales a 3

Tiempo después aprendimos que las expansiones decimales de 2 y 3 se escriben con puntos suspensivos 2 5 1

En estos dos casos,

los puntos suspensivos ciertamente nos mantienen en el suspenso,

no sabemos con certeza lo que representan,