PDF- -UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL - Calculo Avanzado - Watson Fulks

Avanzado

Description

CALCULO AVANZADO W ATSON FULKS Profe

¿Dónde se aplicó la hipótesis de que x

VALOR ABSOLUTO Si X es un número real

entonces el valor absoluto de se define por · x six:>O

(b) {x + 4 > 3x + IS} (d) {(l + x) < 1/(1

(/) {lxJ + lx + 1I < 2} (h) {(x + 2)(x

- 4/2")},

Demostrdr que i(u (h) Evaluar

- 1) 2 x ,

t1 1 )(1

Enco~trar

O m 0 existe un x en S para el cual y >

Demostrar que si

entonces existen puntos interiores de S a uno y otro lado de x 0 •

dado entonces existe un N tal que

la demostración de la equivalencia de las dos proposiciones de Ja inducción matemática

Este es el teore·

Demostrar que el quinto axioma de Peano se puede deducir del Teorema 1

Mediante C 1,

demostrar que si t N > 1/t y de aquí que l/N h

Demostrar que en todo intervalo de números reales existen números irracionales

Probar por inducción que:

Demostrar que,

existe un n tal que na ma de Eudoxo o el teorema de Arquímedes

Demostrar que en todo intervalo de números reales existen números racionales

EJERCICIOS 8

EJERCICIOS C

Funciones,

MAPEOS,

FUNCIONES Y SUCESIONES

Consideremos dos conjuntos S 1 y S::

Por un mapeo de S 1 en S2 se entenderá una correspondencia mediante la cual a cada punto x en S 1 se le asocia exactamente un punto y en S2 • La totalidad de todos los pares se ordenados (x,

donde y es el punto en S2 correspondiente a x en llamará una función y se denotará mediante una sola letra

El número y en S':

! correspondiente X en 5 1 recibirá el nombre de valor de la función f en x y se denotará por f (x)

Nótese que una función tal y como se ha definido es una función unívoca

a cada punto x en S 1 le corresponde exactamente un punto y en S::

Sin embargo

los valores de y pueden corresponder a dos o más x

Se dirá que la función está definida en S 1 y tiene valores en S2 • y tambien se dirá que es una función de S 1 a S2 • Puesto que x puede tomar cualquier valor en S1

recibe el nombre de variable independiente,

y puesto que el valor de y está determinado por x,

recibe el nombre· de variable dependiente

En ocasiones la variable independiente recibe el nombre de argumento de la función

Si todo el conjunto S2 se cubre mediante el mapeo

-esto es,

si para todo valor de y en S2 existe por lo menos un x en S 1 para el cual y f(x)- se dice que el mapeo 'es sobre S'I

De otra manera se dice que es en S2

EI conjunto S1 sobre el cual está definida la función se llama dominio de la función y

El subconjunto de S2 sobre el cual se mapea D'se llama rango de f y se denota por R

Gráfica de una función es simplemente la representación bidimensional del conjunto de puntos dados por Cx

y) donde x está en D'y y es el

cálculo de una variable

E n otras pa labras

la gráfica es el lugar geométrico de los puntos en dos dimensiones dados po r

Igualmen te buenas son

{O < X< 5} {-5 < X< O},

- X 2 { Y=

El qu e una función sea unívoca se refleja en el hécho de que toda línea · vertica l'que pasa po r un punto x de D'encuentra a la gráfica en u n pu nto exactamente

Sin embargo

toda línea ho rizontal que pasa po r un punto de R encue ntra a la gráfica en un punto

pero pod ría em:o nt ra rla en un número infinito de puntos

-lx < 5

cuando decimos que la ecuació n (1) define implícitamente una funció n

gene ralmente debe entend erse una de las d'os pri meras

Lo que desea mos puntualizar es que para especificar una función se necesita más qu e la relación x 2 + y2 25

Por ejemplo,

si se p regun ta si la fun ción es continua•

entonces estamos forzados a escoger una de las d'os primeras

En forma semeja nte

no define una fu nción ya que ex is te un número infinito de ángu los y cuyo seno es x

Pero el valor principa l'definido por

D: {-1 {

D D'inf [f(:r) + g(x)] > inff(a") + inf g(:r}

D'D D'En particular,

estas expresiones se transforman en

+ bn) < sup Dn + sup bn + bn) >

sup f (x) · g(x) < sup f (x) · sup g(x)

:¡_,---

Demostrar que b11

Examinar estas sucesiones y funciones como en los ejercicios A

(a) Considérese que /(x) y g(x) tienen el mismo dominio D

Demostrar que

FJERCICIOS B

Supóngase que /(x)--+ A,

A conforme x--+ co y /(x) ( g(x) ( h(x)

Demostrar que g(x)

Supóngase que un--+ A

Demostrar que n/

n3a•--+ O y n4a•--+ O si O< a< l

(Comparar con el Ejercicio 3 anterior y ver la demostración del Teorema 2

Determinar si las funciones siguientes tienen limites en el infinito

En cada caso donde exista un límite A

determinar un X(t) tal que lf(:r)

Demostrar que n"i/2ª--+ O

EJERCICIOS C 2

D: {O N,

< M€1 + lalE2 = €[M/2(M + 1) + lal/2(lal + 1)] < E

Con base en esta demostración se sigue que lim cb,,

Je Teorema

¡aNI·

De acuerdo con el Teorema 2

(¡,Por qué

Teorema

Por tanto

(¿Por qué

es evidente que si tomamos M como el mayor de M 1 y M 2 ,

en ton· ces por (1) y {2) para todo n

Demoj'fracidn

Examinemos

Ja Teorema

Supóngase que lant converge

entonces cualquier subsucesión {tlnkJ también converge y tiene el mismo límite

Demostración

La demostración de este teorema se deja como ejercicio (Ejercicio 8)

Obsérvese que,

este teorema se extiende · a cualquier número finito de sucesiones

Es evidente que existen muchas subsucesiones de una sucesión dada y que

?) El teorema que se desea probar es el siguiente

En los teoremas restantes de esta sección supondremos que las sucesiones fanl y tbnl convergen y que sus límites son a y b

y concluiremos la existencia de los demás límites que se presentan

(¿Por qué

Demoj·fración

La demostración de este teorema se sigue del Teorema 2

en el supuesto de que podemos demostrar que

Para probar (4)

supuesto que b existe un N 1 lo suficientemente grande de modo que

cálculo de una variable sin >N 1 •

De aquí que

Por tanto,

N2 tales que

(N 1 • Nz],

Teorema

Demostración

La demostración de este teorema se sigue directamente de J la,al

Entonces existe un N

Calcular ,Jim

EJEMPLO

Esta contradicción completa la demostración

3h Teorema

Demostración

Por los Teoremas 2

3i Teorema

- lim h,,

se escoge n lo suficientemente grande para que

Demostracidn

Supóngase que lim a,,

(¿Por qué

Aquí existe un N 1 tal que

Entonces si n > N

ª"=a> O o

(¿Por qué"

Consideremos dos casos

(¿Por qué"

Entonces

lim [ 4 + (6/11) + (3/n 2)] lim [1

- (5/n2)]

lim 4 + lim (6/n) + lim {3/n 2 ) lim 1

Conviene hacer algunas aclaraciones acerca del cálculo realizado en este ejemplo: Cada paso en la solución es un argumento provisional que depende,

de la existencia de los límites involucrados

Por lo tanto,

donde se intercambió el signo del límite y el signo de la raíz,

es válido solamente si se conoce la existencia del límite del cociente que se encuentra como radicando

En forma semejante,

cada uno de los siguientes pasos es tentativo,

afirmado en la existencia de los límites involucrados

La justificación final para todos estos pasos provisionales es que se llega a una expresión que tiene un límite

cálculo de una variable

¡r I''\ ,-

Determinar si las siguientes sucesiones tienen límite

Si existe,

calcular el límite en cada caso:

Evaluar el límite de cada una de las siguientes sucesiones:

Demostrar,

entonces ªn no necesariamente converge

no necesariamente converge en a

-+ O si

Demostrar que lim v'

Considér

+ 1 + ,¡: + 2 + · · · + ,r

EJERCICIOS C

Demostrar que si la,,} converse a cero y fb,,J está acotada,

entonces lu,,b11 } converge a cero

Y-")-1/ll} )-1/n}

a1 > O,

CSugerc•t1dt1: Hacer

Supóngase que lim a,,

- I a¡,

que la inversa de (tt) no es verdadera

existen sucesiones ltt,,I tales que lim a11 =" pero lim u,,

LIMITES DE FUNCIONES

Sea /(x) definida en d'intervalo /: la

O < 8 ~ h (por supuesto que 8 depende de t: y así

se escribe o(t:}) para el cual po~itivo

Demostrar,

que si la,,I y fh,,J son sucesiones· divergentes,

entonces lo,,+ h,,} no es necesariamente divergente

Hacer lo mismo para {a,

I y la,,Jb,,}

Demustrar

que para una sucesión convergente dición a,,

O no implica que lim u,,

(S11gernt'iu: Hacer i'a = 1 + Ir,

y aplíquese la desigualdad de Bernoulli

Calcular el límite de cada una de las sucesiones siguientes:

Demostrar que si a,

X:> y> 0

Demostrar que del binomio

EJERCICIOS B

(b) Completar la demostración del Teorema 2

Demostrar que

1+2+3+·

EJERCICIOS A

cálculo de una variable

De aquí que ª"+i > ª"' de modo que la sucesión es monótona creciente

A continuación se demostrará que está acotada superiormente:

La función f

es positiva inmediatamente a la derecha de a

Pero no es positiva en todo el camino porque en h es negativa

deb~ ser negativa para un intervalo corto antes de h

Por tanto

el subcon1unto de I con la propiedad de que los valores de I son positivos en es un conjunto acotado

Por lo tanto

de acuerdo con nuestras observaciones previas

a< Se desea demostrar que /(Xu) Xo

Demmtrucidn

Supongamos

Y supóngase

que existen dos puntos Xo y xu' que llenan la condición deseada

digamos con Xu > Xo'· Entonces

y sea ~ una función definida en R con rango D

Si f y ~ están relacionadas de manera que /[4'(Y)] y para toda y en R

entonces se dice que 4' es la función inversa de f

El teorema básico de la función inversa es el siguiente

4a Teorema

Si f es una función continua estrictamente creciente en la ' x ~ bl

la cual se llamará 4'· definida en la ' ~ y ~ /JI

la cual es estrictamente creciente y continua allí

De acuerdo con el Teorema l

Demostración

Por el Teorema 3

cálculo de una variable

continuidad y diferenciabilidad

existe exactamente un x para el cua l'f(x) = y

Este x depende de Ja y escogida y se denotará por (y)

Sea x0 el valor de x correspondiente a y

Entonces

Sin perder gene ra lidad

supóngase que se cumple la primera de estas dos su posiciones

Entonces sea (Yo

De11111struciú11

Sea dado cualquier y0

Considérese la función f

dada por f (x) = x ' en un largo in tervalo

d'igamos :o ~ x ~ hl donde h' > y

(¿Cómo podemos estar seguros de que tal h ex iste

A hora bien

f es estriela mente 1:rc1:ien1e: Su púngase que x ,

x2 )(x1

- x" > O

También es continua

de aquí que existe una inversa única

Esto significa que pa ra todo y en 10 ~ y ~ h2 I existe un único x tal que x 2 = y

Esto se cumple en particular para el

Yn dado

Mediante el mismo ti po de arguml

! nto puede probarse la existencia de una raíz 11-ésima ún ica de cua lq uier número no negativo

Puesto que las p01encias enteras también están definidas

ahora pndemos definir lo qu e se desea dar a entend er por a·/·

Es fácil ve r que

(Ejercicio 89)

Es un poco más difícil d'efinir a' para x arbitraria

Esto se pospond rá para el capitulo sobre la~ fu nciones trascendentes elementales

continuidad y diferenciabi/idad

cálculo de una variable

Supóngase que f es estrictamente creciente

Probar que

EJERCICIOS A

Determinar si las siguientes funciones son continuas en los dominios indicados

Demos1rar que puede definirse en " y en b de manera que sea estrictamente creciente

continua y acotada en {a ( x ( b}

En cada uno de los casos en que Ja función sea continua

determinar si es uniformemente continua

Deseamos aplicar una cierta propiedad de las funciones continuas cuya demostración se pospondrá hasta un capítulo posterior

(Tendremos cuidado de no caer en un argumento circular aplicando cualquiera de las consecuencias de esta propiedad en su demostración posterior)

La proposición de la propiedad es la siguiente

6b Teorema

Si f es continua en un intervalo cerrado acotado I: fa' x' b}

entonces existe un punto Xo en l'para el cual

= O para algún x0 en el intervalo

Entonces la función inversa q,

es derivable en el punto Yo f(xo) Y

= 3 + 3(Xo)~ < 3 + 3l27)~ = 3 + 3 • 9

De aquí se tiene

Escójase una x 1 fija en el intervalo

Para cualquier otra x

Demostración

Sea x un punto cercano y sea y dada por y= f(x)

Entonces (y)

- f(xo)

- /(xo) X

cálculo de una variable

Pasando a l'límite se efectúa la demostración

continuidad y diferenclabilidad

EJERCICIOS A 1

Derivar

- S)v'X+3

Supóngase e n cada parte que existe una fun ción derivable dada por y = /(x) Ja cual sa 1isface la ecuación dada

Calcular s'u derivada :

Sea la función

Parece razonable esperar que f'(x) ~ O debe implicar que f es creciente

Este hecho se precisa en el siguiente teorema

6i Teorema

Si f es derivable sobre un intervalo y si f'(x) ~ O e n ese intervalo,

entonces f es estrictamente creciente

Demostración

Sean x 1

E ntonces

por el teorema del valor medio (3

Ahora bien,

donde ¿Es mayor o menor esta estimación

Dar un ejemplo de una funci ón que sea continua en un punto,

cálculo de una variable

Aplicar el Teorema 3

Demostrar que /(x) = x

Encontrar las derivadas laterales [definición (1),

Sección 3

{1 ~e"•

Examinar la X

de manera que f (0) existe pero /'(x)

Definir la función / por

Demostrar que éste es un ejemplo de una función que es derivable en todo punto pero que tiene una derivada no acotada

Encontrar las derivadas laterales [definición_ (2),

Sección

Demostrar que

EJÉRCICIOS B

Definir / por

define una función estrictamente creciente

Calcular

continuidad y diferenciabilidad

Para qué valores de a es derivable f en x = O,

XO en todo J

Demostrar que si /"(x 0 > existe en un punto

entonces ~"(y ) existe donde ~ es la función inversa de / y

dí'nde A,

representa el área de P y A 0 el área de Q

De aquí que,

Aq es una cota inferior para los números A,

Entonces A es una cota superior para los números A 0,

y de aquí que A > ¿J su p A 0

Si resultara que A = d'

entonces se definirá el á rea de nuest ra figura como su valo r común

Si resu ltara que A > d

Todas estas cosas se entenderán mejo r una vez que se haya dado la definición fo rmal de integra l

Los rectángulos así construidos forman un polígono que se encuentra contenido completamente en la figura dada cuya área se desea definir

Cualqu ier definició n razonable de área tend ría el área de este polígono menor que el área de la figura

LEMAS PRE LIMINA RES

E n esta sección desea mos establecer las bases pa ra la definic ión de integ ral de una función f definida en la x bl

Empezaremos por cierta no menclatura y notaciones usua les que se usa rán co nsistentemente en e l'resto de es te capítulo

Nuestra funció n f será una funció n acotada defi nida en / : {a ~x ~1

Demostración

La demostración se deduce inmediatamente a partir del hecho de que Mk mk

Se dirá qu" P': 1Xo'

es un refinamiento de P: f Xo,

X1 • ••• Xn 1 si toda Xk que se encuentre en P también se encuentra en algún punto de P' como un xp'

si P' puede construirse a partir de P distribuyendo puntos d

e partición adicionales entre aquellos que ya se tienen: P':

-x¡ x5 V

Si f está acotada en/: fa~ x ~ hi

y si P y P' son particiones de l

con P' como refinamiento de P,

La primera y última desigualdades se basan en el Lema 4

Para cualquier función acotada f,

la clase de números formada por las sumas superiores tiene como una cota inferior cualquier suma inferior,

la clase de sumas inferiores tiene cualquier suma superior como una cota superior

Por tanto,

Entonces

2g Lema

Si f es una función acotada en I: (a punto intermedio,

f es una función acotada sobre /,

de manera que f es no integrable

Ahora daremos un criterio útil respecto a la integrabilidad,

Esto se cumple para todo ( > O

De aquí que las dos son iguales,

de donde se concluye la integrabilidad

Jc Teorema

Una condición necesaria y suficiente para que una fun· ción f sea integrable sobre/: la 1' x 1' b\ es que para todo (>O exista una partición P para la cual

f es continua en /: la 1' x 1' hl

3b Teorema

Si grable allí

Demostración

Por el Lema 4

pa ra cualquie r selección de los ~k tal que f(~k)

Entonces

EJEMPLO

Calcular

Lªx dx

Si este límite existe se dice que defi ne la integral impropia de f desde a hasta b

Se escribe esto en la misma forma que una integral propia u ordinaria

En forma semejante

Supuesto que la integr

con esto se completa la demostra

Podemos entonces inquirir acerca de la existencia declim

Ahora bien,

- _2€

Solución

El integ rando es monótono y continuo

La existencia de la integral es evidente,

Y puesto que,

la integral es el límite de las sumas de Riemann,

se toma una partición sencilla P: 1O

Ento nces una suma de Riemann,

Sn = I (kª) · (~)n =

Í,f(~k)

- €/(b

por la desigualdad su perior de 1

Entonces,

Si una integral impropia existe,

Las integrales impropias se discuten con algún detalle en el Capítulo 17

Regresaremos brevemente al tema del área

Si fes una funció n positiva e n el interva lo / : lu ~ x ~ hl

se d'efine el área entre la «cu rva» y= f(x),

Jaf(x) dx

{ª¡(x) dx

EJERCICIOS B

E n particula r,

G eneralizando,

Supóngase que f es conti nua en / :

Encontrar /

También encontrar a

puede interpreta rse esta integra l'ibf(x) dx como el área «neta» entre

Evaluar lim

el eje x y la «curva» y /(x): el á rea se toma como positiva cuand o se encuentra arriba del eje x y negativa cua ndo se enc uentra a bajo

- ir o n

Evalua r lim 11- 00

í "/(I)

(SugerO

4Aa Teorema

Si f es integrable sobre ( a ~ x ~ b J

entonces es integrable sobre ( e ~ x ~ d'1 donde ( a ~ e < d'~ b 1- Es decir

f es integrable sobre todo subintervalo

Demostración:

O ¡-(x) = {-J(x) f(x)

4Ae Teorema

Si f y g son integrables sobre /: (a~ x ~ b}

± g(x)] dx =

Como las demostraciones de los tres teoremas anteriores son muy sencillas,

se dejan como ejercicios (Ejercicio 82)

En lugar de aplicar sumas superiores e inferiores,

aplicar sumas de Riemann para aproximar las integrales

Antes de abordar el siguiente teorema es conveniente establecer algunas

Gráfica de ¡y

4f Teorema

Si f es integrable sobre /:

Demostración

Se dará la demostración para /+,

Sea Puna partición de fa~ x ~ bl

Entonces

en cada subintervalo /" estableceremos M1c = sup/(x) M,/ = sup/+(x) l1t

este valor de la fórmula anterior para obtener

Para ver que M1c

m1: M"+

se tiene para toda partición P Ahora

existe una partición P para la cual el miembro izquierdo de esta desigualdad es <

Estas dos últimas desigualdades establecen el teorema

(3) M1:

Por la primera parte de este teorema,

cada producto de la derecha es integrable,

y también lo es el segundo miembro en conjunto,

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Supóngase que f es integrable en /:

Como una inme·

En particular,

entonces esta ecuación se cumple en todos los puntos de l

Una función F con la propiedad de que F'(x) /(x) en todo punto x del se llama primitiva de fo integral indefinida de f

Sb Teorema

Si fes derivable en /: (a ' x ' bj y si f' es integrable entonces

En particular,

Sp(f') =

Podemos =

- f(xk-1)]

La ¡rética de log :e

Demostración

Ya que log x es creciente,

es suficiente el encontrar una sucesión {x,,} tal que x,,

-+ + oo

-+ + oo

Se escoge x,,

la cual tiene esta propiedad (ver Ejercicio Bl)

Ahora bien,

-log 1/x-+

Entonces se obtiene 1 l+x

Demostración

A partir de la definición de log (1

Aquí se hace la restricción de que r sea racional porque se ha definido a• solamente para un r racional (Sección 3

Una de las metas de este capítulo es definir a• para un número real arbitrario x

Teorema

Demostración

En la integral que define log a• se hace la sustitución a•

Demostración

Por el Lema 4

Para todo número racional r

- log b

Demostración

Este teorema se demuestra mediante los Teoremas 5

-Jog 1/a

Una vez establecidas las propiedades más importantes del logaritmo

procederemos a discutir la función exponencial

Esta función se denotari por exp x hasta que pueda justificarse el decir que exp x = ez

Hemos visto que log x tiene como su dominio de definición el intervalo semi-infinito {O< x < ro},

que es continua y estrictamente creciente

y que su rango es {- oo < x < oo}

Por lo tanto,

tiene una función inversa continua única cuyo dominio es {- oo < x < oo} y cuyo rango es {O < x < oo}

Los valores de esta función inversa se denotan por exp x

Procederemos a obtener las propiedades más importantes de esta función

2a Teorema

En forma más general

se define solamente para x racional

Además

para tal x racional se tiene log a' = x log a,

y tomando exponenciales de ambos miembros se obtiene

Demostración

Una demostración de este teorema simplemente reitera que el rango de la función exponencial es ( O < x < oo J

2b Teorema

2c Teorema

Demostración

porque no se ha definido e para x irracional

2d Teorema

Demostración

De acuerdo con el Teorema 3

acerca de la derivación de funciones inversas

Demostración

Hágase a exp x,

Entonces x y= log b,

10 ' •

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de Ja función exponencial

Ya que se han establecido las propiedades necesarias de la exponencial

el estudio usual de las funciones hiperbólicas puede considerarse como implicado y no es necesario que se repita aquí

EJERCICIOS A

= x para x >O y log e'= x para toda x

Demostrar que: (a) az > O (d) (w)i(a

Pero esta última función es una función continua para todos los valores de x

De aquí que e' 1" 11 " se interpola entre los valores previamente definidos de a'

De acuerdo con esto se define a' para toda x por Ja fórmula

Explicar por qué

Tomando exponenciales de ambos miembros se obtiene ab exp (x + y}

2f Teorema

Demostración

La demostración de este teorema es semejante a la del Teorema 5

Ahora es evidente que la función exp x es y una función continua que coincide con e' siempre que x sea racional

siempre que e"' tenga un significado

Puesto que la función es continua

se interpola entre los valores de e"' los cuales están definidos para x racional

Gráficamente esto significa que si se sitúan en un sistema coordenado los puntos y= e' para x racional

entonces la curva y exp x es una curva suave que pasa por todos estos puntos

De acuerdo con esto

se La gráfica de exp :e define e' para x irracional como exp x:

2e Teorema

Demostrar que dx rr

Demostrar que dx x°

Demostrar que log e( = x log " si u

Demostrar que lim

Demostrar que J:m 8

Si /(x)

tanto f como g son derivables,

Empezaremos por considera r el círcu lo indicado por x 2 + y2 = l

En principio

nos referiremos únicamente al semicirculo de la derecha dado por

Sea L'una función definida para toda x > O para la cual L'(xy) = L'(x)

L(l + x) y J1m =l

Demost rar que L(x) = log x para toda x O

LAS FUNCIONES CIRCULARES

En esta sección no se sigue la secuencia usual teorema-demostración ya que parece preferible otro tipo de presentación

Las funciones ci rculares

-es dec ir

las funciones trigonométricas ordinarias- por costumbre se definen en cursos elementales exclusivamente

y) es un punto sobre este semicirculo de la derecha

se desea discutir acerca de la longitud de arco a lo largo de la circu nferencia desde P0 ( 1,0) hasta P Con este objeto se aplica rá la fó rmula para la longi tud de arco aprendida en el cálculo elemental,

(En el Capítu lo 8 se discutirá la longi tud de arco y se establecerá esta fó rmula

Esta fórmuJa define la Jongitud de arco en el intervalo abierto 1- 1 N

- xml < 11

O x >O 0

1 se tiene

Demostrar que tx,

(Su1fert•11du: D:mostrar la convergencia,

suponiendo que {x"} es acotada

Para demostrar que es acotada

entonces aplique el Ejercicio 87 de la Sección 2

- /(x')I

Sea r,,

el cuando n se divide entre 1O

Encontrar todos los puntos limite de las siguientes sucesiones: (a) {rn + 1/n} (h) {rn/4 + 1/3"}

Encontrar todos los puntos límite de las siguientes funciones en x = O:

-c11 +1

Probar el criterio de Cauchy para la convergencia en + :ic

Sea /(x) definida para x

: x 0 • Una condición necesaria y suficiente para que lim f (x) exista es que para todo f

O exista un X(f

nrr + sen2 + (-l)n + friJ} residuo entero (0 < r n N

Desafortunadamente,

esto no prueba que el límite existe

la condición E· debe satisfacerse para todo m y n > N

Solamente se ha demostrado para un m muy especial,

A continuación se dará una demostración correcta

límites superior

Supóngase que (I,,} es una sucesión de intervalos no vacíos,

cerrados y acotados cada uno de Jos cuales está contenido en el precedente

Demostrar que si la longitud de In tiemb a cero con n,

existe exactamente un punto contenido en todos los intervalos

(Ver la demostración del Teorema 6

LIMITE SUPERIOR Y LIMITE INFERIOR

Hemos visto que una sucesión fxn} que no tiene límite puede tener muchos puntos límite

Considérese que {xnl tiene puntos límite y sea C el conjunto de los puntos límite de lxnl

Se desea examinar las cotas de este conjunto de puntos C

De hecho

C no necesita estar acotado (ver

Ejercicio 81 ),

pero nos referiremos principalmente a los casos donde está acotado,

Supóngase que una sucesión dada (xnl está acotada superiormente Y tiene puntos límite

Entonces C asimismo está acotado superiormente (¿por qué

C tiene un suprémum,

Este número,

recibe el nombre de límite superior de la sucesión l~J y se expresará por

A= limsup x,

puede decirse que lim sup Xn existe y es finito

Cuando se aplica una de

deberá puntualizarse específicamente que se está usando la forma extendida o impropia

Tal vez la propiedad más importante de estos números A y

\ se describe en el siguiente teorema

A grandes rasgos,

se dice que para todo ( > O todos los Xn de una sucesión (excepto un número finito)

Teorema

Sea fx,,J una sucesión para la cual A es finito

Entonces

para todo O existe un N 1( N para el cual x,,

Entonces existe una subsucesión {xn

Entonces,

existe un N (tómese N como el mayor de N 1 y N 2 de ese teorema) tal que A-

Supuesto que A = A

esto puede escribirse nuevamente como 1x,,

El límite superior de una función en un punto puede definirse en forma

límites y continuidad

f está acotada superiormente en una vecindad de a,

sup /(x) o bien lim f(x) se define como el suprémum de los puntos límite de f en a

Si dice que

EJERCICIOS C

Dadá una sucesión {x"},

no está acotada superiormente en toda vecindad de a,

Sea f definida en una vecindad de a,

De la misma manera se define Iim infJ (x) o bien lim f (x),

Iim inf f(x)

propiedades de las funciones continuas

(a) Jim sup f (:r) = lim [ sup f {z) z-a

El conjunto S no es vacío porque

Calcular lim sup f (x) y lim inff (x) para las siguientes funciones: :r-+O

Teorema

Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado /: la ~ x ~ h 1

Definamos

- • X

EJERCICIOS B l

Demostrar que el conjunto de puntos límite de

-1 1 sen

Probar los Teoremas 6

Se desea demostrar que Co = b

Supóngase que no es así

Entonces también en Cu existe un intervalo feo

por un argumento de continuidad semejanté

Y supuesto que Co

esto contradice la definición de lo tanto,

Co b y f está acotada en /

Ahora abordaremos la demostración de que una función continua al· canza un máximo sobre un intervalo acotado cerrado

4b Teorema

Si fes continua en un intervalo acotado cerrado x ~ b},

entonces existe un punto x 0 en I para el cual

Demostración

Por el Teorema 6

De aquí que M sup /(x) existe

Supóngase que no existe punto en I para el cual

Entonces M

Esto implica

que 1 M-f(x) es continua allí

Una vez más

X 2 ] se tiene

El punto a en el cual se está calculando el límite tiene que ·expresarse explícitamente como se indica arriba,

o bien hacerse notar en alguna forma

Calcular lim

Aquí el símbolo ,

indica el paso en el cual se aplicó la regla de l'Hospital

la flecha indica el paso hacia el límite

Se deja al estudiante el verificar que es aplicable la regla de l'Hospital

Tener cuidado en evitar expresiones disparatadas tales como di

- log b

- cos x x2

- cos x ,

es necesaria la aplicación repetida de la regla

Calcular lim · x3 • r-o

Se puede evaluar el mismo límite por la regla de l'Hospital:

Ya que esto es verdadero para todo M

El nuevo símbolo también es útil para eliminar factores de límites conocidos

como se ilustra en el siguiente ejemplo

Calcular lim x2 • :-o Solución:

Si se mantiene h fijo

se ve que existe un x~ tal que

de modo que x > b > X 1 • Aplicando el teorema del valor medio de Cauchy al intervalo desde b hasta x,

se ve que existe fJ entre b y x tal que

En lugar de escribir los símbolos de límite a cada paso del cálculo de un límite

para la regla de l'Hospital es conveniente usar el símbolo rv

el cual Se lee «tiene el mismo límite que»

Así la ecuación

Solución:

Ahora bien,

lím /(z) = Iím f'({J)

!····

fórmula de Taylor con residuo

Solución:

ooo grande o pequeño para toda x grande

-sen x ,_

La hipótesis debe satisfacerse en cada aplicación para poder aplicar la regla repetidamente

EJEMPLO

Sea f derivable en fx > x0 }

y supóngase que /'(x)--+ A conforme x--+ x

Demostrar que f(x)/ x-+ A conforme x-+ x

Sea f derivable en fx x 11 },

y supóngase que /(x)--+ A y /'(x)--+ 8,

Si f es derivable en {x x 0 } y /(x) que /(x)

Considérese que f tiene n derivadas continuas en {x > x 0 }

y supóngase que f(x)lx"-+ A y /'" 1(x)-+ B conforme x-+ oo

Evaluar B en términos de A y n

=¡- para J < k < n

Calcular los siguientes límites: (b) lim

Supóngase que f y g son continuas y tienen derivadas continuas hasta el n-ésimo orden en una vecindad de a

Supóngase que f y g y sus primera~ (n

Demostrar que conforme x

Conciliar el comportamiento de estos ejemplos con la regla de

Solución:

Iim (tan x)••n 2z

EJEMPLO 5

Calcular Iim (cos z)tlr

- coskx

Comparar el comportamiento de /(x)/ g(x) y /'(x)/g'(x) en los siguientes casos:

Si f está definida en una vecindad de a,

f es continua allí y /"(a) existe,

Entonces,

EJERCICIOS B

puesto que el logaritmo es una función continua

Calcular lim (1 +

Solución:

FORMULA DE TAYLOR CON RESIDUO

Se sabe que e' tiene el valor 1 cuando x O

uno podría razonablemente pregun~r ¿qué tan pró~imo se encuentra e"- a 1 cuando x es pequeño

? ¿Es la diferencia aproximadamente de la magnitud

propiedades de las funciones diferenciables

fórmula de Tay/or con residuo

? El teorema del valor medio proporciona un indicio,

Por tanto,

para x pequeña debe tenerse p aún menor,

de manera que eB está cercano a 1 y e'

En efecto,

de acuerdo con la regla de l'Hospital

----e~~1

El valor de n con el cual se termina este proceso depende de lo que se termini primero,

el número de derivadas disponibles o nuestra paciencia

Pero en ningún lugar (a menos que f sea un polinomio) seremos capaces de terminar el proceso y obtener una igualdad entre f y el polinomio de aproximación en un intervalo

De aquí que se tienen las alternativas de continuar indefinidamente,

como se hará cuando estudiemos las series infinitas

o detenerse después de un número finito de términos y escribir un término de corrección: 1 f (x) = f (a)+ f'(a)(x

- f"(a)(x

se tiene que e-z es aproximadamente igual a 1 + x cuando x es pequeño

Una vez más

puede inquirirse acerca de qué tan próximo es e' a 1 + x para una pequeña x

Comparemos la diferencia con x 2 • Aplicando otra vez la regla de l'Hospital

donde se aplica ( 1) en el último paso de (2)

Esto sugiere que se compare la diferencia entre e~ con xª: ez

- (1 + x +

¡(a)(x

Esta expresión se conoce como la fórmula de Taylor con residuo,

la cual puede establecerse para cualquier función que tenga n derivadas

El residuo Rn+i es simplemente la diferencia entre f y el polinomio de aproximación

La forma y la magnitud de este residuo es la que nos interesa ahora

En particular,

estamos interesados en la información acerca de Rn+1 que nos ayudará a determinar la proximidad entre el polinomio y f

Empecemos con el siguiente teorema

3a Teorema

Sean f y sus primeras n + 1 derivadas continuas en un intervalo cerrado l: {e ~ x ~ d}

Entonces,

se tiene f (x) = f (a) + f'(a)(x

donde se aplica (2) en el último paso de (3)

Es evidente que podría continuarse

Fácilmente pueden repetirse estos cálculos con cualquier función / suficientemente derivable en cualquier punto a

El teorema del valor medio sugiere que se compare /(x)

En verdad

la existencia de una derivada requiere que sean comparables:

Demostración

Esta expresaon

Por el teorema 4

Integremos por

¡(a)(x

Con lo cual se obtiene

Lzf"(tXx a) + Lz f"(t)(x

- t>[ +

Repitiendo la integración por partes,

derivando en cada ocasión a la derivada de f e integrando la potencia de (x

se llega por inducción a la fórmula establecida

fórmula de Tay/or con residuo

se cancela con f'(t) del término precedente y con uno de Jos términos del que le

Así se obtiene

Jb Corolario

Bajo Ja misma hipótesis de Ja proposición 7

de acuerdo con que f'(a) mínimo es semejante

Demostración

Considérese el caso de un máximo

Escójase cualquier x en J

Supóngase que x < f3

Entonces

por el teorema del valor medio (3

existe un punto o: con x < a < f3 tal que

Demostración

Supuesto que /'" 1(x) es continua y diferente de cero en p

~xiste una vecindad N de f3 en la cual no es cero y en la cual su signo es el mismo que el signo de /'" 1(/3)

sea x cualquier punto en N diferente de {3

Entonces,

de acuerdo con la fórmula de Taylor

Invirtiendo las desigualdades referentes a las derivadas

se tiene un mínimo débil o un mínimo estricto de acuerdo con que se tengan desigualdades débiles o estrictas

Evidentemente

Con base en este teorema se puede deducir la prueba usual de la segunda derivada para los puntos extremos

Sin embargo

la pasaremos por alto e iremos directamente hacia Ja prueba de la n-ésima derivada

Calculo Capacidad de Carga Cimentaciones Superficiales

CIMENTACIONES SUPERFICIALES

PDF guía práctica para el cálculo de capacidad de carga en biblioteca usac edu gt tesis 08 08 3004 C pdf PDF CAPACIDAD DE CARGA EN SUELOS 1 DICyG UNAMdicyg fi c unam mx ~rrc lib exe fetch php?id capcargav1

CALCULO CISTERNA Y TANQUE ELEVADO UGEL.xls

INSTRUCTIVO TÉCNICO - Minedu

Calculo Con Trascendentes Tempranas - 7ma Edición - C. Henry Edwards, David E. Penney

CÁLCULO UNA VARIABLE - Cursos UNAL

chehadifeldgod firebaseapp B01FWLYYIK pdf Hiszpański Miękka 2016 752 str Calculo Integral Con Funciones Trascendentes Tempranas Ph D Jorge Saenz 9789806588073 Editorial Hipotenusa 5 Nov 2016 En esta nueva edición de Calculo Diferencial con Funciones Trascendentes

Calculo Costo Horario Motoniveladora

COSTOS DE POSESIÓN Y OPERACIÓN DE MAQUINARIA PESADA

PDF Costo horario de 3 vivienda gob pe COSTO 20HORARIO 20DE 20MAQUINARIA pdf PDF “Programa para el cálculo de costos horarios de maquinaria una biblioteca2 ucab edu ve anexos biblioteca marc texto AAS3878 pdf PDF catalogo costos horarios

Calculo de Adelanto de Materiales

CONTRATACIÓN DE OBRAS PÚBLICAS - portaloscegobpe

transparencia mtc gob pe idm docs directivas 1 0 1960 pdf de ejecución de obra, acorde al calendario de adquisición de materiales y de acuerdo a lo indicado en las bases 6 2 2 No procederá el otorgamiento del adelanto de materiales o insumos en los casos

Calculo de Adelanto de Materiales

contratación de obras públicas - Osce

PDF Untitled Contraloria apps contraloria gob pe Adelanto documento20171130145101 pdf PDF directiva n° 015 2017 gaf mpsm lineamientos para el otorgamiento mpsm gob pe architrans directivas directiva 015 2017 gaf pdf PDF Adicionales de

Calculo de Antenas 4ta Edicion

antena dipolo horizontal o en v invertida de 4 bandas - EA1UROCOM

PDF teoría de antenas La Salle | Campus Barcelona salleurl edu semipresencial ebooks ebooks ebook teoria antenas pdf PDF Untitled esimetic ipn mx Estudiantes 32CALCULODEANTENAS pdf PDF Sistemas de Comunicaciones Electrónicas, 4ta Edición

Calculo de Bajadas Pluviales-techos.pdf.

Captación y almacenamiento de agua de lluvia - Food and

PDF Tramo Área (m2) gob mx cms uploads file Capitulo6 9prohtab pdf PDF Criterios de cálculo valgroup es carac 25038201 pdf PDF Bajantes pluviales Técnicas en la Construccióntecnicasenlaconstruccion weebly plano de

calculo de bandas

TRANSMISIÓN POR CORREAS Unidad 2 Elementos de Transmisión

clientes bcsoporte tecniband wp content uploads limitar la selección de las bandas de reposición Las poleas con los diámetros correctos contribuyen a prolongar la vida del empalme y de la banda Motor de la transmisión Se requiere conocer los datos de placa del motor como

Home back Next
<