PDF- -Novo Espaço – Matemática A, 12º ano - Caderno de Testes Mat 12º Ano

Preparação para Exame~

Description

MATEMÁTICA 12

CADERNO DE TESTES MATEMÁTICA A | 12

º ANO Luzia Gomes Daniela Raposo Consultor Científico Filipe Carvalho

Consultor Pedagógico José Maria Antunes

Testes com estrutura idêntica à do exame s7 testes cumulativos s2 testes globais

Apresentação A matemática nunca deixa completamente de ser um jogo,

embora possa ser muitas outras coisas Miguel de Guzmán Este Caderno de Testes pretende ser um instrumento de trabalho para os alunos do 12

º ano de escolaridade,

num ano determinante das suas vidas

Além de ¿nalizar todo um ciclo de estudos,

é um ano que culmina num exame nacional,

sendo uma preocupação dos alunos,

dos professores e até dos encarregados de educação,

também foi uma atenção constante ao longo de todo este caderno

Mais do que um livro de exercícios,

simulando momentos de avaliação,

onde os conteúdos a avaliar vão sempre surgindo de forma cumulativa,

sendo os dois últimos testes globais

Todos os testes incluem itens de seleção (escolha múltipla) e itens de construção que envolvem resolução de problemas,

desenvolvimento de raciocínios demonstrativos,

uso obrigatório de calculadora grá¿ca e composição,

itens de presença comum em todos os Exames Nacionais dos últimos anos

Cada teste contém: – matriz de conteúdos

– critérios especí¿cos de classi¿cação

– exemplos de resposta e proposta de cotação

É nossa convicção de que os alunos devem ter um papel ativo no seu processo de aprendizagem

cada teste apresenta critérios especí¿cos de classi¿cação e exemplos de possíveis respostas e proposta de cotação,

que pensamos ser uma mais-valia para a autoavaliação do aluno,

já que permitem um feedback da sua evolução e que motivam os alunos para querer ir sempre mais além

Bom trabalho

ÍNDICE

Teste n

Teste n

Enunciado

Enunciado

Proposta de resolução

Proposta de resolução

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Teste n

Teste n

Enunciado

Enunciado

Proposta de resolução

Proposta de resolução

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Teste n

Teste Global n

Enunciado

Enunciado

Proposta de resolução

Proposta de resolução

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Teste n

Teste Global n

Enunciado

Enunciado

Proposta de resolução

Proposta de resolução

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Critérios especí¿cos de classi¿cação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Exemplos de resposta e proposta de cotação

Teste n

º 5 Matriz

Critérios Gerais de Classi¿cação

Enunciado

Formulário

Proposta de resolução

Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N

Matriz Duração: 90 minutos

Tipologia,

número de itens e cotação:

Número de itens

Cotação por item (em pontos)

Escolha múltipla

Resolução de problemas

15 a 20

Raciocínio demonstrativo

Resposta extensa (composição)

Tipologia de itens Itens de seleção

Itens de construção

Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição frequencista de probabilidade > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Distribuição de probabilidades > Distribuição normal e curva de Gauss > Análise combinatória

Matemática 12 | Caderno de Testes

Teste n

º 1 Matemática A Duração do teste: 90 minutos 12

º Ano de Escolaridade

GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla

Em cada um deles,

são indicadas quatro opções,

das quais só uma está correta

• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item

• Se apresentar mais do que uma alternativa,

a resposta será classi¿cada com zero pontos,

o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível

Um código é constituído por seis algarismos

Quantos códigos diferentes existem em que o algarismo 5 aparece exatamente três vezes e os restantes algarismos são diferentes

(B) 14 580

(C) 10 080

(D) 14 400

Num saco existem vinte bombons,

indistinguíveis ao tato: oito de chocolate negro (sendo cinco com recheio de licor e três com recheio de morango) e doze de chocolate branco

O Pedro tirou,

um bombom com recheio de licor e comeu-o

A seguir,

a Maria pegou num bombom de chocolate negro

Qual é a probabilidade de o bombom ser o seu favorito,

(B) 5 * 3 8 7

(C) 2 19

No prisma hexagonal regular da ¿gura estão representados três vértices A,

Considere todas as retas distintas que contêm as arestas do prisma

Qual é a probabilidade de escolhendo ao acaso uma dessas retas esta ser estritamente paralela ao plano ABC

Matemática 12 | Caderno de Testes

(B) 4 9

(C) 2 9

(D) 5 9

TESTE N

O Rui pratica salto em comprimento

O seu treinador fez um estudo sobre os resultados obtidos por ele no último trimestre e veri¿cou que o comprimento,

é uma variável aleatória bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 8

Sabe-se que P(8 < X < 8,2) = 0,4

Para um certo valor de a,

Qual é o valor de a

(B) 7,9

(C) 7,6

(D) 7,8

Seja 1 o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A,

B e C três acontecimentos possíveis de 1 tais que: • A e B E C são acontecimentos equiprováveis e incompatíveis

Qual é o valor de P [A F (B E C)]

(B) 0,4

(C) 0,65

(D) 0,8

GRUPO II

• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara,

indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justi¿cações necessárias

não é pedida a aproximação,

pretende-se sempre o valor exato

Seja 1 o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória

Sejam A e B dois acontecimentos possíveis e não certos

Prove que P(A | B) * P(B)

Numa turma cada aluno tem apenas uma calculadora grá¿ca

Sabe-se que: • apenas metade dos alunos trouxe a calculadora para a aula

• sete em cada dez alunos que trouxeram a calculadora para a aula têm a marca Texas

• um em cada dez alunos que se esqueceram da calculadora têm a marca Texas

Escolhe-se,

um aluno que se sabe ter uma calculadora da marca Texas

Qual é a probabilidade de ele não ter trazido a calculadora para a aula

? Apresente o resultado sob a forma de percentagem

São retiradas simultaneamente duas cartas de um baralho de 40 cartas

Por cada Ás que ocorra há um prémio de 2 euros

Considere a variável aleatória X,

Construa uma tabela representativa da distribuição de probabilidades da variável aleatória X

Apresente os resultados na forma de fração irredutível

Nota: Apresente todas as justi¿cações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos valores das probabilidades

Matemática 12 | Caderno de Testes

Sendo + o valor médio e m o desvio-padrão da distribuição,

Apresente o resultado na forma de fração irredutível

(Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios,

utilize no mínimo duas casas decimais

) NOTA: Caso não tenha conseguido resolver a alínea anterior,

considere a seguinte distribuição de probabilidades para X:

P(X = xi)

101 130

Considere o seguinte problema: Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas,

repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas,

De um baralho completo extraem-se,

sucessivamente e sem reposição,

Qual é a probabilidade de haver apenas quatro cartas do naipe de espadas

duas respostas a este problema

Resposta II:

A1 * 13A4 52 A5

Apenas uma das respostas está correta

Elabore uma composição na qual: • identi¿que a resposta correta

• explique um raciocínio que conduza à resposta correta

• proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta,

a razão da alteração proposta

Sete automóveis diferentes estão estacionados num parque de estacionamento de dez lugares que tem o seguinte aspeto:

Quantas são as maneiras possíveis de estacionar

O Nuno,

pretende estacionar de modo a que o seu automóvel não tenha automóveis ao lado

Quantas são as diferentes con¿gurações que permitem satisfazer a vontade do Nuno

Numa turma com vinte alunos,

com mais raparigas do que rapazes,

o número de comissões diferentes,

para organizar um jantar de Natal,

que é possível formar com dois alunos do mesmo sexo é 91

Determina o número de rapazes da turma

Matemática 12 | Caderno de Testes

Cotações Grupo I

Cada resposta certa

Grupo II

Matemática 12 | Caderno de Tarefas

Proposta de resolução 5

Sabe-se que:

GRUPO I

P(B  C) = P(B) + P(C)

Logo: 0,6 = 0,45 + 0,35

P(B  C) = 0,2

Como A e B E C são acontecimentos equipro-

Resposta (C)

váveis e incompatíveis vem que: 2

Sabendo que o Pedro já comeu um bombom com recheio de licor,

sabe-se que apenas restam sete bombons de chocolate negro,

P [ A (B  C)] = P( A) + P(B  C) = 0,2 + 0,2 = 0,4 Resposta (B)

quais quatro são de licor e três são de recheio

GRUPO II

a Maria retirou um bombom que era de chocolate negro,

então a probabilidade de esse bombom ter recheio de morango é de 3

As retas distintas que contêm as arestas do prisma são dezoito

dentro destas existem oito que são estritamente paralelas ao plano ABC

P A | B * P(B)

P A B P(B)

o valor da probabilidade pedida é 8 = 4

Considere os acontecimentos: A: “o aluno tem a calculadora na aula” T: “o aluno tem uma calculadora da marca

Esquematicamente,

Texas” Sabe-se que:

0,1 7,8

Resposta (D)

Matemática 12 | Caderno de Testes

7 10 1 10

TESTE N

Pretende-se determinar P(A | T)

Com os dados do enunciado,

que correspondem à saída de 0,

P(T  A) 7 § = 0,7 • P(T | A) = P( A) 10

P(T  A) = 0,7 0,5 § P(T  A) = 0,7 * 0,5 §

P(T  A) = 0,35

P TA 1 § = 0,1 10 P A

P( X = 2) = P( X = 4) =

P( X = 0) =

a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é:

P T  A = 0,1* 0,5

P(X = xi)

Organizando os dados numa tabela,

Cálculo auxiliar: P(T) = P(T E A) + P(T E A) = 0,35 + 0,05 = 0,4 Da tabela,

P A|T =

P TA P(T )

P A | T = 12,5%

como se pretende o cálculo de P(X > + + m),

tem-se que: P ( X > 0,4 + 0,84) = P ( X > 1,24) = P ( X = 2) + P ( X = 4 ) 12 1 + 65 130 25 = 130 5 = 26 =

São retiradas simultaneamente duas cartas de um baralho de 40 cartas

Por cada Ás que ocorra há um prémio de 2 euros

Sendo que a variável aleatória X representa o ganho,

A resposta correta é a I

Segundo a regra de Laplace,

a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse

Matemática 12 | Caderno de Testes

acontecimento e o número de casos possí-

• ou o Nuno estaciona em qualquer um dos

quando os acontecimentos elementares

oito lugares que não os dos extremos e,

são equiprováveis

a resposta I apresenta como casos possíveis

já que existem

A5 maneiras T X T

sucessivamente e sem reposição,

cinco cartas de um baralho de cinquenta e duas cartas

Os casos favoráveis são 39 * 13C4 * 5

con¿gurações que permitem satisfazer a von-

existem 39 maneiras diferentes de escolher

uma carta que não seja do naipe de espadas,

e por cada uma destas maneiras existem 13C4 maneiras de formar conjuntos de quatro cartas do naipe de espadas

Seja n o número de rapazes da turma

Pretende-se determinar n tal que:

juntos (cinco cartas sendo apenas quatro do

! maneiras diferentes de as cartas se encontrarem ordenadas

A resposta II ¿caria correta se o número de casos favoráveis alterasse para 39A1 * 13A4 * 5,

pois existem 39A1 maneiras diferentes de esco-

lher uma carta que não seja do naipe de espadas

por cada uma destas maneiras existem 13

A4 maneiras diferentes de se extrair,

mas de posicionar a carta que não é do naipe

- 1) ( n

A7 = 604 800 maneiras

existem 2 * 8A7 maneiras de o fazer

Matemática 12 | Caderno de Testes

- n) (19

- 4 * 99 2

20 ¿ 2 2

Existem dois tipos de casos diferentes: • ou o Nuno estaciona no primeiro ou no último

- n) (19

- n) (18

- n + 380

entre as treze existentes do naipe de espadas,

e por cada um destes casos existem cinco for-

C2 + 20-nC2 = 91

A turma tem nove rapazes,

pois sabe-se que a turma tem mais raparigas do que rapazes

TESTE N

Critérios especí¿cos de classi¿cação GRUPO I

Cada resposta certa

Respostas

GRUPO II 1

• de¿nição de probabilidade condicionada

• relação da probabilidade de um acontecimento com a do seu contrário

• probabilidade da reunião de acontecimentos

A classi¿cação a atribuir deve estar de acordo com o seguinte critério: O aluno prova corretamente o pretendido

2 pontos

vamos designar por A o acontecimento “o aluno ter a calculadora na aula” e por T o acontecimento “o aluno ter uma calculadora da marca Texas”

Interpretar P(T | A) = 1

as etapas deverão ser pontuadas segundo procedimentos análogos aos apresentados

5 pontos

A) Identi¿cação da resposta correta

B) Explicação do raciocínio que conduz à resposta correta

C) Proposta de alteração na expressão da resposta incorreta,

D) Explicação,

da razão da alteração proposta

Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N

A composição contempla corretamente os quatro pontos (ver nota)

considera-se que identi¿cou a resposta correta e portanto o ponto A está contemplado

no que respeita à escrita da expressão,

e a pontuação a atribuir em cada caso: 10

A7 (ou equivalente)

13 pontos

C7 (ou equivalente)

5 pontos

Outras situações

e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos

no que respeita à escrita da expressão,

e a pontuação a atribuir em cada caso: 2 * 8A7 + 8 * 7

A7 (ou equivalente)

3 pontos

0 pontos

Nota 2 A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão escrita pelo aluno,

e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos

4 pontos

Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N

Exemplos de resposta e proposta de cotação O aluno não indica corretamente os valores

GRUPO II

que a variável aleatória X pode tomar mas calcula corretamente os valores das probabilida-

P A | B * P B

apesar de não os apresentar na forma de fração irredutível

Cotação a atribuir

A resposta correta é aquela onde aparece como número de casos possíveis

já que

A5 maneiras diferentes de se extrair,

sucessivamente e sem reposição,

cinco cartas de um baralho de cinquenta e duas cartas

Os casos favoráveis são 39 * 13C4 * 5

Observa-se que o aluno utiliza erradamente a de¿nição de probabilidade condicionada mas,

utiliza corretamente uma das leis de De Morgan,

a relação da probabilidade de um acontecimento com a do seu contrário e a probabilidade da reunião de acontecimentos

O aluno utiliza corretamente apenas três itens

existem 39 maneiras diferentes de escolher uma carta que não seja do naipe de espadas,

e por cada uma destas maneiras existem 13C4 maneiras de formar conjuntos de quatro cartas do naipe de espadas

por cada um destes conjuntos (cinco cartas sendo apenas quatro do naipe de espadas) existem 5

! maneiras diferentes de as cartas se encontrarem orde-

Cotação a atribuir

10 pontos

A outra resposta ¿caria correta se o número de

Só podem sair 0,

casos favoráveis alterasse para 39A1 * 13A4 * 5

de duas cartas de um baralho de 40 cartas

pois existem 39A1 maneiras diferentes de esco-

lher uma carta que não seja do naipe de espa36

por cada uma destas maneiras existem

A4 maneiras diferentes de se extrair,

144 = 780

entre as treze existentes do naipe de espadas e por cada um destes casos existem 5

ras de as cinco cartas permutarem entre si

Nesta composição,

mente o raciocínio que conduz à resposta xi

apesar de não a identi¿car explicita-

P(X = xi)

630 780

144 780

percebe-se pelo texto que considera como correta a resposta I

Matemática 12 | Caderno de Testes

Propõe uma alteração na expressão da resposta incorreta,

e portanto a razão da alteração proposta não é válida

A composição contempla corretamente apenas dois pontos

Cotação a atribuir

Seja r o número de rapazes da turma e m o número de raparigas,

C2 + mC2 = 91

- r + m2

- m = 91 2

- r + m2

- 182 = 0

O aluno equaciona corretamente o problema e desenvolve as duas expressões que envolvem combinações corretamente,

C2 em vez de

C2 tenha

diminuído o grau de di¿culdade

Obtém,

º grau mas com duas incógnitas e,

também se veri¿ca uma diminuição do grau de di¿culdade nesta etapa

Cotação a atribuir

Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N

Matriz Duração: 90 minutos

Tipologia,

número de itens e cotação:

Número de itens

Cotação por item (em pontos)

Escolha múltipla

Resolução de problemas

15 a 20

Raciocínio demonstrativo

Resposta extensa (composição)

Tipologia de itens Itens de seleção

Itens de construção

Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição frequencista de probabilidade > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Distribuição de probabilidades > Distribuição normal e curva de Gauss > Análise combinatória > Triângulo de Pascal > Binómio de Newton > Modelo binomial

Matemática 12 | Caderno de Testes

Teste n

º 2 Matemática A Duração do teste: 90 minutos 12

º Ano de Escolaridade

GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla

Em cada um deles,

são indicadas quatro opções,

das quais só uma está correta

• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item

• Se apresentar mais do que uma alternativa,

a resposta será classi¿cada com zero pontos,

o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível

Uma determinada operadora de telemóveis realizou uma sondagem sobre o consumo mensal de minutos dos seus clientes

Admita que o número de minutos gastos é uma variável aleatória que é bem modelada por uma distribuição normal de valor médio igual a 150

Em relação aos inquiridos,

pode a¿rmar-se que são equiprováveis os acontecimentos: (A) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 150 minutos”

(B) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”

(C) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”

(D) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 190 minutos”

Escolhido aleatoriamente um elemento da linha n do triângulo de Pascal,

a probabilidade de esse elemento ser igual a 1 é 1

TESTE N

Numa noite sete amigos decidiram ir ao cinema juntos

Cada um escolheu,

um de entre os sete ¿lmes em exibição

A probabilidade de quatro quaisquer amigos escolherem o mesmo ¿lme e os restantes escolherem três ¿lmes diferentes é: (B) 120 76

(A) 600 75

(C) 150 74

(D) 600 76

Na ¿gura estão representadas oito ¿chas de um jogo,

Escolhe-se,

uma dessas ¿chas e o número nela inscrito

Considera os seguintes acontecimentos associados a esta experiência aleatória: A: “o número da ¿cha escolhida é um número primo”

B: “a ¿cha escolhida é um triângulo”

Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A | B)

(B) 3 4

(C) 2 3

(D) 1 2

A estatística revela que o futebolista Tó Pé Rápido falha 20% dos lances de grande penalidade que executa

Num treino,

ele vai executar uma série de seis grandes penalidades

Qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a 1

? (A) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos quatro grandes penalidades

(B) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos cinco grandes penalidades

(C) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo quatro grandes penalidades

(D) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo cinco grandes penalidades

GRUPO II

• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara,

indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justi¿cações necessárias

não é pedida a aproximação,

pretende-se sempre o valor exato

A Clara apenas confeciona bolos com dois recheios: chocolate ou morango

A quantidade de bolos com recheio de chocolate que confeciona é o quádruplo da quantidade de bolos com recheio de morango

Da sua experiência,

sabe-se que 10% dos bolos com recheio de chocolate e 15% dos bolos com recheio de morango apresentam peso signi¿cativamente inferior ao estabelecido

Suponha que encomendou à Clara um bolo e veri¿cou em casa que pesava bastante menos do que o indicado

Qual é a probabilidade de ele ter recheio de morango

? Apresente a resposta sob a forma de percentagem arredondada às unidades

Matemática 12 | Caderno de Testes

Seja 1 o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória

Sejam A e B dois acontecimentos (A ƒ 1 e B ƒ 1),

ambos com probabilidade diferente de zero

Prove que: P( A B) < P( A | B) * P(B) § P( A) < P( A | B) 3

Num saco estão dezasseis bolas numeradas,

Das dezasseis bolas do saco,

dez bolas são azuis e seis bolas são vermelhas

Suponha que se retiraram,

Determine a probabilidade de as bolas azuis ¿carem juntas

Apresente o resultado na forma de dízima,

Suponha agora que se retiram do saco,

Sabendo que se retiram bolas das duas cores,

determine a probabilidade de se retirar mais bolas azuis do que bolas vermelhas

Apresente o resultado na forma de dízima,

Considere o seguinte problema: Quantos números naturais ímpares inferiores a 1000 não têm dois algarismos iguais

? Uma resposta correta a este problema é 5 + 8 * 5 + 82 * 5

Numa composição,

Na ¿gura está representado,

um prisma hexagonal regular [ABCDEFOPQRST]

Sabe-se que: • a base inferior do prisma está contida no plano xOy

• o eixo Oy contém a aresta [OP]

• o eixo Oz contém a aresta [OA]

Escolhe-se,

uma aresta do prisma perpendicular ao eixo Oz

Qual é a probabilidade de essa aresta ser estritamente paralela ao eixo Oy

? Apresente o resultado na forma de fração irredutível

Os pontos assinalados são os vértices do polígono

Considere agora que se assinalam outros n (n å b) pontos na face [ABPO] de maneira a que nunca haja três pontos colineares

Escolhem-se,

Mostre que a probabilidade de ser construído um triângulo em que o ponto A não seja um dos vértices é igual a n + 1

No desenvolvimento de  2x

- 1  ,

Matemática 12 | Caderno de Testes

Cotações Grupo I

Cada resposta certa

Grupo II

Matemática 12 | Caderno de Tarefas

Proposta de resolução 3

O número de casos possíveis é 77,

GRUPO I

um dos sete amigos tem sete possibilidades diferentes de escolha

X: “número de minutos gastos pelos clientes de

O número de casos favoráveis é 7C4 * 7 * 6 * 5

pois 7C4 é o número de maneiras distintas

X }N (150,

de escolher quem são os quatro amigos que escolhem o mesmo ¿lme

por cada uma destas maneiras existem sete possibilidades distintas para o ¿lme escolhido pelos quatro amigos

e por cada uma dessas maneiras existem,

P( X > 120) > P( X < 150)

P( X > 120) = P( X < 180)

P ( X > 150) < P ( X < 180)

C4 * 7 * 6 * 5 * 4 7 35 * 6 * 5 * 4 76 5*6*5*4 7

Resposta (A)

P(A | B) representa a probabilidade de o número 150

P ( X > 150) < P ( X < 190) Resposta (B) 2

Considere a linha n do triângulo de Pascal

Sabe-se que tem (n + 1) elementos,

dos quais dois elementos são iguais a um

P("escolher o número um") = 2 ,

ou seja: n+1 1 2 = § 20 = n + 1 § n = 19 n + 1 10 Resposta (B)

Matemática 12 | Caderno de Testes

da ¿cha escolhida ser um número primo sabendo que a ¿cha escolhida não é um triângulo

admitindo que a ¿cha escolhida não é um triângulo existem 6 casos possíveis,

e desses apenas 3 são números primos (2,

3 1 Assim,

P(A | B) = =

O Tó Pé Rápido falha 20% das grandes penalidades que executa

Portanto,

ao executar uma grande penalidade,

a probabilidade de a concretizar é igual a 0,8

TESTE N

Numa série de seis grandes penalidades,

Pretende-se determinar:

• 0,8 é a probabilidade de o Tó Pé Rápido

P( M | I ) =

concretizar as seis grandes penalidades

C5 * 0,85 * 0,2 é a probabilidade de o Tó Pé

P( M  I ) 0,03 = ) 0,27 0,11 P(I )

P( M | I ) ) 27%

Rápido concretizar cinco grandes penalidades

P(B) 0 0

P A B < P ( A | B ) * P B

de o Tó Pé Rápido concretizar pelo menos cinco 5

grandes penalidades e 1 < (0,8 + C5 * 0,8 * 0,2)

é a probabilidade do acontecimento contrário deste

Isto é,

Resposta (C) 3

GRUPO II

O número de casos possíveis é 16

Considere os acontecimentos:

O número de casos favoráveis é 10

C: “o bolo ter recheio de chocolate”

! é o número de maneiras de permu-

M: “o bolo ter recheio de morango”

I: “o bolo ter peso inferior ao estabelecido” Sabe-se que: • P(C) = 4P( M ) e P(C) + P( M ) = 1,

ou seja: 4P( M ) + P( M ) = 1 § 5P( M ) = 1 § P( M ) = 0,2 P(C) = 4 * 0,2 = 0,8 P(I  C) •P(I | C) = 0,1 § = 0,1 P(C) P(I  C) § = 0,1 § P(I  C) = 0,1* 0,8 0,8 § P(I  C) = 0,08 P(I  M ) •P(I | M ) = 0,15 § = 0,15 P( M ) P(I  M ) § = 0,15 § P(I  M ) = 0,15 * 0,2 0,2 § P(I  M ) = 0,03

ras de permutar as bolas vermelhas e 7 é o número de maneiras que o bloco das bolas azuis pode “percorrer” a ¿la

Admitindo que se retiraram,

o número de casos possíveis é 16C6

O número de casos favoráveis é: 10

C5 * 6C1 +  

C4 * 6C2  

Organizando os dados numa tabela,

Total 0,11

I Total

Cálculo auxiliar: P(I) = P(I E C) + P(I E M) = 0,08 + 0,03 = 0,11

C5 * 6C 1 + 10C4 * 6C 2 16

Os números ímpares menores do que 1000,

com os algarismos todos diferentes,

dois algarismos ou três algarismos,

possibilidades estas que se excluem mutuamente

existem 5 números ímpares Matemática 12 | Caderno de Testes

menores do que 1000 só com um algarismo (1,

7 ou 9)

pois para ser ímpar tem que terminar em número ímpar (1,

e por cada uma dessas possibilidades existem oito números para o algarismo das dezenas (não pode ser o algarismo escolhido para as unidades nem o zero)

pois para ser ímpar tem que terminar em número ímpar (1,

e por cada uma dessas possibilidades existem oito hipóteses para o algarismo das centenas (não podem ser o algarismo escolhido para as unidades nem o zero) e por cada uma dessas possibilidades existem também oito hipóteses para o algarismo das dezenas (não podem ser os algarismos escolhidos para as unidades nem para as centenas)

a probabilidade pedida é: ( n + 3 )( n + 2 )( n + 1) ( n + 3 )( n + 2 )( n + 1) 6 = ( n + 4 )( n + 3 )( n + 2 ) ( n + 4 )( n + 3 )( n + 2 ) 6 n +1 c

Outra maneira de resolver este exercício seria calculando a probabilidade p do ponto A ser um dos vértices do triângulo,

calculando depois a probabilidade do acontecimento contrário 1 – p

Neste caso: Número de casos possíveis: é o mesmo calculado anteriormente

Número de casos favoráveis: 3 P ("A a ser um vértice") = n+4 3 1- p = 1n+4 n +1 = c

Qualquer termo do desenvolvimento de  2x  2   x  é do tipo:  1 p 10 C p (2x)10

- p * 

- 2  ,

Simpli¿cando a expressão acima obtém-se:

O número de casos possíveis é 12

O número de casos favoráveis é 3

a probabilidade pedida é 3 = 1

Existem (n + 4) pontos assinalados na face [ABPO] sem que haja três pontos colineares

O número de casos possíveis é: n+4

6(n + 1)

O número de casos favoráveis é: (n + 3)

! (n + 3)(n + 2)(n + 1) = = 6(n)

Matemática 12 | Caderno de Testes

C p 210

6(n + 1)

- p * 

descobrir o valor da constante p para o qual se obtém o termo em x– 5: 10

- 3 p =

-5 é (

-5 Logo,

TESTE N

Critérios especí¿cos de classi¿cação GRUPO I

Cada resposta certa

Respostas

GRUPO II 1

vamos designar por C o acontecimento “o bolo ter recheio de chocolate”,

por M o acontecimento “o bolo ter recheio de morango” e por I o acontecimento “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”

Escrever P(C) = 4P(M) (ou equivalente)

3 pontos

- (A E B)

• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

P(A E B) • P(A | B) = ou P(A E B) = P(A | B) * P(B)

Matemática 12 | Caderno de Testes

Descritores do nível de desempenho no domínio especí¿co da disciplina 5 O aluno aplica corretamente as quatro propriedades e conclui o pretendido

4 Níveis

O aluno aplica corretamente as quatro propriedades mas não conclui o pretendido

Pontuação 20 16

no que respeita à escrita da expressão,

com a respetiva classi¿cação a atribuir

! Outras frações próprias com denominador 16

no que respeita à escrita da expressão,

com a respetiva classi¿cação a atribuir

C5 * 6C1 + 10C4 * 6C2 16

17 pontos

C5 * 6C1 + 10C4 * 6C2 +10C6 16

Matemática 12 | Caderno de Testes

12 pontos

TESTE N

C5 * 6C1 + 10C4 * 6C2 16

7 pontos

Outras situações

• Explicação de 8 * 5: o aluno deverá referir que é o número de números ímpares menores do que 1000 só com dois algarismos

• Explicação de 82 * 5: o aluno deverá referir que 82 * 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 com três algarismos

• Explicação de 5 + 8 * 5 + 82 * 5: o aluno deverá referir que a soma representa o número de números ímpares menores do que 1000 com os algarismos todos diferentes

Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classi¿cada a redação

Os níveis 1,

de acordo com o disposto nos critérios gerais

Nível 1

Nível 2

Nível 3

A composição contempla corretamente os quatros pontos

A composição contempla corretamente apenas três pontos

A composição contempla corretamente apenas dois pontos

A composição contempla corretamente apenas um ponto

no que respeita à escrita da expressão,

com a respetiva classi¿cação a atribuir